Bevor der
Taschenrechner kam
Geschichtliches über die Rechenhilfen früherer
Zeiten
bis zum Einsatz der Taschenrechner
mit mathematischen Erläuterungen
Literaturhinweis:
Buch von Friedrich Neumann "Vom Abakus zum
Internet",
Untertitel: "Die Geschichte der Informatik", (2001,
Primus Verlag GmbH, Darmstadt)
Inhaltsverzeichnis
Zur Beitragsübersicht
Vorgeschichte
Die meisten alten Völker kannten schon die vier Grundrechenarten:
| Zusammenzählen |
(Addition) |
| Abziehen |
(Subtraktion) |
| Malnehmen |
(Multiplikation) |
| Teilen |
(Division |
Der Ursprung unserer heutigen Zahlzeichen und unseres Zählsystems
(Stellenwert-Zehnersystem, auch Dezimalsystem
genannt) stammt aus Indien. Die Inder kannten schon
im 8.Jahrhundert n. Chr. die Ziffern 1 bis 9 und die
Null, die als kleiner Kreis dargestellt wurde. Dies ermöglichte
die Stellenschreibweise. Mit den Arabern kamen diese Ziffern
über Spanien nach Europa (arabische Ziffern
genannt).
Das Stellenwertsystem ist in dem Beitrag Zahlensysteme beschrieben.
Abakus
Der Abakus als Hilfsgerät für die vier Grundrechenarten
ist seit Jahrhunderten bekannt. Ursprünglich verwendete man
Steinchen (calculi) auf einem Brett (Rechenbrett), später
wurden kunstvolle Geräte daraus. Im Orient nennt man ihn
Suapan. Dort wird er heute noch verwendet.
Es gibt mehr als 100 verschiedene Modelle des Abakus, die
sich in Größe und Materialqualität unterscheiden.
Das Bild
links zeigt einen (auf dem Tisch liegenden) chinesischen
Abakus in Messingausführung auf Marmorplatte, 80 x 45 mm groß.
Der Abakus zeigt die Zahl 1986
In der Bedienungsanleitung [3] aus dem
Jahre 1972 ist zu lesen:
»Er ist eine Rechenmaschine der einfachsten Form. Obwohl er
nicht ein so hervorragender "Diener" ist wie eine
moderne Maschine, so ist er doch viel billiger. Jede
chinesische Firma, nahezu jeder einzelne Chinese, ob arm oder
reich, ob jung oder alt, besitzt einen. Der chinesische
Abacus addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert auf
eine einfache und schnelle, aber doch genaue Weise. Nur die
Kugeln sind zu bewegen. Die Wissenschaft des Abacus kann über
Nacht gelehrt werden, sein Gebrauch ist eine Kunst. Er benötigt
viel Übung. Sicherheit kommt durch dauernden Gebrauch ... «.
Von einer Rechenmaschine kann man beim Abakus noch nicht
sprechen. Er ist eine Vorrichtung, mit der man schnell
addieren und subtrahieren kann. Multiplikationen werden durch
wiederholte Additionen, und Divisionen durch wiederholte
Subtraktionen für jede Stelle der Zahl ausgeführt.
Nach der Einführung der Taschenrechner
sind Schnelligkeits- und Genauigkeitswettbewerbe zwischen
Taschenrechnern und Abakus durchgeführt worden. Aufgaben mit
Kettenrechnungen, also mehreren hintereinander auszuführenden
Vorgängen, waren zu bewältigen. Der Abakus gewann.
Nachteile hat er bei Multiplikationen und Divisionen, die
etwas aufwendiger sind als Additionen und Subtraktionen.
Vier-Spezies-Rechenmaschinen
"Vier-Spezies" nennt man die 4 Grundrechenarten.
Geschichtliches
Hier sollen nur Vier-Spezies-Maschinen betrachtet werden.
Im folgenden werden einige Meilensteine in der
Entwicklung der Vier-Spezies-Maschinen aufgezeigt.
| Jahr |
Ereignis |
| 1623 |
Wilhelm
Schickard, Astronom und Professor für biblische
Sprachen an der Tübinger Universität, entwickelte
eine Rechenmaschine für die vier Grundrechenarten,
mit der Berechnungen astronomischer Tafeln und Logarithmen vorgenommen
wurden. Diese "Rechenuhr" steht heute im
Deutschen Museum in München. |
| 1641 |
Blaise Pascal
entwickelte eine Addier- und Subtrahiermaschine für
seinen Vater, der Steuereinnehmer war und viel
rechnen mußte. |
| 1671 |
Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) erfand eine
Rechenmaschine für die vier Grundrechenarten. |
| 1774 |
Philipp Matthäus
Hahn (1739-1790), ein schwäbischer Pfarrer
und ein hervorragender Uhrmacher, entwickelte eine Rechenmaschine,
die erstmals zuverlässig arbeitete. Mit seiner Erfindung
war die Entwicklung der modernen Addiermaschinen praktisch
abgeschlossen. Die Maschinen seiner Vorgänger hatten
wegen der damals fehlenden Präzision in der
Herstellung mit funktionellen Schwierigkeiten zu kämpfen |
Das Prinzip und die Bauweise
Das Prinzip des Abakus,
Multiplikationen durch wiederholte Additionen und Divisionen
durch wiederholte Subtraktionen auszuführen, gilt auch für
die Vier-Spezies-Rechenmaschinen.
Für jede Stelle wir im Einstellwerk ein
Einstellhebel und für das Ergebniswerk ein
Zahnrad mit den Ziffern 0 bis 9 verwendet. Bei jeder Kurbelumdrehung
vorwärts erfolgt eine Addition und bei jeder Kurbelumdrehung
rückwärts eine Subtraktion. Das heißt, bei jeder
Kurbelumdrehung wird die Zahl im Ergebniswerk entsprechend
der Zahl im Einstellwerk verändert. Bei Multiplikation und
Division ist der Schlitten, der den Umdrehungszähler
und das Ergebniswerk enthält, um eine Stelle zu verschieben.
