Digitale geometrische Modelle (DGM)

Theorie und Praxis
der Berechnung von Längen, Flächen, Winkeln und Rauminhalten
im dreidimensionalen Raum mittels Vektoren.
Ausführliches Beispiel für "Digitales Geländemodell".
HP49-Programme zum Herunterladen.

Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.

Inhalt

Zur Übersicht

Einleitung

Zur Lösung von geometrischen Problemen gibt es analytische und graphische Methoden. In der analytischen Geometrie werden Punkte, Linien, Flächen und räumliche Gebilde durch Zahlen und Formeln festgelegt, bei den graphischen Methoden löst man die Aufgaben mit Bleistift, Lineal und Zirkel auf dem Zeichenbrett (darstellende Geometrie). Computer und leistungsfähige Taschenrechner beherrschen die analytischen und die graphischen Methoden gleichermaßen.

In diesem Beitrag wird gezeigt, wie man Probleme der räumlichen Geometrie auf dem HP 49G mit Vektoren lösen kann. Hierbei wird vor allem das Dreieck im dreidimensionalen Raum betrachtet, das die Grundlage vieler Ingenieursysteme bildet, insbesondere in der Bauinformatik und in der Geodäsie.

Das Prinzip der digitalen geometrischen Modelle (DGM) wird erläutert und ein HP49-Programm für ein digitales Geländemodell entwickelt.

Ein sehr ausführliches Berechnungsbeispiel zeigt die Anwendung der Theorie in der Praxis und sollte alle Unklarheiten beseitigen.

Die mathematischen Grundlagen werden beim Leser als bekannt vorausgesetzt. Im Zweifelsfall lese man in den Lehrbüchern nach (z. B. bei Smirnow, Laugwitz, Spiegel, u. a.).

 

Definitionen und Begriffe

Variablen und Formelzeichen

Siehe auch Notation für die Schreibweise von Tastendrücken und Funktionsaufrufen beim HP 49G

Bezeichnung Notation (Beispiele) Bemerkungen
Eckpunkte von Dreiecken A, B, C, A', B', C' Großbuchstaben
Schwerpunkte von Dreiecken S, S' Großbuchstaben
Ortsvektoren zu den Eckpunkten von Dreiecken A, B, C, A', B', C' Großbuchstaben, 
fett + unterstrichen
Seitenvektoren von Dreiecken nennen wir die Vektoren, die durch Seitenlänge und Seitenrichtung bestimmt werden. a, b, c, a', b', c' Kleinbuchstaben, 
fett + unterstrichen
Normalenvektor (ein auf der Dreiecksebene senkrecht stehender Vektor) N Großbuchstaben, 
fett + unterstrichen
Einheitsvektoren (Normalen-Einheitsvektor, Fall-Linien-Einheitsvektor) n, f Kleinbuchstaben, 
fett + unterstrichen
Vektorkomponenten in eckigen Klammern [xA , yA , zA] Kursiver Fettdruck
Sonstige Variablen a, b, c, A Kursiver Fettdruck
Winkel Alpha-Zeichen, ß ,Gamma-Zeichen , µ Griechische Buchstaben 
in kursivem Fettdruck
Zur besseren Deutlichkeit der Darstellung werden im nachfolgenden Text die Vektorkomponenten in der eckigen Klammer durch Kommas getrennt. Normalerweise genügt ein Leerzeichen zwischen den Komponenten.

Definitionen

Die Berechnungen erfolgen in einem kartesischen Koordinatensystem
(orthogonales Rechtssystem, siehe dazu auch Beitrag Koordinatensysteme)
mit den Achsen x, y und z, wobei die z-Achse nach oben weisen soll. 

Beim HP 49G muß dafür der Koordinaten-Modus mit dem Befehl RECT (= rectangular = rechtwinklig) eingestellt werden

Bild 1 zeigt das Dreieck im dreidimensionalen Raum und seine Projektion auf die x,y-Ebene.

Bild 1: Dreieck im Raum, Bezeichnungen

Ortsvektoren gehen vom Koordinatenursprung aus. Die drei Ortsvektoren vom Koordinatenursprung zu den Eckpunkten A, B und C des im Raum liegenden Dreiecks ABC (siehe Bild 1) werden mit A, B und C bezeichnet. Die Koordinatenwerte der Eckpunkte des Dreiecks sind zugleich die Komponenten dieser Ortsvektoren.

A = [xA , yA , zA] , 
B = [xB , yB , zB]
C = [xC , yC , zC] 

Das auf die x,y-Ebene projizierte Dreieck hat dort die Eckpunke A', B' und C'. Auch sie sind durch drei Ortsvektoren vom Koordinatenursprung zu diesen Eckpunkten bestimmt. Sie werden mit A', B' und C' bezeichnet.

A' = [xA , yA , 0] , 
B' = [xB , yB , 0]
C' = [xC , yC , 0] 

A', B' und C' sind die Projektionen der Vektoren A, B und C und haben deshalb die z-Komponente 0.

Die Seitenvektoren des Dreiecks ABC sind die Differenzvektoren a, b und c aus den Ortsvektoren A, B und C , wobei, wie bei Dreiecken üblich, die Seite dem gleichnamigen Eckpunkt gegenüberliegt: 

a = C - B = [xa , ya , za], denn es gilt B + a = C
b = A - C = [xb , yb , zb], denn es gilt C + b = A
c = B - A = [xc , yc , zc], denn es gilt A + c = B

Im projizierten Dreieck gilt analog:

Die Seitenvektoren des projizierten Dreiecks A' B' C' sind die Differenzvektoren a', b' und c' aus den Ortsvektoren A', B' und C' :  

a' = C' - B' = [xa , ya , 0], denn es gilt B' + a' = C'
b' = A' - C' = [xb , yb , 0], denn es gilt C' + b' = A'
c' = B' - A' = [xc , yc , 0], denn es gilt A + c = B

Hinweis:
Alle Vektoren (mit Apostroph) zum projizierten Dreieck A' B' C' sind Projektionen der entsprechenden Vektoren des räumlichen Dreiecks. Sie haben deshalb die x- und y-Koordinaten der Ortsvektoren zum Dreieck ABC (ohne Apostroph) und die z-Komponenten Null.  

