Métodos Numéricos

Manual do Usuário: Versão 3.0

Como Utilizar os Programas

Tentarei Mostrar aqui, os passos para resolver alguns exercícios utilizando os Programas para Método Numérico

OBS:  Para sabar como instalar um biblioteca, consulte a página de BIBLIOTECAS. A chamada para as rotinas também mudou, agora todos os métodos descritos abaixo deverão ser chamados no comando METNUM da biblioteca

Nova tela da Versão 3.0 do Programa de Métodos

1 - Resolvendo Exercícios: Método de Newton

Resolva, usando o método de newton, a equação: com erro de E < 0,01. Use 5 casas decimais

1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
2. Digite a equação:
3. 
4. Execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: NEWTON, a função automaticamente, desenhará o gráfico da equação.
5. 
6. Com o uso da setas ( esquerda, direita ), coloque o cursor, na primeira posição, aonde o gráfico cruza o eixo X, pressione a tecla ENTER e depois a tecla ON, para sair.
7. 
8. No método de newton, não é necessários dois valores iniciais, porem como essa função e reaproveitada pelos os outros métodos, esse passo e necessário. Digite um valor que será somado e subtraido, do ponto escolhido no gráfico ( Ex: ponto escolhido = 0.65, valor digitado = 0.01, a saida será: 0.64 e 0.66 ) e pressione ENTER para finalizar
9. 
10. Digite a precisão que o exercício pede e pressione ENTER para finalizar
11. 
12. O exercício está resolvido pelo método de Newton, agora basta copiar os valores e as linhas da calculadora ( OBS: Nem sempre todas as informações cabem na tela da HP48, por isso, sempre pressione o seta para baixo, para editar o elemento da Pilha 1 ). Após copiar a primeira linha, apague a linha e copie a proxima, repita esse procedimento até acabar os elementos da pilha

2 - Resolvendo Exercícios: Método da Bissecção, Método da Secante

O procedimento para esses métodos e idêntico ao descrito acima, porém no Menu Principal do programa escolha o método desejado

3 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Sistemas não Lineares

Considere o sistema de equações nào lineares. Use o método de Newton para encontrar a solução deste sistema. Faça 3 iterações

1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
2. O sub-diretório EXERCICIOS, contém alguns exercícios da apostila e do caderno que o Prof. Mori, nos passou
3. A equação de entrada, do sistema não linear, é um pouco diferente que a entrada das outras equações, pois temos que entrar com duas ( ou mais ) equações em vez de uma. Mas isso não é problema, pois é muito facíl editar duas equações
4. Abra chaves ( seta roxa e a tecla + ), abra o primeiro apóstrofo ( ' ) e digite a primeira equação, com a seta para direita, saia do apóstrofo final da primeira equação e abra um novo apóstrofo, digite a segunda equação e pressione ENTER para sair
5. Esse exemplo esta disponível no diretório EXERCICIOS, na item EX2
6. 
7. Após ter digitado o sistema, execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: SISTñLINEAR.
8. O programa automaticamente, desenhará o grafico do sistema, escolha um ponto aonde os gráficos se cruzem , utilize as setas para mover o cursor. ( No nosso exemplo X: 1.2 e Y: 1.2 ). Pressione a tecla ENTER e depois a tecla ON.
9. 
10. Agora o programa não pergunta quantas interações e sim qual a precisão que você quer, vamos colocar uma precisão de 0.0001, pois quando o programa terminar, basta copiar as três primeiras interações, se for o caso. Finalize o comando com um ENTER.
11. 
12. Ok. nosso sistema não linear está calculado
13. 
14. Agora, basta ir copiando os resultados. Todos os passos necessários estão descritos
15. Não se esqueça de colocar a seta para baixo ou seta roxa + EDIT, para visualizar a linha inteira. após ter copiado a linha, apague e copie a próxima.

Entendendo o resultado Gerado: No exemplo acima teremos o seguinte resultado:

"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"
"F(1.2,1.2) = "
[[ .04 ]
[ -.06 ]]
"JACOBIANO J(X,Y)=
{ {'2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }
"J(1.2,1.2) = "
[[ 2.4 -1 ]
[ -1 2.4 ]]
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -7.56302521008E-3 ]
[ 2.18487394958E-2 ]]
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19243697479 1.2218487395 ]
"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"
"F(1.19243697479,1.2218487395) = "
[[ .00005719935 ]
[ .00047736743 ]]
"JACOBIANO J(X,Y)="
{ { '2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }
"J(1.19243697479,1.2218487395) = "
[[ 2.38487394958 -1 ]
[ -1 2.443697479 ]]
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -1.27828662674E-4 ]
[ -2.4765589762E-4 ]]
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19230914613 1.2216010836 ]
"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"
"F(1.19230914613,1.2216010836) = "
[[ .00000001635 ]
[ .00000006132 ]]
"JACOBIANO J(X,Y)="
{ { '2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }
"J(1.19230914613,1.2216010836) = "
[[ 2.38461829226 -1 ]
[ -1 2.4432021672 ]]
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -2.09830420712E-8 ]
[ -3.36865459503E-8 ]]
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19230912515 1.22160104991 ]