Bei Multiplikation ist die Anzahl der Kurbelumdrehungen
von der Quersumme des Multiplikators abhängig. Zum Beispiel
sind bei der Multiplikation mit der Zahl 789 insgesamt 7+8+9
= 24 Kurbelumdrehungen notwendig. Zusätzlich ist für jede
Dezimalstelle eine Schlittenverschiebung notwendig. Man kann
auch "790" kurbeln und dann bei den Einern eine
Kurbeldrehung rückwärts, so daß auch wieder "789"
im Umdrehungszähler steht.
Beispiel:
Die folgende animierte Skizze zeigt (hier nur 9-stellig)
den Berechnungsvorgang
für die Multiplikation 1234 · 12.
| Berechnungsvorgang für die
Multiplikation 1234 · 12 Die gesamte
Maschine wird auf Null gestellt. Mit den
Ziffernhebeln wird die Zahl 1234 im Einstellwerk
eingestellt [Start]. Bei jeder Kurbelumdrehung [K]
erhöht sich der Umdrehungszähler an der blau
markierten Dezimalstelle um 1. Im Ergebniswerk
erscheint gleichzeitig das jeweilige Zwischenergebnis:
1234 · 1 = 1234 nach der 1. Kurbelumdrehung,
1234 · 2 = 2468 nach der 2. Kurbelumdrehung.
Für die Zehnerstelle muß der Schlitten (blau
umrandet) um eine Stelle nach rechts verschoben
werden [>]. Nach der 3. Kurbelumdrehung erscheint
das Ergebnis 1234 · 12 = 14808 im Ergebniswerk.
|
Das Bild
links zeigt die sechzehnstellige Rechenmaschine Walther
WSR 160 (WSR = Walther Schnellrechenmaschine) aus
dem Jahre 1963. Diese Maschine wurde damals als
Schnellrechenmaschine bezeichnet [4], weil
sie eine Rückübertragung des berechneten Ergebnisses in das
Eingabewerk ermöglicht. Dadurch spart man sich bei
Kettenrechnungen die Eingabe des vorher berechneten
Ergebnisses.
Das Arbeiten mit der Maschine
Das Rechnen mit den Vier-Spezies-Rechenmaschinen, kurz
"Kurbelmaschinen" genannt, ist eine lärmerzeugende
Arbeit. Der Lärmpegel ist mit dem einer Schreibmaschine
vergleichbar. Die Hand-Kurbel wurde später durch einen
kleinen Elektromotor ersetzt. Durch entsprechenden
Tastendruck startete man die Vorwärts- bzw. Rückwärtsdrehung
des Motors. Dadurch stieg der Lärmpegel, weil die innere
Mechanik der Maschinen gleich geblieben war und diese nun
schneller bewegt wurde.
Die 5. Spezies als Zugabe
Mit der Vier-Spezies-Rechenmaschine kann man auch Wurzelziehen.
a) Bei der aufwendigen iterativen Methode
ist der Wurzelwert zu schätzen und mit dem geschätzten Wert
die Probe auf der Maschine zu machen. Ist das Ergebnis der
Probe zu groß oder zu klein, wird der Wert der geschätzten
Wurzel angepaßt und der Vorgang so oft wiederholt, bis die
erwünschte Genauigkeit erreicht ist. Das funktioniert nicht
nur bei Quadratwurzeln, sondern auch bei dritten und
höheren Wurzeln. Es ist eine mühsame Arbeit, auf
diese Weise Wurzeln zu berechnen.
b) Speziell für die Quadratwurzel gibt es ein
direktes Verfahren für die Vier-Spezies-Maschine nach Prof.
Töpler. Dieses beruht auf der Tatsache, daß man
beim fortlaufenden Addieren der ungeraden Zahlen 1+3+5+ ...
immer eine Quadratzahl erhält. Man erhält so aus den ersten
n ungeraden Zahlen >0 als Summe immer n2.
Beispiel: Die ersten 6
ungeraden Zahlen aufsummiert: 1+3+5+7+9+11 = 62
= 36.
Nach diesem Prinzip muß man auch umgekehrt beim
Subtrahieren der ungeraden Zahlen von einer Zahl zur
Quadratwurzel dieser Zahl kommen. Mit einer sechzehnstelligen
Maschine kann man nach dieser Methode Quadratwurzeln mit
maximal acht signifikanten Stellen berechnen, 7 Stellen davon
sind genau.
Allgemeine mathematische Zahlentafeln
Mathematische Zahlentafeln waren früher sehr beliebte
Hilfsmittel, denn man konnte alle Zahlenwerte und Daten, die
man sonst mühsam selbst ausrechnen müßte, bequem
nachschlagen. Sie waren in jedem größeren mathematischen
Lehrbuch und auch in den verschiedensten technischen Büchern
als Anhang abgedruckt.
Am bekanntesten ist die Allgemeine mathematische
Zahlentafel mit den Primzahlen, Potenzen, Wurzeln,
natürlichen Logarithmen, Reziprokwerten, Kreisumfängen und
Kreisflächen.
Eigene Zahlentafeln gibt es für die Logarithmen
(siehe unten: Logarithmentafeln), Exponentialfunktionen
ex
und e-x,
trigonometrischen Funktionen sin,
cos, tan und cot, Hyperbelfunktionen
sinh, cosh, tanh und coth
und Umrechnungstabellen für die Winkelmaße
jeweils von Grad (Altgrad), Gon (Neugrad) und Radiant (Bogenmaß)
in Grad, Minuten und Sekunden und umgekehrt.
Die meisten dieser Zahlentafeln sind mit der Einführung
der technisch-wissenschaftlichen Taschenrechner entbehrlich
geworden.
Einen großen Vorteil hatten diese Tafeln: Man konnte sie
in beiden Richtungen verwenden. Man brauchte keine inversen
Funktionen (z.B. arcsin), denn diese ergaben
sich durch die umgekehrte Benutzung der Tabellen. Beim
Taschenrechner müssen die inversen Funktionen zusätzlich
eingebaut werden.
Logarithmentafeln
Warum Logarithmen?
Bei Verwendung von Logarithmen können komplizierte
Berechnungen, die nicht elementar (mit Bleistift und
Papier) lösbar sind, auf Additionen und Multiplikationen zurückgeführt
werden.