Beim HP 49G wird ein Vektor durch seine Komponenten x, y und z in eckigen Klammern 
[x , y , z] dargestellt, wobei die Komponenten reelle Zahlen sein müssen. Dazu sollte der Näherungsmodus (Systemflag -105 gesetzt = 1) eingeschaltet sein.

Betrag eines Vektors

Der Betrag des Vektors a ist seine Länge und wird mit |a| = a bezeichnet.  

Beim HP 49G wird der Betrag eines Vektors durch den Befehl ABS (=Absolutwert) ermittelt.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Das Skalarprodukt a · b = a b wird auch inneres Produkt der Vektoren a und b genannt und ist eine reine Zahl (ein Skalar!), die hier zur Winkelberechnung beim Dreieck verwendet wird. Stehen die Vektoren a und b rechtwinklig aufeinander, so ist a · b = 0. Für das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz.  

Beim HP 49G wird das Skalarprodukt zweier Vektoren durch den Befehl DOT berechnet. Das Wort DOT erinnert an den Multiplikationspunkt bei a · b.

Im nachfolgenden Text ergibt sich verwechslungsfrei aus dem Zusammenhang, ob der Multiplikationspunkt in einem Skalarprodukt zweier Vektoren oder in einem Produkt zweier Zahlen verwendet wird.

Kreuzprodukt zweier Vektoren

Das Kreuzprodukt a × b zweier Vektoren a und b wird auch äußeres Produkt oder Vektorprodukt genannt und ist ein Vektor, der als Normale (= Lot) auf der durch die beiden beteiligten Vektoren a und b gebildeten Ebene steht. Er wird als Normalenvektor N = a × b bezeichnet, mit dem im Dreieck gerechnet werden soll. Seine Länge (Betrag) ist der Flächeninhalt des durch a und b aufgespannten Parallelogramms. Die Richtung des Normalenvektors folgt einer Rechtsschraube (siehe Rechtssystem), wenn man für ihn die Drehrichtung ausgehend von Vektor a in Richtung Vektor b wählt. Das Kommutativgesetz gilt nicht für das Kreuzprodukt, hier kommt es auf die Reihenfolge der Vektoren an. 

Beim HP 49G wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren durch den Befehl CROSS berechnet. Das Wort CROSS erinnert an das Kreuzchen × bei a × b. 

Der Flächeninhalt A des im Raum liegenden Dreiecks ABC wird aus dem Kreuzprodukt zweier Seitenvektoren berechnet:  

A = ½ · | a × b | = ½ · | b × c | = ½ · | c × a |

Hinweis zum Normalenvektor:
Jeder Vektor, der auf einer Ebene senkrecht steht, ist ein Normalenvektor dieser Ebene. Der Vektor, der durch das Kreuzprodukt zweier Seitenvektoren erzeugt wird, soll hier bevorzugt werden. In der Praxis kommt es meist nur auf die Richtung an, deshalb wird dann für die Flächennormale der Normalen-Einheitsvektor n = N / | N | angegeben, der zu allen Normalenvektoren N parallel ist und den Betrag 1 besitzt.

Positiver Umlaufsinn der Eckpunkte des Dreiecks

Die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks müssen in der Reihenfolge entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet sein (= positiver Umlaufsinn), wenn man von oben auf das Dreieck blickt. Dann zeigt der Normalenvektor N der umlaufenden Seitenvektoren in Richtung des Beobachters, das heißt, die z-Komponente des Normalenvektors ist positiv. Dies ist für viele Berechnungen von Bedeutung.

Spatprodukt dreier Vektoren

Das Spatprodukt (A B C) = A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B) ist das Volumen des Parallelepipeds (= Spat, ein Skalar!), das durch die drei Vektoren A, B und C aufgespannt wird. Das Vorzeichen des Spatprodukts ist vom Umlaufsinn der Eckpunkte im Dreieck ABC abhängig.

Wenn das Spatprodukt gleich Null ist, dann gehören die drei beteiligten Vektoren zu ein und derselben Ebene (komplanar). Beim Dreieck ABC liegen die drei Seitenvektoren a, b und c in einer Ebene, so daß (a b c) = 0 ist. Diese Tatsache kann zu Plausibilitätsprüfungen verwendet werden.

Hinweis:
Den sechsten Teil des Spatprodukts = (A B C)/6 (= unregelmäßige Pyramide mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und dem Koordinatenursprung als Spitze) kann man zur Volumenberechnung eines durch ein geschlossenes Dreiecksnetz umgrenzten Körpers verwenden, wobei die Vektoren Ortsvektoren sein sollen. Die Theorie ist ähnlich dem Gaußschen Integralsatz im Beitrag "Querschnittswerte", hier aber nicht für die Ebene, sondern als Volumenelement für den Raum. Volumenberechnungen werden weiter unten durch Dreikantprismatoide realisiert, die bei der Projektion der Dreiecke auf die x,y-Ebene entstehen.  

Für das Spatprodukt gibt es beim HP 49G keinen eigenen Befehl. Zur Berechnung des Spatprodukts werden die drei Vektoren in den Stack gestellt und dann die Befehle CROSS und DOT hintereinander ausgeführt.

 

Das Dreieck im dreidimensionalen Raum

Das Dreieck im Raum ist durch die räumlichen Koordinaten x, y und z der Eckpunkte gegeben, die hier als Vektorkomponenten verwendet werden.

