BannerHP48.gif (7244 bytes)

Métodos Numéricos

Manual do Usuário: Versão 2.1

 

Como Utilizar os Programas

Tentarei Mostrar aqui, os passos para resolver alguns exercícios utilizando os Programas para Método Numérico

OBS: A nova versão 2.X não acompanha exemplos, por isso recomendo abaixar o arquivo Completo Semestre 1 e depois de ter instalado essa versão, abaixar e instalar a versão 2.X no formato LIB. Os programas da versão antiga podem ser apagados sem problemas, e recomendado apenas que se conserve os exemplos, para que se possa aprender a utilizar o programa versao 1.0 ou a 2.X. Para sabar como instalar um biblioteca, consulte a página de BIBLIOTECAS. A chamada para as rotinas também mudou, agora todos os métodos descritos abaixo deverão ser chamados no comando METNUM da biblioteca

 MN23.gif (2621 bytes)

Nova tela da Versão 2.X do Programa de Métodos

 

 

1 - Resolvendo Exercícios: Método de Newton

Resolva, usando o método de newton, a equação: MN04.gif (1002 bytes) com erro de E < 0,01. Use 5 casas decimais

  1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
  2. Digite a equação: MN04.gif (1002 bytes)
  3. MN05.gif (2231 bytes)
  4. Execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: NEWTON, a função automaticamente, desenhará o gráfico da equação.
  5. MN06.gif (2201 bytes)
  6. Com o uso da setas ( esquerda, direita ), coloque o cursor, na primeira posição, aonde o gráfico cruza o eixo X, pressione a tecla ENTER e depois a tecla ON, para sair.
  7. MN07.gif (2298 bytes)
  8. No método de newton, não é necessários dois valores iniciais, porem como essa função e reaproveitada pelos os outros métodos, esse passo e necessário. Digite um valor que será somado e subtraido, do ponto escolhido no gráfico ( Ex: ponto escolhido = 0.65, valor digitado = 0.01, a saida será: 0.64 e 0.66 ) e pressione ENTER para finalizar
  9. MN08.gif (2194 bytes)
  10. Digite a precisão que o exercício pede e pressione ENTER para finalizar
  11. MN09.gif (3046 bytes)
  12. O exercício está resolvido pelo método de Newton, agora basta copiar os valores e as linhas da calculadora ( OBS: Nem sempre todas as informações cabem na tela da HP48, por isso, sempre pressione o seta para baixo, para editar o elemento da Pilha 1 ). Após copiar a primeira linha, apague a linha e copie a proxima, repita esse procedimento até acabar os elementos da pilha

2 - Resolvendo Exercícios: Método da Bissecção, Método da Secante

O procedimento para esses métodos e idêntico ao descrito acima, porém no Menu Principal do programa escolha o método desejado

 

3 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Sistemas não Lineares

Considere o sistema de equações nào lineares. Use o método de Newton para encontrar a solução deste sistema. Faça 3 iterações

MN10.gif (1871 bytes)

  1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
  2. O sub-diretório EXERCICIOS, contém alguns exercícios da apostila e do caderno que o Prof. Mori, nos passou
  3. A equação de entrada, do sistema não linear, é um pouco diferente que a entrada das outras equações, pois temos que entrar com duas ( ou mais ) equações em vez de uma. Mas isso não é problema, pois é muito facíl editar duas equações
  4. Abra chaves ( seta roxa e a tecla + ), abra o primeiro apóstrofo ( ' ) e digite a primeira equação, com a seta para direita, saia do apóstrofo final da primeira equação e abra um novo apóstrofo, digite a segunda equação e pressione ENTER para sair
  5. Esse exemplo esta disponível no diretório EXERCICIOS, na item EX2
  6. MN12.gif (2453 bytes)
  7. Após ter digitado o sistema, execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: SISTñLINEAR.
  8. O programa automaticamente, desenhará o grafico do sistema, escolha um ponto aonde os gráficos se cruzem , utilize as setas para mover o cursor. ( No nosso exemplo X: 1.2 e Y: 1.2 ). Pressione a tecla ENTER e depois a tecla ON.
  9. MN13.gif (2137 bytes)
  10. Agora o programa não pergunta quantas interações e sim qual a precisão que você quer, vamos colocar uma precisão de 0.0001, pois quando o programa terminar, basta copiar as três primeiras interações, se for o caso. Finalize o comando com um ENTER.
  11. MN14.gif (2287 bytes)
  12. Ok. nosso sistema não linear está calculado
  13. MN15.gif (3161 bytes)
  14. Agora, basta ir copiando os resultados. Todos os passos necessários estão descritos
  15. Não se esqueça de colocar a seta para baixo ou seta roxa + EDIT, para visualizar a linha inteira. após ter copiado a linha, apague e copie a próxima.

Entendendo o resultado Gerado: No exemplo acima teremos o seguinte resultado:

"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"
"F(1.2,1.2) = "
[[ .04 ]
[ -.06 ]]
"JACOBIANO J(X,Y)=
{ {'2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }
"J(1.2,1.2) = "
[[ 2.4 -1 ]
[ -1 2.4 ]]
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -7.56302521008E-3 ]
[ 2.18487394958E-2 ]]
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19243697479 1.2218487395 ]
"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"
"F(1.19243697479,1.2218487395) = "
[[ .00005719935 ]
[ .00047736743 ]]
"JACOBIANO J(X,Y)="
{ { '2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }
"J(1.19243697479,1.2218487395) = "
[[ 2.38487394958 -1 ]
[ -1 2.443697479 ]]
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -1.27828662674E-4 ]
[ -2.4765589762E-4 ]]
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19230914613 1.2216010836 ]
"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"
"F(1.19230914613,1.2216010836) = "
[[ .00000001635 ]
[ .00000006132 ]]
"JACOBIANO J(X,Y)="
{ { '2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }
"J(1.19230914613,1.2216010836) = "
[[ 2.38461829226 -1 ]
[ -1 2.4432021672 ]]
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -2.09830420712E-8 ]
[ -3.36865459503E-8 ]]
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19230912515 1.22160104991 ]