Geschichtliches
Der Versuch der Entdeckung des Seewegs nach Indien ist eng
verflochten mit der Blütezeit der Astronomie, der Navigation
und der Trigonometrie. Die Logarithmen lagen damals "in
der Luft". Vorarbeiten dazu gab es in Dänemark. Die
Hauptarbeit wurde jedoch in England und in der Schweiz
geleistet.
Lord John Napier of Merchiston (1550-1617, ein
schottischer Mathematiker, auch Neper
genannt) veröffentlichte im Jahre 1614
seine Logarithmen unter dem Titel "Mirifici
logarithmorum canonis descriptio". Zusammen mit dem
Londoner Professor Henry Briggs (1556 - 1630) führte
er die dekadischen Logarithmen (auch
Briggsche oder Zehner-Logarithmen genannt) ein. Nach Nepers
Tod vollendete Briggs die Berechnungen und veröffentlichte
1624 unter dem Titel "Arithmetica
logarithmica" die 14-stelligen Logarithmen der Zahlen 1
bis 20000 und 90000 bis 100000. Die fehlenden Logarithmen
berechneten später Ezechiel de Decker und Adrian
Vlacq. Im Jahre 1627 erschien ihre
erste vollständige Logarithmentafel.
Unabhängig davon entwickelte Jost Bürgi
(1552 - 1632), ein Schweizer Uhrmacher, aus den
Arbeiten zur Zinseszinsberechnung von Simon Stevin (1548
- 1620) angenäherte natürliche Logarithmen,
die als "Arithmetische und geometrische Prozeßtabuln"
1620 in Prag veröffentlicht wurden. Diese
Logarithmen wurden in Tabellen aufgereiht und als Logarithmentafeln
herausgegeben.
Etwas elementare Mathematik zum Verständnis der Logarithmen
Die Logarithmen wurden entwickelt, weil das Potenzieren
und das Wurzelziehen mit "krummen" Zahlen mit den
damals vorhandenen Mitteln nicht möglich war, weder mit
Bleistift und Papier noch mit den Vier-Spezies-Rechenmaschinen.
Mit den Logarithmen wird die Rechenstufe um 1 herabgesetzt:
- Multiplikationen werden durch Additionen,
- Divisionen durch Subtraktionen,
- Potenzen durch Multiplikationen und
- Wurzeln durch Divisionen
berechnet.
An sich ist die Basis der Logarithmen frei wählbar. Die
dekadischen oder Zehner-Logarithmen log x
(Basis 10) sind allgemein bekannt. Dazu gibt es noch die natürlichen
Logarithmen ln x (
= logarithmus naturalis,
Basis e = 2,71828182846...). Man kann aus
jedem Logarithmus in jede andere Basis durch einfache
Multiplikation oder Division umrechnen.
Hier sollen nur die dekadischen Logarithmen betrachtet
werden. Aus der Umkehrung der Zehnerpotenzen 10n
= b ergeben sich die
dekadischen oder Zehner-Logarithmen n
= log b.
Sollen zwei Zahlen a · b
multipliziert werden, so addiert man ihre Logarithmen. Die
Summe dieser Logarithmen ist der Logarithmus des Produktes
dieser beiden Zahlen. Zu diesem Logarithmus sucht man die
zugehörige Zahl c aus einer
Logarithmentafel.
Aufgabenstellung: a · b = c
| 1. Schritt: |
Aufsuchen der Logarithmen von a
und b und Addition
derselben:
log (a · b)
= log a +
log b =
log c |
| 2. Schritt: |
Zum berechneten Logarithmus der Zahl c
wird in der Logarithmentafel der zugehörige Numerus
(Zahl) herausgesucht:
c = 10(log
a + log b)
= 10log
(a · b)
= a · b |
Für eine Multiplikation braucht man keine Logarithmen,
man kann sie genauer und schneller mit Bleistift und Papier
oder mit einer Vier-Spezies-Rechenmaschine durchführen. Die
Vorteile der Logarithmen liegen jedoch im Potenzieren und
Wurzelziehen mit "krummen" Zahlen.
Sollen zwei Zahlen a und b
potenziert werden, so multipliziert man den Logarithmus der
Basis mit dem Exponenten.
Aufgabenstellung: ab
= c
| 1. Schritt: |
Aufsuchen des Logarithmus der Basis a
und Multiplikation mit dem Exponenten b:
log ab
= b · log
a = log c |
| 2. Schritt: |
Zum berechneten Logarithmus der Zahl c
wird in der Logarithmentafel der zugehörige Numerus
(Zahl) herausgesucht:
c = 10(b
· log a)
= 10log
ab
= ab |
Logarithmentafel
Logarithmentafeln füllen dicke Bücher, besonders bei
sieben- und höherstelligen Logarithmen. Auch die Logarithmen
der Werte der trigonometrischen Funktionen und die Allgemeinen
mathematischen Zahlentafeln (siehe oben) sowie
Interpolationstabellen für die Interpolation der
Zahlen oder Logarithmen, wenn diese zwischen zwei
Tabellenwerten liegen, sind in diesen Büchern zu finden.
Die nachfolgende Tabelle zeigt einen Ausschnitt aus einer fünfstelligen
Logarithmentafel [1]. Sie enthält
die Logarithmen für die Numeruswerte 2000
bis 2009 und 2400 bis 2509.
Die Logarithmen für die Numeruswerte 2010
bis 2399 werden aus Platzgründen ausgespart.