Das obige Bild 1 zeigt Lage, Bezeichnungen und Vektorzuordnungen im räumlichen Dreieck und im projizierten Dreieck in der x,y-Ebene. Das so entstandene Dreikantprismatoid (siehe Bild 2) wird weiter unten behandelt.

Berechnungsformeln

Seitenlängen

Die Längen der Dreieckseiten sind die Beträge der jeweiligen Seitenvektoren. Die Seitenlängen im Raum werden mit a, b und c und im Grundriß (projiziertes Dreieck in x,y-Ebene) mit a', b' und c' bezeichnet. 

a = | a |
b = | b | 
c = | c | 		 a' = | a' |
b' = | b' | 
c' = | c' | 

Winkel im Dreieck

Die Innenwinkel im Dreieck ABC erhalten die Bezeichnungen nach Bild 2:

Alpha-Zeichen (Innenwinkel am Eckpunkt A gegenüber der Seite a),
ß (Innenwinkel am Eckpunkt B gegenüber der Seite b) und
Gamma-Zeichen (Innenwinkel am Eckpunkt C gegenüber der Seite c).

Diese Winkel werden über das Skalarprodukt der Vektoren der anliegenden Seiten berechnet. Nach der im Bild 1 gewählten Richtungsdefinition der Seitenvektoren des Dreiecks muß für die Berechnung des Innenwinkels der Vektor, der den linken Schenkel bildet, ein negatives Vorzeichen erhalten, damit beide Vektoren am Eckpunkt beginnen:  

cos Alpha-Zeichen = (-b · c ) / ( | b | · | c | ) = -(b · c ) / (b · c)

cos ß = (-c · a ) / ( | c | · | a | ) = -(c · a ) / (c · a)

cos Gamma-Zeichen = (-a · b ) / ( | a | · | b | ) = -(a · b) / (a · b)

Für das projizierte Dreieck gilt analog:

cos Alpha-Zeichen' = (-b' · c' ) / ( | b' | · | c' | ) = -(b' · c' ) / (b' · c')

cos ß' = (-c' · a' ) / ( | c' | · | a' | ) = -(c' · a' ) / (c' · a')

cos Gamma-Zeichen' = (-a' · b' ) / ( | a' | · | b' | ) = -(a' · b') / (a' · b')

Hinweis:
In -( a · b ) / (a · b) ist nach obiger Definition der Klammerausdruck im Zähler das Skalarprodukt und der Klammerausdruck im Nenner das Produkt der Seitenlängen.

Flächeninhalte

Wie oben schon angegeben, ist der Flächeninhalt A der halbe Betrag des Kreuzpodukts zweier Seitenvektoren des Dreiecks, also der halbe Betrag des Normalenvektors
N = a × b = b × c = c × a. 

A = ½ · | N | = ½ · | a × b | = ½ · | b × c | = ½ · | c × a |

Dieser berechnete Flächeninhalt hat immer einen positiven Wert.  

Falls man bei negativem Umlaufsinn der Eckpunkte des Dreiecks die Fläche mit negativem Vorzeichen versehen will, muß der berechnete Wert das Vorzeichen (sign = signum) der z-Komponente des Normalenvektors bekommen. Die Formel lautet dann:
A = sign(zN) · ½ · | a × b | = sign(zN) · ½ · | b × c | = sign(zN) · ½ · | c × a |

Damit können in digitalen geometrischen Modellen (DGM) auch "überhängende" Flächen (mit µ > 90°) zugelassen und berechnet werden. Hier soll diese Möglichkeit nicht genutzt werden.

 Der Flächeninhalt des projizierten Dreiecks A' B' C' beträgt

A' = ½ · | N' | = ½ · | a' × b' | = ½ · | b' × c' | = ½ · | c' × a' |

Schwerpunktlage

Der Ortsvektor S zum Schwerpunkt S des Dreiecks ABC wird aus den Ortsvektoren der Eckpunkte berechnet:  

S = [xS , yS , zS] = (A + B + C)/3

mit den Komponenten  

xS = ( xA + xB + xC ) / 3
yS = ( yA + yB + yC ) / 3
zS = ( zA + zB + zC ) / 3

Im projizierten Dreieck A' B' C' gilt:

xS' = ( xA + xB + xC ) / 3
yS' = ( yA + yB + yC ) / 3
zS' = 0

zS' = 0, weil zA' = zB' =zC' = 0 und die x,y-Komponenten der projizierten Vektoren A' , B' und C' mit den x,y-Komponenten der Vektoren A, B und C identisch sind.

Flächenneigung

Jeder Normalenvektor ermöglicht die Bestimmung der Fall-Linie und der Flächenneigung µ zur x,y-Ebene. Für die Berechnung wird aber der Normalen-Einheitsvektor genommen, der parallel zu allen Normalenvektoren ist und den Betrag 1 besitzt. Er wird aus dem Normalenvektor N = a × b = [xN , yN , zN] berechnet:

n = N / | N | 

Die Neigung des Dreiecks zur Waagrechten ist identisch mit dem Winkel, den der Normalenvektor mit seiner der z-Komponente bildet. Außerdem gilt: A' = A · cos µ . Daraus ergibt sich:

cos µ = A' / A = zn / | n |.

Fall-Linie

Die Kenntnis der Fall-Linie ist in der Praxis für die Fließverhältnisse des Wassers auf Flächen wichtig. Wird Wasser auf eine im Raum liegende Ebene aufgebracht, so fließt es in Richtung der Fall-Linie ab. Der Ort der Fall-Linie auf einer Ebene ist lagemäßig nicht bestimmt, sondern ist vom Punkt abhängig, auf den das Wasser auftrifft.