Ficou assustado ?. Não se preocupe, agora vamos ver como interpretar tudo isso:

Copie o gráfico gerado pela HP48

Os valores do cursor escolhido no gráficos, seram seu P0

MN21.gif (1095 bytes)

"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"

MN16.gif (1345 bytes)

Agora, nessa parte você tem que colocar o sistema intermediáril que faltou ( basta substituir na sistema acima os valores de X e Y )
"F(1.2,1.2) = "
[[ .04 ]
[ -.06 ]]

MN17.gif (1597 bytes)

O programa gera automaticamente as dervações para o sistema Jacobiano, da seguinte maneira
"JACOBIANO J(X,Y)=
{ {'2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }

MN18.gif (1432 bytes)

Agora o programa atribue automaticamente os valores de X e Y
"J(1.2,1.2) = "
[[ 2.4 -1 ]
[ -1 2.4 ]]

MN19.gif (1275 bytes)

Achando os valores de S1 e S2, que seram o seu S
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -7.56302521008E-3 ]
[ 2.18487394958E-2 ]]

MN20.gif (2457 bytes)

Transforme isso para a seguinte maneira:
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19243697479 1.2218487395 ]

MN22.gif (2217 bytes)

Viu, não foi tão complicado, temos a nossa primeira iteração, agora repita os passos para o restante do problema. ATENÇÃO: O programa não vai colocar P1, P2, P3, etc. cuidado!

 

4 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Polinomial de Newton

Dada a tabela abaixo, encontre a equação e o valor da função em F( 1.94 ) através do método pilinomial de Newton

X 1.6 1.8 2.2 2.45 2.6
F(X) 2.6 2.774 2.909 3.075

3.116

  1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
  2. Digite a Tabela no formato de Matriz
  3. MN24.gif (2401 bytes)
  4. Com a tabela digitada  na pilha 1: , execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: POL. NEWTON.
  5. MN25.gif (2844 bytes)
  6. Pronto, a resposta do problema esta agora na pilha da calculadora, basta ir copiando os dados e apagando após ter copiado.
  7. A primeira resposta e a tabela gerada peloas pontos, a segunda tabela esta os resultados que deveram ser utilizados para se montar a equação, depois da segunda tabela vem a equação pronta, porém no formato de STRING ( foi colocado nesse formato, para ser editada mais rápido ) e por último a equação prontinha para ser utilizada pelo SOLVE da calculadora.
  8. MN26.gif (3270 bytes)
  9. Após copiar a tabela, apage a tabela da pilha 1:
  10. MN27.gif (2319 bytes)
  11. Agora essa tabela indica os valores que seram utilizados para montar a equação, apague depois de copiar
  12. MN28.gif (2762 bytes)
  13. A próxima linha esta a equação pronto, porém no formato STRING, para os usuário que utilizam algum editor de TEXTO na HP48 ( é mais rápido de visualiar a equação )
  14. MN29.gif (1622 bytes)
  15. Essa e equação gerada, sendo visualizada no próprio EQUATION da calculadora
  16. Ok, resolvemos a primeira parte do problema, agora temos que fazer a interpolação do resultado para a função F(1.94), para saber o valor, utilizaremos o próprio SOLVE da HP48. Com a ultima equação na pilha, salve essa equação na variável 'EQ' ( Digite 'EQ' STO ).
  17. MN30.gif (2762 bytes)
  18. Entre no SOLVE EQUATION da calculadora
  19. MN31.gif (2834 bytes)
  20. Digite no campo da variável X o valor da função: 1.94
  21. MN32.gif (2380 bytes)
  22. Volte o cursor em cima do campo EQ:, Repare que aparecerá escrito no lugar do SOLVE o item EXPR= , pressione o EXPR=, saia do SOLVE,  o resultado estará na pilha.
  23. MN33.gif (2082 bytes)

Entendendo os resultados:

Após executar o programa, teremos os seguintes resultados na pilha ( foi utilizado o modo FIXO de 3 casas decimais antes de rodar o programa, Digite 3 + seta roxa + MODES + FMT + FIX )

4: '2.600+0.870*(X-1.600) -0.888*(X-1.600)*(X-1.800) +1.635*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200) -3.484*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200)*(X-2.450)'

3: "'2.600+0.870*(X-1.600) -0.888*(X-1.600)*(X-1.800) +1.635*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200) -3.484*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200)*(X-2.450)'"

2: [ 2.600  0.870  -0.888   1.635   -3.484 ]

1:[[ 2.600   0.000   0.000   0.000   0.000 ]
   [ 2.774 
0.870   0.000   0.000   0.000 ]
   [ 2.909  0.338 
-0.888   0.000   0.000 ]
   [ 3.075  0.664   0.502  
1.635   0.000 ]
   [ 3.116  0.273  -0.977  -1.849 
-3.484 ]]

Na pilha 1: temos a tabela de saida do polinomia, repare que as respostas estão na diagonal, na pilha 2: ja temos as respostas separadas em uma nova matriz, na pilha 3 temos a equação gerada em formato de STRING, na pilha 4: temos a equação pronta para ser usada pelo SOLVE da calculadora

 

5 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Polinomial de Newton-Gregory

Para resolver o problema através do método de Gregory, o procedimento é igual ao de Newton, tomando cuidado apenas com a tabela de entrada.

 

BotaoVoltar.gif (2695 bytes)

Dúvidas, sugestões, comentários: Anthares Software E-Mail