Numeruswerte [N.] sind die Zahlen, deren Logarithmenwerte
[L.] in der Tabelle angegeben sind. Die linken
beiden Stellen von L. sind der Übersichtlichkeit
halber nur am Beginn der Seite und beim Tausenderwechsel
angegeben.
| |
L. |
| N. |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| 200 |
30 103 |
125 |
146 |
168 |
190 |
211 |
233 |
255 |
276 |
298 |
| 201...239 |
Diese Werte
werden hier nicht wiedergegeben. |
| 240 |
38 021 |
039 |
057 |
075 |
093 |
112 |
130 |
148 |
166 |
184 |
| 241 |
202 |
220 |
238 |
256 |
274 |
292 |
310 |
328 |
346 |
364 |
| 242 |
382 |
399 |
417 |
435 |
453 |
471 |
489 |
507 |
525 |
543 |
| 243 |
561 |
578 |
596 |
614 |
632 |
650 |
668 |
686 |
703 |
721 |
| 244 |
739 |
757 |
775 |
792 |
810 |
828 |
846 |
863 |
881 |
899 |
| 245 |
917 |
934 |
952 |
970 |
987 |
005 |
023 |
041 |
058 |
076 |
| 246 |
39 094 |
111 |
129 |
146 |
164 |
182 |
199 |
217 |
235 |
252 |
| 247 |
270 |
287 |
305 |
322 |
340 |
358 |
375 |
393 |
410 |
428 |
| 248 |
445 |
463 |
480 |
498 |
515 |
533 |
550 |
568 |
585 |
602 |
| 249 |
620 |
637 |
655 |
672 |
690 |
707 |
724 |
742 |
759 |
777 |
| 250 |
794 |
811 |
829 |
846 |
863 |
881 |
898 |
915 |
933 |
950 |
| N. |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| |
L. |
Erläuterungen:
N. = Numerus
L. = Logarithmus,
Farbwechsel von weiß auf grün = Sprung zum nächsten
Tausenderbereich (z.B. von 38987 zu 39005)
Beispiel zu Numerus und Logarithmus:
Zu N. = 2000 gehört L. =
30103. Kommastellen werden hier nicht angegeben,
weil N. und L. verschiedene
Werte repräsentieren können, wie die folgende Tabelle zeigt:
| N.= 2000 |
L.= 30103 |
| Zahl = 2,00 |
Logarithmus = 0,30103 |
| Zahl = 20,0 |
Logarithmus = 1,30103 |
| Zahl = 200,0 |
Logarithmus = 2,30103 |
Beispiel für eine logarithmische Berechnung:
ab
= 2,53,5
= x
(zur Berechnung wird der obige Ausschnitt der
Logarithmentafel verwendet)
| 1. Schritt: Logarithmus für
a = 2,5
suchen log 2,5 = 0,39794 (fünfstelliger
Logarithmus, aus der Logarithmentafel zu entnehmen: N.
= 2500, L. = 39794). Da die
Zahl a = 2,5
zwischen 1 und 10 liegt, muß beim
Logarithmus eine Null vor dem Komma sein.
|
| 2. Schritt: Logarithmus für
die Ergebniszahl x
berechnen: log x
= b · log
a log x
= 3,5 · log 2,5 = 3,5 · 0,39794 = 1,39279
(Berechnung mit Bleistift und Papier).
Die 1 vor dem Komma sagt aus, daß
das Ergebnis zwischen 10 und 100 liegt.
|
| 3. Schritt: Zu log x
die Zahl x aus der Tafel
ermitteln Der Teil nach dem Komma von log
x = 1,39279
wird in der Logarithmentafel gesucht und dazu der
Numerus (die Zahl) aus der Tafel abgelesen, er liegt
zwischen N. = 2470 (L. = 39270) und N.
= 2471 (L. = 39287). Die Interpolation (9/17
= 0,53) ergibt zwei weitere Stellen: 53,
wobei die letzte Stelle gerundet ist. Der Numerus
beträgt also 247053.
Jetzt muß nur noch das Komma richtig gesetzt werden.
Da die Zahl x zwischen 10
und 100 liegen muß, gehört der
Logarithmus 1,39279 zur Zahl 24,7053.
Die letzte Stelle ist gerundet.
|
| Ergebnis: 2,53,5
= x = 24,7053
(mit dem Taschenrechner ergibt sich 24,7052942201) |
An diesem Beispiel sieht man, daß die genaueren
Berechnungen früher schon ziemlich viel Mühe kosteten. Vor
dem Auftauchen der Taschenrechner mußten sich Ingenieure und
Wissenschaftler mit den Logarithmentafeln herumplagen, wenn
die Genauigkeit der Rechenschieber
nicht ausreichte.
Wie werden die Werte für die Tafeln
berechnet?
Sämtliche Tabellenwerke, auch die Logarithmentafeln, mußten
erst einmal von Hand oder mit Vier-Spezies-Rechenmaschinen
erstellt werden, bevor man sie als Hilfsmittel für
Berechnungen einsetzen konnte. Die in der Mathematik
bekannten Reihenentwicklungen bilden die Grundlage für die
Erstellung dieser Tabellenwerke. Diese Reihenentwicklungen
benötigen nur die vier Grundrechenarten und bilden auch bei
den Computern und Taschenrechnern die Grundlage für die
internen Funktionswertberechnungen.
1. Beispiel: Formel für die Berechnung
eines Sinuswertes sin x
Erläuterung:
Für x ist der Winkel im
Bogenmaß (rad) einzugeben: 1 rad = 57,2957795131°.
Die Bogenlänge eines Kreisbogens mit dem Winkel von 1
rad entspricht genau der Länge des Radius. Zum
Beispiel wird der Winkel 30° als
x = 30/57,2957795131
= 0,523598775598 eingegeben.
3! bedeutet "1 · 2 · 3"
und wird als "3-Fakultät" bezeichnet.
5! bedeutet "1 · 2 · 3 · 4 · 5"
und wird als "5-Fakultät" bezeichnet.
7! bedeutet "1 · 2 · 3 · 4 · 5
· 6 · 7" und wird als "7-Fakultät"
bezeichnet.
2. Beispiel: Formel zur Berechnung des
natürlichen Logarithmus ln x
für x
> 0
Aus dem natürlichen Logarithmus ln x
(Basis e = 2,71828182846...) kann man
durch einfache Division durch den festen Wert ln
10 = 2,30258509299... oder durch Multiplikation
mit dem Kehrwert (1 / ln 10) = 0,434294481904...
den dekadischen Logarithmus log x
(Basis 10) berechnen:
| log x
= 0,434294481904 · ln x |
Zahlenbeispiel: Berechnung von ln 2
a) Aus der Formel für ln x
ergibt sich für x = 2
mit 7 berechneten Summanden:
= 2 · [0,33333333 + 0,01234568
+ 0,00082305 + 0,00006532 +
0,00000565 + 0,00000051 + 0,00000005]
= 2 · 0,34657359 = 0,69314717, aufgerundet
0,6931472 |
b) Beim Taschenrechner ergibt sich: ln 2 = 0,69314718056,
aufgerundet 0,6931472
c) Berechnung von log 2 = 0,434294481904 · 0,6931472
= 0,30103 (siehe Logarithmentafel)
Es gibt noch andere Wege zur Berechnung von Logarithmen,
wie sie z. B. Briggs beschritten hat. Die gezeigten
Beispiele mögen zur Veranschaulichung der Berechnung von
Funktionswerten jedoch genügen.