Die Richtung der Fall-Linie ist durch die Projektion des Normalen-Einheitsvektors n auf die x,y-Ebene bestimmt. Daraus ergibt sich der Fall-Linien-Einheitsvektor f: 

f = [xf , yf , zf] = [xn , yn , -(xn2 + yn2)/zn],
wobei zf = -(xn2 + yn2) / zn

f ist rechtwinklig zu n und rechtwinklig zur Schnittlinie der Ebene mit der x,y-Ebene.

Hinweis:
In der Praxis ist für die oben beschriebene Linie der geometrische Begriff "Fall-Linie" üblich. Bergsteiger kennen diese Linie besonders gut. Ein fallender Gegenstand folgt am Berghang der Fall-Linie. Dort ist sie von der Gestalt der Hangoberfläche abhängig und kann eine Zick-Zack-Linie sein. Auf einer im Raum liegenden ebenen Fläche ist sie immer eine Gerade.

Quiz-Frage:
Was bedeutet der geographische Begriff "Fall-Linie" (engl. Fall Line)?

Antwort:
Im Osten der USA wird die Grenze der Appalachen gegen die atlantische Küstenebene, wo die Schiffbarkeit der Flüsse beginnt und endet, so bezeichnet. Sie ist keine echte Fall-Linie, sondern die Schnittlinie der Osthänge des Appalachen-Gebirges mit der Küstenebene.

Sonstige Dreieckswerte

Die restlichen Werte des Dreiecks, wie Umfang, Inkreisradius, Umkreisradius und lotrechte Höhe auf die jeweilige Seite können aus den nun bekannten Seitenlängen über die im Beitrag "Dreiecke berechnen" angebotenen HP49-Programme ermittelt werden.

Das Dreikantprismatoid

Definition

Das Dreikantprismatoid wird als schräg abgeschnittenes Dreikantprisma definiert, das lotrecht auf der x,y-Ebene steht. Beim vollständigen Prisma sind Grund- und Deckfläche parallel, beim Dreikantprismatoid nicht.

Das Dreikantprismatoid wird durch ein im Raum liegendes Dreieck oben (= Deckfläche) und durch dessen Projektion auf die waagrechte x,y-Ebene unten (Grundfläche) abgeschlossen (Bild 2). Alle senkrechten Kanten mit den Längen hA, hB und hC sind zueinander parallel.

Bild 2: Dreikantprisma, Bezeichnungen

Das Dreikantprismatoid wird bei digitalen geometrischen Modellen zur Berechnung von Oberflächen (Abwicklungen) und Rauminhalten (Volumina, Kubaturen) als Basiselement verwendet. Dort wird allerdings vereinfachend von "Prismen" gesprochen, wobei das im Bild 2 gezeigte schräg abgeschnittene Prisma (Prismatoid) gemeint ist.  

Wenn im nachfolgenden Text vereinfachend von "Prismen" oder "Dreikantprismen" gesprochen wird, so ist immer das Prismatoid nach Bild 2 damit gemeint.

Deckfläche

Die das Prismatoid oben abschließende Fläche (das im Raum liegende Dreieck) wird Deckfläche des Prismatoids genannt.

Der Flächeninhalt A der Deckfläche wird aus dem Kreuzprodukt zweier Seitenvektoren berechnet: 

A = ½ · | N | = ½ · | a × b | = ½ · | b × c | = ½ · | c × a |

Grundfläche

Die Projektion der Deckfläche auf die x,y-Ebene wird Grundfläche genannt.

Der Flächeninhalt A' der Grundfläche ist die Projektion der Deckfläche A auf die x,y-Ebene: 

A' = ½ · | a' × b' | = ½ · | b' × c' | = ½ · | c' × a' |

Mittlere Höhe und Volumen

Daß das gesuchte Volumen des Prismatoids aus Grundfläche mal mittlerer Höhe durch V = A' · hm berechnet werden kann, ist die mittlere Höhe hm zu finden.

Die mittlere Höhe eines Dreikantprismatoids ist das arithmetische Mittel der drei Kantenlängen hA, hB und hC :

hm = (hA + hB + hC) / 3

Hinweis:
Diese Formel für die mittlere Höhe wird aus der Prismatoidenformel mit
V = (A1 + 4 · A2 + A3) · a13 /6 = A' · hm abgeleitet,
wobei die Flächen A1 (= senkrechte Seitenfläche), A2 (= Mittelfläche zwischen A1 und A3) und A3 (= 0 = senkrechte Kante gegenüber A1 ) des Dreikantprismatoids parallel sein müssen. a13 ist dabei der Abstand der Flächen A1 und A3.
Die Prismatoidenformel ist für die unten beschriebenen Zwecke nicht geeignet, deshalb wurde der einfachere Weg über Grundfläche und mittlere Höhe gewählt.

Die Formel für die mittlere Höhe kann auch geometrisch abgeleitet werden, indem man das Prismatoid in drei Pyramiden mit jeweils der Grundfläche A' und der entsprechenden Kantenlänge zerlegt und daraus das Volumen des Prismatoids berechnet.

Man bedenke, daß die Kantenlängen hA, hB und hC zugleich auch die z-Komponenten zA, zB und zC der Ortsvektoren zu den Eckpunkten A,B und C der Deckfläche sind. Die mittlere Höhe hm ist also mit der Komponente zS = (zA+zB+zC) / 3 des Schwerpunktvektors S der Deckfläche identisch.

Die Länge der geraden Verbindungslinie der Schwerpunkte von Grund- und Deckfläche ist die mittlere Höhe.

Achtung!
Der Körperschwerpunkt des Prismatoids liegt normalerweise nicht auf dieser Verbindungslinie. Nur im Sonderfall hA= hB = hC liegt er auf dieser Linie.