Ficou assustado ?. Não se preocupe, agora vamos ver como interpretar tudo isso:

Copie o gráfico gerado pela HP48

Os valores do cursor escolhido no gráficos, seram seu P0

"F(X,Y) = 'X^2-Y-.2' 'Y^2-X-.3'"

Agora, nessa parte você tem que colocar o sistema intermediáril que faltou ( basta substituir na sistema acima os valores de X e Y )
"F(1.2,1.2) = "
[[ .04 ]
[ -.06 ]]

O programa gera automaticamente as dervações para o sistema Jacobiano, da seguinte maneira
"JACOBIANO J(X,Y)=
{ {'2*X' -1 }
{ -1 '2*Y' } }

Agora o programa atribue automaticamente os valores de X e Y
"J(1.2,1.2) = "
[[ 2.4 -1 ]
[ -1 2.4 ]]

Achando os valores de S1 e S2, que seram o seu S
"SISTEMA LINEAR"
"J(X,Y)*S = -F(X,Y)"
[[ -7.56302521008E-3 ]
[ 2.18487394958E-2 ]]

Transforme isso para a seguinte maneira:
"P1= P0 + S"
"P1 = "
[ 1.19243697479 1.2218487395 ]

Viu, não foi tão complicado, temos a nossa primeira iteração, agora repita os passos para o restante do problema. ATENÇÃO: O programa não vai colocar P1, P2, P3, etc. cuidado!

5 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Polinomial de Lagrange

EX: A densidade do Sódio para 03 temperaturas são dadas pela Tabela.

1. Obtenha o polinomio interpolador de lagrange que se ajusta aos 3 pontos dados
2. Encontre a densidade para T= 251 (Graus).

Resolvendo.

1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
2. Digite a Tabela no formato de Matriz
3. 
4. Com a tabela digitada  na pilha 1: , execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: POL. LAGRANGE
5. 
6. Agora um novo menu aparecerá, perguntando se gostaria de calcular um valor de X para a equação que será gerada
7. 
8. Se a seleção for "SIM", uma nova tela será apresentada, aonde deverá ser digitado o valor X desejado.
9. 
10. Pronto, a resposta do problema esta agora na pilha da calculadora, basta ir copiando os dados e apagando após ter copiado.

Resultado Gerado:

F(X)= Y0L0(X) + Y1L1(X) + Y2L2(X)

L0(X)=(X-X1)(X-X2)/(X0-X1)(X0-X2)

L1(X)=(X-X0)(X-X2)/(X1-X0)(X1-X2)

L2(X)=(X-X0)(X-X1)/(X2-X0)(X2-X1)

'(X-205)*(X-371)/30747'

'(X-94)*(X-371)/-18426'

'(X-94)*(X-205)/45982'

'929*((X-205)*(X-371)/30747)+902*((X-94)*(X-371)/-18426)+860*((X-94)*(X-205)/45982)'

F(251)= 890.55611655

5 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Polinomial de Newton

Dada a tabela abaixo, encontre a equação e o valor da função em F( 1.94 ) através do método pilinomial de Newton

1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
2. Digite a Tabela no formato de Matriz
3. 
4. Com a tabela digitada  na pilha 1: , execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: POL. NEWTON.
5. 
6. Pronto, a resposta do problema esta agora na pilha da calculadora, basta ir copiando os dados e apagando após ter copiado.
7. A primeira resposta e a tabela gerada peloas pontos, a segunda tabela esta os resultados que deveram ser utilizados para se montar a equação, depois da segunda tabela vem a equação pronta, porém no formato de STRING ( foi colocado nesse formato, para ser editada mais rápido ) e por último a equação prontinha para ser utilizada pelo SOLVE da calculadora.
8. 
9. Após copiar a tabela, apage a tabela da pilha 1:
10. 
11. Agora essa tabela indica os valores que seram utilizados para montar a equação, apague depois de copiar
12. 
13. A próxima linha esta a equação pronto, porém no formato STRING, para os usuário que utilizam algum editor de TEXTO na HP48 ( é mais rápido de visualiar a equação )
14. 
15. Essa e equação gerada, sendo visualizada no próprio EQUATION da calculadora
16. Ok, resolvemos a primeira parte do problema, agora temos que fazer a interpolação do resultado para a função F(1.94), para saber o valor, utilizaremos o próprio SOLVE da HP48. Com a ultima equação na pilha, salve essa equação na variável 'EQ' ( Digite 'EQ' STO ).
17. 
18. Entre no SOLVE EQUATION da calculadora
19. 
20. Digite no campo da variável X o valor da função: 1.94
21. 
22. Volte o cursor em cima do campo EQ:, Repare que aparecerá escrito no lugar do SOLVE o item EXPR= , pressione o EXPR=, saia do SOLVE,  o resultado estará na pilha.
23. 
24. OBS. A nova versão 3.X do programa já calcula o valor da equação automaticamente, bastando entrar com a opção "SIM" e digite o valor da variável X para a equação gerada
25. 
26. Digite o valor que se deseja calcular de X
27. 
28. Ok. O Resultado esta gerado.
29. 