Logarithmischer Rechenschieber
Geschichtliches
Nicht nur bei der Entwicklung der Logarithmen, sondern
auch bei den Rechenschiebern waren die Engländer führend.
Als praktische Anwendung seiner Logarithmen stellte Neper
(siehe oben) einen Rechenschieber
in Form von Rechenstäbchen her.
Der Engländer Edmund Gunter (1561 - 1626) gab1620
das Prinzip eines logarithmischen Rechenschiebers an. Die Längen
wurden mit dem Zirkel abgegriffen.
Wenige Jahre darauf bediente sich der Engländer William
Oughtred (1574 - 1660) geradliniger und kreisförmiger
aneinander gleitender Skalen, die den Zirkel überflüssig
machten.
Um die Mitte des 17. Jahrhunderts verwendeten die Engländer
Edmund Wingate (1593 - 1656) und Set Partridge
einen Rechenschieber mit eingefügter Zunge, der bereits
unseren neuzeitlichen Rechenschiebern sehr ähnlich war.
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts begann die industrielle
Massenproduktion von Rechenschiebern. Es gab auch
Rechenschieber für besondere Zwecke, etwa für Kaufleute und
Elektriker. Auch die Rechenscheiben gehören zu den
Rechenschiebern, dort ist die Skalenlänge auf dem Umfang
einer Scheibe angeordnet. Die Scheiben mit korrespondierenden
Skalen sind im Mittelpunkt gegeneinander drehbar verbunden.
Beschreibung des Rechenschiebers
Das Prinzip der Streckenaddition
Die Funktionsweise des Rechenschiebers beruht auf der
Addition oder Subtraktion von Strecken durch Aneinanderlegen
von Skalen:
| Beispiel für
Addition: 7 + x
= y
|
In der Skizze ist der Anfang der oberen Skala mit
der Null auf die 7
der unteren Skala eingestellt. 7 ist
der erste Summand.
Nun wird auf der oberen Skala der zweite Summand x
= 5 aufgesucht und gegenüber auf der
unteren Skala die Summe y =
12 abgelesen.
Gegenüber den oberen Zahlen x
ist an der unteren Skala die
Summe y = 7
+ x abzulesen (siehe
Bild oben: 7 + 5 = 12). |
| Beispiel für
Subtraktion: y - x
= 7
|
Wenn man die Differenz 13 - 6
berechnen will, so stellt man über y
= 13 der unteren Skala x
= 6 der oberen Skala und und geht
auf der oberen Skala nach links bis zur 0.
Dort liest man an der unteren Skala das Ergebnis 7
ab.
Dem Wert y an
der unteren Skala steht der Wert x
der oberen Skala gegenüber. Für jedes dieser
Zahlenpaare gilt die Differenz y - x
= 7.
(siehe Bild oben: 13 - 6 = 7) |
Bauweise des logarithmischen Rechenschiebers
Die Funktionsweise des logarithmischen
Rechenschiebers beruht auf der Addition oder
Subtraktion von Strecken durch Aneinanderlegen
logarithmischer Skalen.
 |
Der neuzeitliche Rechenschieber besteht aus einem
"Körper" mit zwei verbundenen
Skalenleisten, in deren Mitte eine "Zunge"
mit korrespondierenden Skalen beweglich angeordnet
ist. Zum Merken der eingestellten Zahl dient ein
"Läufer" mit einem dünnen senkrechten
Strich und mehreren Hilfsmarkierungen. |
Die Rechenschieber wurden in verschiedenen Größen
hergestellt:
- Normaler Rechenschieber für den Arbeitsplatz mit
Skalenlänge 25 cm,
- Taschenrechenschieber mit 12,5 cm Skalenlänge,
- großer Rechenschieber mit 50 cm Skalenlänge für
"genauere" Berechnungen und Vorführgerät
beim Unterricht.
Die Skalen
Zu beachten ist, daß beim Rechenschieber auf den
logarithmischen Hauptskalen A, B, C, CI (invers = 1/x),
D und K der Wert Null nicht vorkommt. Diese Skalen beginnen
und enden mit dem Wert 1. Die Hauptskalen C, CI und D
enthalten zwischen den beiden Einsen jeweils nur einen
Zehnerpotenzbereich (z. B. 0,1 bis 1,0 oder 1 bis 10 oder 10
bis 100; usw.). Die Quadratskalen A und B enthalten zwei
und die Kubikskala K enthält drei
Zehnerpotenzbereiche.
Die Skala L ist gleichmäßig geteilt und läuft von 0,0
bis 1,0; an dieser kann der log x
abgelesen werden. An den Skalen S (Sinus), T (Tangens) und ST
(Sinus-Tangens; für kleine Winkel ist der Sinus annähernd
gleich dem Tangens) kann man die Werte der Winkel ablesen.
Die doppelt-logarithmischen Skalen LL01 bis LL03 und LL1
bis LL3 gibt es nur auf den doppelseitigen Systemen. Sie ermöglichen
Potenzberechnungen wie ab
oder a1/b.
Die Systeme
Es gibt verschiedene Systeme, die sich nur durch die Art
und Anordnung der Skalen oder durch die Bauweise (einseitig,
doppelseitig) unterscheiden:
| "Darmstadt" |
einseitiger technisch-wissenschaftlicher
Rechenschieber, |
| "Rietz" |
einseitiger technisch-wissenschaftlicher
Rechenschieber (siehe Bild unten) |
| "ARISTO-Studio" |
doppelseitiger technisch-wissenschaftlicher
Rechenschieber |
| andere Systeme |
für Finanzberechnungen, Kaufleute,
Spezialbereiche |
Das folgende Bild zeigt die linke Hälfte eines
Rechenschiebers des Systems "Rietz"der
Firma Faber-Castell. Dieser hat eine Skalenlänge
von 12,5 cm. Die Skalen S, T und ST befinden sich auf der Rückseite
der Zunge, die herausgezogen und umgedreht eingesteckt werden
kann. Die oberste Skala ist eine normale cm-Skala.