Das Volumen eines Dreikantprismatoids wird hier also aus Grundfläche und mittlerer Höhe berechnet:

V = A' · hm = A' · (zA+zB+zC) / 3

 

Dreiecksnetze im dreidimensionalen Raum

Nach dem Prinzip der räumlichen Dreiecksnetze funktioniert ein theoretisches Berechnungsmodell, das mit Dreikantprismatoiden arbeitet und dem man den Namen "Digitales Geometrisches Modell (DGM)" gegeben hat.

Die Abkürzung DGM wird auch für die in der Praxis realisierten Modelle "Digitales Geländemodell" und "Digitales Gebäudemodell" verwendet. Das sind konkrete praktische Anwendungen dieser Berechnungsmodelle im Bereich des Vermessungswesens, des Tiefbaus und der Gebäudebewirtschaftung.

Prinzip eines Digitalen Geländemodells (DGM)

Der praktische Zweck dieses Modells ist neben der möglichst wirklichkeitsnahen Abbildung der Geländeoberfläche im Computer die genaue Berechnung der Oberflächen, Grundflächen und Volumina für die Abrechnung von Bauleistungen.

Dreiecksnetze und Bezugsebene

Definition "Horizont"
Eine nicht unbedingt ebene Fläche im Raum (Geländeoberfläche, Berghang) wird durch Punkte und einem darauf aufbauenden räumlichen Dreiecksnetz abgebildet. Dieses Dreiecksnetz wird als Horizont bezeichnet.

Definition "Bezugsebene"
Alle Dreiecksnetze desselben DGM werden auf eine gemeinsame waagrechte Bezugsebene (vorzugsweise x,y-Ebene) projiziert, so daß für jedes Dreieck ein Dreikantprismatoid nach Bild 2 entsteht.

Diese Bezugsebene gilt für alle Horizonte eines DGM.

Volumenberechnung für die Schichten zwischen den Horizonten

Zwischen jedem Dreiecksnetz im Raum und der Bezugsebene kann die Summe der Prismenvolumina berechnet werden.

Werden für eine Berechnung mehrere Horizonte angelegt (ursprüngliches Gelände, abgetragenes Gelände, Baugrube, Berghang nach Bergrutsch, siehe Beispiel unten), so sind die dazwischen befindlichen Kubaturen (Volumina der Schichten) die Differenz der Summen der Prismenvolumina der jeweiligen Horizonte.

Daten

Bei Oberflächen im Gelände müssen die Punkte so bestimmt werden, daß die dadurch bestimmten Dreiecke annähernd eben sind. Wenn die Punkte sehr eng gelegt werden, dann wird die Abbildung des wirklichen Geländes durch das Dreiecksnetz genauer und auch der rechnerische Aufwand größer. Der Ingenieur entscheidet bei der Geländeaufnahme (= Vermessung des Geländes, Bestimmung von Lage und Höhe der Punkte, z. B. mit Tachymeter) durch die Wahl der Lage und der Anzahl der Punkte über die spätere Genauigkeit der Berechnung.

Koordinatensystem

Man verwendet hier üblicherweise ein örtliches Koordinatensystem und ein örtliches Höhensystem. Wer seine Berechnungen unbedingt in Landeskoordinaten und im Normal-Null-Höhensystem (Höhen über NN) durchführen will, sollte bedenken, daß wegen der großen Zahlenwerte die Eingaben fehleranfällig werden und die Ergebnisse auch nicht genauer ausfallen, wenn viele unnötige Ziffern mitgeschleppt werden.

Anwendung in der Praxis

Für professionelle Berechnungen verwendet man ein DGM-Programmsystem auf dem Computer, wobei die Ergebnisse dann als Tabellen ausgedruckt werden können.

Für das Bauwesen wurde das Prinzip zur Berechnung von Mengen, Grund- und Oberflächen über Dreikantprismatoide vor etwa 25 Jahren in die "Richtlinien für die elektronische Bauabrechnung (REB)" aufgenommen und als REB-Verfahrensbeschreibung REB-VB 22.013 herausgegeben. Dort spricht man nicht von Prismatoiden, sondern nennt sie einfach "Prismen".

Computerberechnung

Der Autor hat vor etwa 15 Jahren ein Digitales Geländemodell nach REB-VB 22.013 in FORTRAN77 programmiert. Eine Anpassung an Windows wurde nicht gemacht (es läuft ja so gut auf MSDOS und UNIX). Für untenstehendes Beispiel wird dieses Programm zur Vergleichsrechnung herangezogen.

Auf dem Computer werden zur Berechnung zwei Dateitypen erstellt:

  1. Eine Koordinatendatei mit den Koordinaten aller Punkte und
  2. für jeden Horizont eine Datei, jeweils mit allen Dreiecken des Horizonts und den jeweils zu den Dreiecken gehörenden Eckpunktbezeichnungen.

Damit sind die Dreikantprismen und die Dreiecksnetze eindeutig bestimmt.

Bei der Berechnung werden die Volumina der Prismen jedes Horizonts berechnet und aufsummiert. Die Differenz zweier Horizonte ergibt die Gesamtkubatur der bewegten Erdmassen dieser Schicht. Die Summe der Deckflächen aller Prismen eines Horizonts ergibt die Abwicklung (z. B. echte Rasenfläche, die zu mähen ist).

Derartige DGM-Berechnungsprogramme können nicht nur Geländemodelle, sondern auch Gebäudemodelle berechnen. Nach Eingabe von Gebäudeoberfläche und den inneren Grund- oder Geschoßflächen als Dreiecksnetze lassen sich insbesondere für unregelmäßige Baukörper "umbauter Raum", Dachflächen, Wandflächen, Rauminhalte und andere wichtige Werte ermitteln.