Entendendo os resultados:

Após executar o programa, teremos os seguintes resultados na pilha ( foi utilizado o modo FIXO de 3 casas decimais antes de rodar o programa, Digite 3 + seta roxa + MODES + FMT + FIX )

5:2.81133058

6: "RESULTADO"

4: '2.600+0.870*(X-1.600) -0.888*(X-1.600)*(X-1.800) +1.635*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200) -3.484*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200)*(X-2.450)'

3: "'2.600+0.870*(X-1.600) -0.888*(X-1.600)*(X-1.800) +1.635*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200) -3.484*(X-1.600)*(X-1.800)*(X-2.200)*(X-2.450)'"

2: [ 2.600  0.870  -0.888   1.635   -3.484 ]

1:[[ 2.600   0.000   0.000   0.000   0.000 ]
   [ 2.774  0.870   0.000   0.000   0.000 ]
   [ 2.909  0.338  -0.888   0.000   0.000 ]
   [ 3.075  0.664   0.502   1.635   0.000 ]
   [ 3.116  0.273  -0.977  -1.849  -3.484 ]]

Na pilha 1: temos a tabela de saida do polinomia, repare que as respostas estão na diagonal, na pilha 2: ja temos as respostas separadas em uma nova matriz, na pilha 3 temos a equação gerada em formato de STRING, na pilha 4: temos a equação pronta para ser usada pelo SOLVE da calculadora e na pilha 6 o resultado ( Se foi respondido SIM ).

6 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Polinomial de Newton-Gregory

Para resolver o problema através do método de Gregory, o procedimento é igual ao de Newton, tomando cuidado apenas com a tabela de entrada.

7 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Spline Linear

Para resolver o problema através do método de Spline Linear, o procedimento é igual ao da Spline Cúbica,

8 - Resolvendo Exercícios: Resolvendo Interpolação Spline Cúbica

Ajuste os dados da tabela abaixo através de uma curva spline cúbica natual e calcule o valor para F(0.66)

1. Entre na biblioteca de Métodos Numérico METODOS.
2. Digite a Tabela no formato de Matriz
3. 
4. Com a tabela digitada  na pilha 1: , execute o comando: METNUM, no menu de opção escolha a primeira opção: POL. LAGRANGE
5. 
6. Agora um novo menu aparecerá, perguntando se gostaria de calcular um valor de X para a equação que será gerada
7. 
8. Se a seleção for "SIM", uma nova tela será apresentada, aonde deverá ser digitado o valor X desejado.
9. 
10. Pronto, a resposta do problema esta agora na pilha da calculadora, basta ir copiando os dados e apagando após ter copiado.
11. 

Resultado gerado:

SPLINE CUBICA
i1= h0S0+(2h0+2h1)S1+h1S2=6[(Y2-Y1)/h1-(Y1-Y0)/h0]
i2= h1S1+(2h1+2h2)S2+h2S3=6[(Y3-Y2)/h2-(Y2-Y1)/h1]

NATURAL: S0=S3=0
h0 = 1
h1 = .5
h2 = .75

1*0+(2*1+2*.5)*S1+.5*S2=6*[(6.7134-4.4366)/.5 - (4.4366-2)/1]
.5*S1+(2*.5+2*.75)*S2+.75*0=6*[(13.913-6.7134)/.75 - (6.7134-4.4366)/.5]

SIMPLIFICANDO
3*S1 + .5*S2    = 12.70
2.5*S1 + 2.5*S2 = 30.2752RESULTADO

S1= 2.29205517241
S2= 11.65166896552

PARTE EQ: Gn(X)

----------------
g0(X)= [0 ; 1]
a0= (S1-S0)/6h0 = (2.29205517241-0)/(6*1) = .382009195402
b0= S0/2 = 0
c0= [(Y1-Y0)/h0 - (2h0S0+h0S1)/6] = 2.0545908046
d0= Y0 = 2
g0(X) = '.382009195402*X^3+2.0545908046*X+2'

----------------
g1(X)= [1 ; 1.5]
a1= (S2-S1)/6h1 = (11.6516689655-2.29205517241)/(6*.5) = 3.11987126436
b1= S1/2 = 1.1460275862
c1= [(Y2-Y1)/h1 - (2h1S1+h1S2)/6] = 3.20061839081
d1= Y1 = 4.4366
g1(X) = '3.11987126436*(X-1)^3+1.1460275862*(X-1)^2+3.20061839081*(X-1)+4.4366'

----------------
g2(X)= [1.5 ; 2.25]
a2= (S3-S2)/6h2 = (0-11.6516689655)/(6*.75) = -2.58925977011
b2= S2/2 = 5.82583448275
c2= [(Y3-Y2)/h2 - (2h2S2+h2S3)/6] = 6.6865494253
d2= Y2 = 6.7134
g2(X) = '-(2.58925977011*(X-1.5)^3)+5.82583448275*(X-1.5)^2+6.6865494253*(X-1.5)+6.7134'

RESULTATO FINAL
UTILIZANDO: g0(X)

g(.66) = 3.46585604668

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