Einstellung des Rechenschiebers im Bild:
Der Beginn der Skala C (Wert 1) ist auf die Zahl 1,5 der
Skala D eingestellt (das ist die kleine 5
zwischen 1 und 2,
in diesem Bereich ist nur die erste Ziffer nach dem Komma
beschriftet). Mit dieser Einstellung können alle
Multiplikationen 1,5 · x
durchgeführt werden, wenn man mit x
auf der Skala C nach rechts wandert.
Von der Zungeneinstellung unabhängig ist die Beziehung
zwischen der Skala D und L. Dort kann man z. B. den log
2 ablesen: Für den Wert 2 auf der Skala D liest man
den Wert 0,30 auf der Skala L ab. Genauere Ablesungen sind
nur mit der Lupe möglich, aber nicht sinnvoll.
Die Anwendung des Rechenschiebers
Aufgaben
Der Rechenschieber erfüllt zweierlei Aufgaben:
- Er ersetzt mit begrenzter Genauigkeit
mathematische Tafeln und gibt die Mehrzahl der
trigonometrischen Funktionen an. Soweit es sich um
ein Modell mit doppelt-logarithmischen Skalen
handelt, lassen sich auch Exponentialfunktionen,
Logarithmen und Potenzen ablesen.
- Er dient als mechanisches Hilfsmittel zur
Multiplikation und Division der
eingestellten Skalenwerte. Dabei wird die linke Eins
der Zunge auf den Skalenwert des Körpers gestellt
und der Läufer auf den zweiten Wert an der Zunge
eingestellt. Am Läuferstrich kann das Ergebnis der
Multiplikation auf der Körperskala abgelesen werden.
Falls die Werte über die Längen der Skalen
hinausgehen, wird die Zunge nach links um die Skalenlänge
durchgeschoben und die rechte Eins der Zunge als
Anfang verwendet.
Das Ergebnis
Die Berechnung liefert nur das zahlenmäßige
Ergebnis (signifikante Stellen) ohne Stellenwert.
Den Stellenwert muß der Anwender durch "Mitdenken"
selbst ermitteln. Auch hier ist wie beim Abakus viel Übung
notwendig, um ihn perfekt zu beherrschen.
Unentbehrlich in Wissenschaft und Technik
Der Autor hat 1957 bei seinem Studienantritt, wie jeder
andere Ingenieurstudent auch, eine Logarithmentafel und einen
Rechenschieber vorweisen müssen. Beide Hilfsmittel waren
damals Voraussetzung für "höhere" Berechnungen.
Bei den Wissenschaftlern und Ingenieuren waren
Rechenschieber noch bis etwa 1970 unentbehrliche Hilfsmittel
bei Berechnungen. Erst die technisch-wissenschaftlichen Taschenrechner lösten den
Rechenschieber ab. Im Handbuch der Mathematik [2]
von 1972 ist eine genaue Beschreibung des Rechenschiebers und
seiner Verwendung angegeben.
Addiator
Ein Nachteil der Rechenschieber ist, daß man damit nicht
genau addieren und subtrahieren kann. Obwohl das Prinzip des
Rechenschiebers auf der Addition von Strecken auf den Skalen
beruht, so sind die Ablesungen der Skalen bei mehrstelligen
Zahlen zu ungenau, selbst bei Verwendung einer Lupe.
Deshalb wurde neben dem Rechenschieber ein zweites
Taschengerät, der Addiator, zu Addieren und Subtrahieren
notwendig. Es besteht aus nebeneinanderliegenden
verschieblichen senkrechten Ziffernstreifen, die um die
entsprechenden Werte nach oben unten geschoben werden. Auch
ein Übertrag zur nächsten Stelle ist möglich. Im Prinzip
ist der Addiator nichts anderes als ein Abakus mit
Ziffernstreifen anstelle der Kugeln.
Dieses Gerät war früher neben dem Rechenschieber in der
Tasche jedes Ingenieurs zu finden. Das nachfolgende Bild ist
der Bedienungsanleitung [5] des Addiators
entnommen und zeigt Vorder- und Rückseite des Geräts.
Programmgesteuerte elektronische
Maschinen
Geschichtlicher Überblick
| 1833 |
plante Charles
Babbage (1791-1871) an der Universität Cambridge
eine Maschine, bei der die Reihenfolge der einzelnen
Rechenoperationen nicht mehr manuell, sondern durch nacheinander
eingegebene Lochkarten (!) gesteuert werden sollte.
Diese Maschine sollte einen Zahlenspeicher, ein
Rechenwerk, eine Steuereinheit und einen Programmspeicher
besitzen. Wegen der unzulänglichen technischen
Möglichkeiten zur Herstellung dieser Maschine
wurde sie nie funktionsfähig. |
| 1847 |
veröffentlichte George Boole
(1815-1864) seine mathematische Logik (Boole'sche
Algebra), die auf Leibniz' Dualsystem aufbaute
und heute die Grundlage für die Entwicklung der logischen
Schaltglieder der Digitaltechnik und vor allem der
Rechner ist. |
| 1886 |
entwickelte Hermann Hollerith (1860-1929)
in den USA elektrisch arbeitende Zählmaschinen
für Lochkarten. Der damals 20-jährige
Diplomingenieur wurde (1880) Mitarbeiter bei der Volkszählung
der USA und führte dort 1889 die Lochkarte
als Zählkarte ein. Das Zählgerät (Volkszählungsmaschine) bestand
aus einer Kontaktpresse mit Abtastplatte und einen Zähler
für jeden Kontakt. Durch Kabelverbindungen waren
logische Verknüpfungen möglich. Der Zeitaufwand
für die Auswertung konnte durch die Lochkarten auf
ein Achtel der vorher benötigten Zeit herabgesetzt
werden.
Die Lochkartentechnik wurde unmittelbarer Vorläufer der EDV. 1896
wurde die erste Firma gegründet, aus der 1910 die IBM
hervorging. |
| 1934 |
begann in Berlin der Bauingenieur Konrad
Zuse, geboren 1910, mit der Planung einer
programmgesteuerten Rechenmaschine für Aufgaben
der Statik. 1937 war die mechanische Anlage Z1 fertig.