HP49-Programme

Der Autor stellt seine Programme zur Berechnung eines DGM im Rahmen dieses Beitrags als HP49-Verzeichnis DGM zur Verfügung.

Name DGM
Typ DIR
Größe in Bytes auf dem HP 49G 5423.5
Prüfsumme #260d
Größe in Bytes als Datei
(Translationsmode 3)		 4911
Ausgabedatum 03.11.2001

Es enthält folgende Programme und Variablen:

Variablen Bedeutung
DGMCALC Programm zur umfassenden Berechnung zweier Dreiecksnetze (Horizonte) mit Ausgabe der Gesamtsummen der Oberflächen, Grundflächen, Prismenvolumina und dem Differenzvolumen (= Kubatur) zwischen den beiden Horizonten.
ERGDGM Programm für die Ausgabe der Ergebnisse von DGMCALC in einem Auswahlmenü.
PRISM Programm zur ausführlichen Einzelberechnung eines Dreikantprismatoids.
ERGPR Programm für die Ausgabe der Ergebnisse von PRISM in einem Auswahlmenü.
PRS Unterprogramm zu DGMCALC zur Berechnung eines Dreikantprismatoids.
Die folgenden 40 Variablen gehören zu dem unten behandelten ausführlichen DGM-Beispiel. Die in diesen Variablen gespeicherten Werte und Objekte sind den Tabellen zu entnehmen. Diese Variablen können gelöscht werden, wenn das Beispiel nicht mehr gebraucht wird.
H01 bis H03 Jede Variable dieses Typs enthält eine Liste mit den Namen der Dreiecke, die den jeweiligen Horizont (Dreiecksnetz) bilden.
D01 bis D24 Jede Variable dieses Typs enthält eine Liste mit den Namen der drei Punkte, die ein Dreieck bilden. 
P01 bis P13 Jede Variable dieses Typs enthält einen Ortsvektor zu dem bezeichneten Punkt.

DGM als Bibliothek?

Hier wurde darauf verzichtet, die Programme als Bibliothek zusammenzufassen, weil es sonst Schwierigkeiten beim Übertragen auf den HP 49G gibt, wenn die Bibliothek zuerst geladen und angebunden wird. Dann läßt sich das Verzeichnis nicht mehr laden, der berühmte Fehler "Invalid Name" tritt dann auf.

Bei Bedarf kann sich der Leser selbst diese Bibliothek herstellen.
Nötigenfalls im Beitrag "Bibliotheken auf dem HP 49G" nachsehen.

 

Programme zur Berechnung eines Dreikantprismatoids

Alle hier zur Verfügung gestellten HP49-Programme laufen im RPN-Modus

Programmbeschreibungen

PRISM

PRISM ist das ausführliche Programm zur Einzelberechnung eines Dreikantprismatoids. Es berechnet die wichtigen Ergebniswerte, speichert sie als Variablen im aktuellen Verzeichnis zur weiteren Verwendung ab. Das Programm erwartet zu Beginn im Stack die drei Ortsvektoren A, B und C zu den Eckpunkten eines im Raum liegenden Dreiecks. Es nimmt die drei Vektoren vom Stack und berechnet nach den oben angegebenen Formeln folgende 21 Ergebnisvariablen:

Variable
im HP 49G		 Bedeutung in den Formeln
Teilweise weichen die Variablennamen von den in obigen Formeln verwendeten Formelzeichen etwas ab, weil auf dem HP 49G für Namen keine Indizes und Apostrophe verwendet werden dürfen.

Deckfläche

DFl Flächeninhalt A
Da, Db, Dc Seitenlängen a, b und c
Dcos, Dcosß, Dcos Kosinus der Innenwinkel Alpha-Zeichen, ß und Gamma-Zeichen an den Eckpunkten A, B und C
NV Normalenvektor N = a × b
FallV Fall-Linien-Einheitsvektor f
cosµ Kosinus der Neigung µ
DSwV Schwerpunktvektor S

Grundfläche

GFl Flächeninhalt A'
Ga, Gb, Gc Seitenlängen a', b' und c'
Gcos, Gcosß, Gcos Kosinus der Innenwinkel Alpha-Zeichen', ß' und Gamma-Zeichen' an den Eckpunkten A', B' und C'
GSwV Schwerpunktvektor S'

Prismatoid
hm mittlere Höhe des Prismatoids hm
PVol Volumen des Prismatoids V
LOE Diese Variable ("lösche") enthält ein Programm, das alle obigen Variablen und sich selbst aus dem Verzeichnis löscht.

Hinweis:
Für die Winkel wird jeweils der Kosinus ausgegeben, dann sind die Ergebnisse unabhängig vom eingestellten Winkelmodus. Außerdem deckt der Kosinus die Winkel von 0° bis 180° ab, ohne daß Extremwerte auftreten. Der Tangens hätte bei 90° einen Extremwert.

ERGPR

Das Programm ERGPR zeigt die Ergebniswerte von PRISM in einem Auswahlmenü an. Wenn die Variablen nicht vorhanden sind oder Werte fehlen, werden für die fehlenden Werte die Variablennamen angezeigt.

PRS

PRS wird vom DGM-Programm DGMCALC als Unterprogramm verwendet. Es erwartet zu Beginn im Stack die drei Ortsvektoren A, B und C zu den Eckpunkten eines im Raum liegenden Dreiecks. Es nimmt die drei Vektoren vom Stack und berechnet nach den oben angegebenen Formeln folgende 3 Ergebnisvariablen und stellt sie zur weiteren Verwendung für DGMCALC im Stack zur Verfügung:

Stackebene 3 DFl
Stackebene 2 GFl
Stackebene 1 PVol

Das Programm DGMCALC nimmt diese drei Werte vom Stack und summiert sie für jeden Horizont getrennt in den Summenvariablen (siehe unten) auf.

Vorbereitung der Gesamtberechnung

Obwohl wegen der großen Datenmengen ein Digitales Geländemodell (= DGM-Projekt) am besten auf einem Computer durchgerechnet werden sollte, ist bei kleineren Projekten die Berechnung durchaus mit einem HP 49G zu schaffen. Man muß dabei die begrenzten Speichermöglichkeiten und die Mühe bei der Eingabe der Daten in Kauf nehmen.

Mit dem Programm DGMCALC kann ein Digitales Geländemodell komplett nach dem oben gezeigten Prinzip auf dem HP 49G durchgerechnet werden. Das Ausgabeprogramm ERGDGM zeigt die Ergebnisse in einem Auswahlmenü an.

Bezeichnungen von Eingabevariablen

Die Variablenbezeichnungen für die Eingabeobjekte sind beliebig. Sie sollen jedoch "sprechende" Namen sein, aus denen man den Typ des Inhalts der Variablen ablesen kann (z.B. P als Anfangsbuchstabe für Punktbezeichnungen, D für Dreikantprismen, H für Horizonte). Empfohlen werden Bezeichnungen mit jeweils drei Zeichen.

Diese Variablennamen werden nur für die Eingabeobjekte eines DGM-Projekts verwendet. In den Programmen haben diese Variablennamen keine Bedeutung . Das Programm liest diese Namen aus den Eingabedaten und verwendet sie, um an die gespeicherten Inhalte heranzukommen. Der Anwender ist also in der Wahl der Namen weitgehend frei.

Dies hat den Vorteil, daß der Anwender die in den Plänen und bei Geländeaufnahmen verwendeten Punktbezeichnungen beibehalten und in der Berechnung verwenden kann (wenn sie keine reservierten Namen und nach den Namenkonventionen des HP 49G zulässig sind).

Es gibt drei Typen von Eingabevariablen: Punkt, Dreieck und Horizont

Variablen Bedeutung Inhalt
(Beispiel)
P01 bis ... Punktbezeichnung:
Jede Variable dieses Typs enthält einen Ortsvektor zu dem bezeichneten Punkt.		 [xA , yA , zA]
D01 bis ... Dreieck:
Jede Variable dieses Typs enthält eine Liste mit den Namen von drei Punkten, die ein Dreieck bilden. Die Variablen für die in der Liste aufgeführten Punktbezeichnungen müssen existieren und das korrekte Objekt (Vektor) enthalten.		 {P01,P04,P03}
H01 bis ... Horizont:
Jede Variable dieses Typs enthält eine Liste mit den Namen der Dreiecke, die den jeweiligen Horizont (Dreiecksnetz) bilden.
Die Variablen für die in der Liste aufgeführten Dreiecke müssen existieren und das korrekte Objekt (Liste mit 3 Punktbezeichnungen) enthalten.		 {D01,D02,D05,D08}

Eingaben

Für die Berechnung auf dem HP 49G wird in einem Arbeitsverzeichnis des HP 49G

  1. die notwendige Anzahl Einzelvariablen mit den Namen der Punktbezeichnungen angelegt und dort die Koordinaten der Punkte in Form eines Ortsvektors zum Punkt gespeichert.
  2. Für die Dreikantprismen werden Variablen verwendet, in denen jeweils drei Punktbezeichnungen für das Dreikantprisma in einer Liste gespeichert sind.
  3. Variablen für Horizonte enthalten die Bezeichnungen der im jeweiligen Dreiecksnetz vorhandenen Dreikantprismen.

Damit sind alle Eingaben vorhanden und alle Horizonte des Projekts eindeutig bestimmt.

Voraussetzungen und Einschränkungen

DGM-Projekt.
Ein DGM-Projekt kann aus beliebig vielen Dreiecksnetzen (Horizonten) bestehen. Die Umrißlinien der Dreiecksnetze, die zu einem Projekt gehören, müssen im Grundriß identisch sein. Diese gemeinsame Umrißlinie muß die Horizonte als polygonale Randlinie umgrenzen.

Mindestens einen, maximal 2 Horizonte berechnen.
Vor der Berechnung muß der Variablenname für den (in der Natur) höhergelegenen (oberen) Horizont in Stackebene 2 und der für den tieferen (unteren) in Stackebene 1 eingegeben werden. Horizonte werden als Listen mit Namen der beteiligten Dreiecke gespeichert.
Die Berechnung erfolgt immer für 2 Horizonte des DGM-Projekts, wobei die dadurch umgrenzten Rauminhalte (Schichten) ermittelt werden. Sie kann auch für einen Horizont allein erfolgen. Dann ist die x,y-Ebene automatisch der zweite (untere) Horizont.

Existenz und Werte von Variablen.
Jedes Dreikantprisma für einen Horizont und jeder Punkt, der als Eckpunkt eines Dreiecks für ein Dreikantprisma angegeben ist, muß auf dem HP 49G als Variable existieren und diese muß den richtigen Objekttyp enthalten.

Die Flächeninhalte der Dreiecke werden immer positiv gerechnet.
Bei den Dreiecksnetzen werden keine "überhängenden" Flächen zugelassen, auch wenn der Umlaufsinn der Eckpunkte einiger Dreiecke negativ ist.

Negativen Umlaufsinn der Eckpunkte vermeiden!
Bei negativem Umlaufsinn werden Normalenvektor und Fall-Linien-Einheitsvektor die falsche Richtung aufweisen. Alle anderen Werte werden richtig berechnet.

DGMCALC

Das Programm führt keine Plausibilitätsprüfungen durch.
Der Anwender muß selbst dafür sorgen, daß die Eingaben korrekt sind.