Sie arbeitete mit Dualcode und wurde über einen Lochstreifen
gesteuert, auf dem das Programm stand. |
| 1941 |
war Zuses berühmte Z3
fertig, die erste programmgesteuerte Rechenmaschine
der Welt, eine Relais-Maschine mit
2000 Relais. |
| 1943 |
Entwicklung des COLOSSUS (Röhrenmaschine)
von Turing in England (Entschlüsselung
von Funksprüchen. (Das theoretische Prinzip der
Turing-Maschine wurde später in der
Informatik bedeutend). |
| 1944 |
Fertigstellung von MARK I
durch Aiken in Zusammenarbeit mit IBM
in USA
Daten der Maschine:
Länge = 16 m, 3304 Röhren, 850 km Draht, 35 t
Gewicht, Lochkartentechnik, Fernsprechzähler, keine
zentrale Programmsteuerung, sondern Steuerung über
zentrale Stecktafel (Schaltplatte),
72 Addierzählwerke, kein variabler Speicher, 60
Fixwertspeicher, |
| 1946 |
entwickelte der Mathematiker John
von Neumann (1903-1957) die Prinzipien eines
Universalrechners (Darstellung von Befehlen, Operationen
und Daten im gleichen Speicher, Idee der Speicherprogrammierung). |
| 1946 |
Fertigstellung der ENIAC,
eines 30 t schweren mit 18000 Elektronenröhren
und 1500 Relais bestückten Rechners (Kosten: 10
Millionen $), der 200 kW Anschlußleistung erforderte.
Er arbeitete mit BCD-Code, also dem
Dezimalsystem. Hauptproblem: Röhrenausfall alle paar
Minuten. |
| 1948 |
erstmals in Deutschland wieder
Aktivität: Walther, Mathematik-Professor
an der TH Darmstadt, entwickelte den
Analogrechner DERA (Darmstädter
Elektronische Rechen-Anlage)
Piloty an der TH München, entwickelte PERM
(1950 Programmgesteuerter Elektronischer
Rechenautomat München)
|
| 1948 |
Erster russischer Rechner BESM
mit 4000 Elektronenröhren (Speicherröhren), damals
schnellster Rechner der Welt. |
| 1948 |
Erfindung des Transistors
auf der Basis der Halbleiter. |
| 1951 |
Bau der UNIVAC I
von Remington Rand Inc. |
| 1954 |
Auslieferung des IBM 650
Magnettrommelrechners |
Durch die Erfindung des Transistors im Jahr 1948 wurde die
Entwicklung der elektronischen Rechner sehr beschleunigt. Der
Transistor wird aus Halbleitermaterial
(Germanium, Silizium) hergestellt. Das Wort "Halbleiter" gibt
an, daß dieses Material den Strom nur "zum Teil" leitet
(bzw. daß man die Leitfähigkeit beeinflussen kann), im
Gegensatz zu den Metallen, die ihn gut leiten, und den Nichtleitern
wie Porzellan und Gummi, die als Isolationsmaterial
verwendet werden.
Die Beeinflußbarkeit der Leitfähigkeit von
Halbleitermateralien wird beim Transistor ausgenutzt.
Der Transistor besteht aus drei Schichten von verschieden
dotierten (mit anderen Elementen "verunreinigten")
Halbleitermaterialien (Flächentransistor), die mit
elektrischen Anschlüssen versehen sind. Er kann als
Verstärkerelement und als Schaltelement verwendet
werden. Transistoren werden als Einzelbauteile (diskrete Bauteile)
hergestellt und verwendet. Auch Bauelemente, die den
Strom nur in einer Richtung leiten (Dioden), werden aus
Halbleitermaterial hergestellt.
Man hatte gelernt, die drei Schichten sehr dünn (durch
Aufdampfen) herzustellen und damit Transistoren sehr klein zu
fertigen. Man packte immer mehr Transistoren sehr dicht auf eine
Unterlage (Substrat). Damit wurde eine Miniaturisierung
möglich. Diese "integrierten Schaltungen"
enthalten Hunderttausende von Transistoren (Transistorfunktionen)
und sind Grundlage der modernen Computertechnologie (Prozessor-Chips)
geworden.
| 1954/55 |
erster Transistorrechner
TRADIC der Bell Telephone
Laboratories (800 Transistoren) und UNIVAC II
von Remington Rand Inc. mit 500
Transistoren. |
| 1956 |
Erster Einsatz eines Röhrenrechners
bei einer deutschen Behörde (BfA). |
| 1957 |
Volltransistorisierte Rechenanlage
SIEMENS 2002. |
| 1959 |
Volltransistorisierte Rechenanlage
von IBM. |
| 1962 |
Erster Rechner von DEC. |
| 1964 |
Erste Rechnerfamilien: IBM
360, CD 3000, PDP 10, SIEMENS 4004, UNIVAC 9000,
Eingabe immer noch durch Lochkarten. |
| 1967 |
Erster Einsatz von Prozeßrechnern. |
| 1967/70 |
Großintegrierte Rechnerbausteine (Raumfahrt!
Mondlandung!). |
| 1971 |
Erster wissenschaftlicher Taschenrechner HP- 35,
Preis über 1000 DM. |
| 1975 |
Rechnerfamilien CD Cyber, IBM 370,
DEC 20, SIEMENS 7700 UNIVAC 90. |
| 1976 |
Gründung von Zilog (µP: 8080,
Z80). |
| 1976 |
Erster 16-Bit-Mikroprozessor von
Texas Instruments. |
| 1978 |
Erste Heimcomputer auf der Basis der
8-Bit-Mikroprozessoren. |
| 1979 |
Erstmals Computerabteilungen in den
Kaufhäusern zum Absatz von Heimcomputern. |
| 1983 |
Bei VW Einsatz von Montagerobotern. |
| 1986 |
Mehrprozessor-Computer als PC-Anlagen,
Durchsetzung eines gewissen Industriestandards
bei PC-Anlagen (Prozessortypen 8086, 80186). |
| 1987 |
Taschenrechner mit
Solarstromversorgung (das Licht einer Kerze reicht
aus) in der Größe einer Scheckkarte mit den
vier Grundrechenarten, einem Speicherregister, Wurzel-
und Prozentrechnung für den Preis von weniger als 5 DM. |
| ab 1987 |
Komplexe Mikroprozessoren (80286,
80386, 80486, Pentium, K6, usw.) revolutionieren den
Bau von kleinen und transportablen Computern (Desktop-,
Laptop, Notebook-, Palmtop-, Handheldmodelle). |
Wissenschaftliche Taschenrechner
Der erste technisch-wissenschaftliche Taschenrechner, den
der Autor 1973 zu Gesicht bekam, war der HP-35 [6].
Der Rechner heißt so, weil er 35 Tasten hat.
Es verwunderte die Fachanwender, daß alle Funktionswerte
(Logarithmen, Funktionswerte) auf Tastendruck mit zwölfstelliger
Genauigkeit abzulesen waren, eine Genauigkeit, die keine
Logarithmentafel bot. Die Funktionswerte sind nicht etwa
gespeichert, sondern werden auf Tastendruck aus den bekannten
mathematischen Reihenentwicklungen (siehe oben)
berechnet. Die Programme dafür sind intern fest gespeichert
und werden per Tastendruck gestartet. Die Ergebnisse werden
intern mit 56 Bit Genauigkeit berechnet. Dabei ist die
gesamte Elektronik mit den 3 integrierten Schaltungen und
sonstigen Bauteilen nur 7x7 cm groß.
UPN und automatischer Stack
Der HP-35 verwendet die umgekehrte polnische
Notation (UPN) in Verbindung mit einem automatischen Stack (Kellerspeicher,
Stapel), bei der zuerst die Zahlen in die Register des Stacks
eingegeben werden, bevor die Funktionstaste gedrückt wird.
Die Addition 3 + 5 wird als
eingegeben. Sofort nach dem Drücken der Funktionstaste
[+] wird das Ergebnis angezeigt. Bei weiteren Additionen wird
nur mehr die nächste Zahl eingegeben und die Funktionstaste
gedrückt. Der automatische Stack des HP-35 ermöglicht
Kettenrechnungen ohne separate Zwischenspeicherungen.
Bei der arithmetischen Notation, die
andere Taschenrechner verwenden, rechnet man bei diesem
Beispiel:
Bei der arithmetischen Notation gibt es Klammerebenen für
Kettenrechnungen.
Dem Prinzip UPN mit automatischem Stack blieb HP auch bei
den nachfolgenden Modellen treu. Wenn man sich daran gewöhnt
hat, kann man mit UPN wesentlich schneller rechnen als mit
der arithmetischen Notation.
Letzte Entwicklungen
Die modernen Taschenrechner der verschiedenen Hersteller
sind inzwischen so weit entwickelt, daß sie frei
programmierbar sind, Gleichungslöser enthalten, Integral-
und Differentialrechnung beherrschen, mit frei definierbaren
Variablen, Matrizen und komplexen Zahlen rechnen können und
die Ergebnisse numerisch oder graphisch auf einem Flüssigkristall-Bildschirmchen
(LCD, Größe z. B. 131 x 64 Pixel) ausgeben. Man kann
Drucker und PC daran anschließen und das Betriebssystem des
Taschenrechners aktualisieren.
Beispiele dafür sind der HP 49G und der TI-89.
Schlußwort
Das Streben nach Erleichterung von Berechnungen brachte im
Laufe der vergangenen Jahrhunderte verschiedene Hilfsmittel
hervor. Einige davon wurden in diesem Beitrag vorgestellt. Es
gab noch viele andere Entwicklungen, die sich nicht
durchsetzten oder in Vergessenheit gerieten.
Auch die Genauigkeit des Ergebnisses war für den Erfolg
einer Methode ausschlaggebend.
Der Abakus und die Vier-Spezies-Rechenmaschinen rechnen in
Rahmen der vorhandenen Stellenzahl beim Addieren und
Subtrahieren genau.
Bei den Logarithmen hängt die
Genauigkeit der Berechnung von der Stellenzahl der
Logarithmen ab.
Beim Rechenschieber sind die
Ergebnisse nur auf drei oder vier signifikante Stellen genau.
Für die Berechnungen eines Ingenieurs genügte diese
Genauigkeit, weil z. B. bei statischen Berechnungen die Werte
für Belastungen und Materialgüten ohnehin nur
vorgeschriebene Annahmen waren.
Beim Taschenrechner wird
intern mit höheren Stellenzahlen gerechnet und nur der
gerundete Wert ausgegeben.
Die programmierbaren Computer (PC, Großrechner) ermöglichen
beliebige Genauigkeit je nach Bauart, Programmierung und
Berechnungsmethode (hochgenaue Berechnungen durch HGN-Algorithmen).
Quellenangabe
Fotos und Bilder stammen vom Autor,
soweit nicht anders angegeben.
| [1] |
Schaefer, Fünfstellige
Logarithmen und Zahlentafeln, J. Lindauer
Verlag (Schaefer), München, 1957.
Der Ausschnitt aus der Logarithmentafel (Abschnitt 1,
Seite 6) ist diesem Buch entnommen. |
| [2] |
Walter Gellert, Handbuch der
Mathematik, Buch und Zeit Verlagsges.m.b.H,
Köln, 1972.
Die geschichtlichen Angaben über Logarithmen und
Rechenschieber stammen aus diesem Buch. |
| [3] |
Bedienungsanleitung des Abakus:
Copyright 1972, Robert Oscar Meier & Co, Bremen,
9. Auflage. |
| [4] |
Bedienungsanleitung der Walther-Rechenmaschine:
Walther-Büromaschinen GmbH, Niederstotzingen/Württemberg,
1963. |
| [5] |
Bedienungsanleitung des Addiators:
Rechenmaschinenfabrik C. Kübler, Berlin-Charlottenburg
2, Leibnizstraße 33, 1960. |
| [6] |
Hewlett-Packard GmbH, Frankfurt, 1973. |
Zum Beginn des Beitrags
Zur Beitragsübersicht
Copyright © 2002 Otto Praxl.
Alle Rechte vorbehalten.