Die Dreiecksnetze zeichnet man am besten als maßstäbliche Skizze, für Punktkoordinaten und Prismen legt man Tabellen an und überprüft vor der Eingabe in den HP 49G alle Werte anhand der Geländeaufnahme auf Plausibilität und Korrektheit.

Dabei müssen die Dreiecksnetze richtig gebildet werden. Eckpunkte eines Dreiecks dürfen nicht im Innern eines anderen Dreiecks liegen (keine Überlappung, keine Überdeckung). Die Seiten des einen Dreiecks dürfen sich nicht mit den Seiten eines anderen Dreiecks desselben Dreiecksnetzes schneiden.

Programmablauf

Die Eingabe der Horizonte erfolgt im Stack. Dort muß der Objektname in Apostrophen vorhanden sein, z.B. 'H01' und 'H02'. Wenn nur 1 Horizont eingegeben wurde, fragt das Programm, ob dies OK ist oder ob abgebrochen werden soll.

Dann folgt die Listenverarbeitung für jeden Horizont getrennt unter Aufruf von PRS für jedes Prisma und die Aufsummierung der Werte für jeden Horizont. Am Schluß wird (bei zwei Horizonten) die Differenz der Prismensummen der beiden Horizonte als Kubatur berechnet.

Die Ergebnisse werden in folgenden Variablen gespeichert:

Variable  Bedeutung
SuDo Summe aller Deckflächen oberer Horizont
SuGo Summe aller Grundflächen oberer Horizont
SuPo Summe aller Prismenvolumina oberer Horizont
SuDu Summe aller Deckflächen unterer Horizont
SuGu Summe aller Grundflächen unterer Horizont
SuPu Summe aller Prismenvolumina unterer Horizont
Kubatur Kubatur als Differenz SuPo - SuPu
LOESU Diese Variable ("lösche Summen") enthält ein Programm, das alle obigen Variablen und sich selbst aus dem aktuellen Verzeichnis löscht.

Falls die Bedingung SuGo = SuGu nicht erfüllt ist, wird eine Fehlermeldung ausgegeben.

ERGDGM

Das Programm ERGDGM zeigt die Ergebniswerte von DGMCALC in einem Auswahlmenü an. Wenn die Variablen nicht vorhanden sind oder Werte fehlen, werden für die fehlenden Werte die Variablennamen angezeigt.

 

DGM-Beispiel

Dieses aus der Praxis gegriffene Beispiel ist sehr ausführlich und soll die Anwendung der oben beschriebenen Theorie in der Praxis zeigen. Es wird mit dem HP49-Programm DGMCALC und zum Vergleich auch mit einem Computerprogramm durchgerechnet.

Projekt

Beschreibung der Aufgabe

Ein Kieshaufen in einem leicht geneigten Gelände soll bis auf das ursprüngliche Gelände abgetragen und anschließend der Aushub für einen vertieften Ladeplatz durchgeführt werden. Dort soll Material zwischengelagert werden. Das Material soll später von oben und von der Seite in den fertigen Ladeplatz hineingeschoben werden können. Eine Stützwand schließt hangseitig die für Transportfahrzeuge und Ladegeräte planierte Fläche ab. Bild 3 und Bild 4 zeigen die Situation im Lageplan und im Schnitt.

Zu berechnen sind die zu bewegenden Kies- und Aushubmengen und die Abwicklungen (= wirkliche Flächengröße der Oberflächen) der Horizonte.

Vorbereitungsarbeiten

Zur Berechnung der zu bewegenden Erdmassen muß die Oberfläche des Kieshaufens und die geplante Platzoberfläche bekannt sein.

Eine Geländeaufnahme liefert die Gestalt des Kieshaufens. Dabei werden markante Oberflächenpunkte in Lage und Höhe genau vermessen. Die Werte jedes Punktes werden dem Horizont H01 zugeordnet und mit einer Punktbezeichnung zusammen in eine Tabelle eingetragen. Die passenden Punkte daraus werden zu einem Dreiecksnetz verbunden und in einen Lageplan eingezeichnet.

Das Dreiecksnetz für den Fertigzustand (Horizont H02) geht aus dem Ausführungslageplan hervor.

Bei Vorkiegen beider Horizonte können die echten Oberflächen (Abwicklung), die Grundflächen, die Neigungen der beteiligten Dreiecke und das Volumen (Kubatur) zwischen den beiden Horizonten berechnet werden.

Wenn man die Kubatur von Kieshaufen und Aushub getrennt abrechnen will, muß man nach Abtragen des Kieshaufens und vor dem Aushub des Ladeplatzes die ursprüngliche Geländeoberfläche vermessen oder anhand der Umrißlinie schätzen. Dies ergibt dann Horizont H03.

Vorteil des Ladeplatzes

Für die Berechnung der Menge des gelagerten Materials genügt es, bei Bedarf die Oberfläche der gelagerten Menge als Horizont H04 zu vermessen. Dann kann zusammen mit dem bekannten Horizont H02 des Ladeplatzes die Berechnung der Kubatur sofort erfolgen.

Bei nicht mit Material überdeckten Teilen des Horizonts H02 wird Horizont H04 mit neuen Dreiecken bis zur gemeinsamen Umrißlinie ergänzt, auch wenn dort die Schichtdicke zwischen den beiden Horizonten Null ist.

Besonderheiten

Die Umrißlinien (Randlinien) zweier Berechnungshorizonte müssen im Grundriß identisch sein, damit später bei der Berechnung der Kubatur einer Schicht zwischen zwei Horizonten keine "Restwände bis zur Bezugsebene" stehen bleiben, die nicht zur Schicht gehören. Die Randpunkte der Horizonte jedoch müssen nicht identisch sein, sie müssen zwar dieselben Lagekoordinaten haben, können aber verschieden hoch sein. Damit ergeben sich senkrechte "Wände", die nicht als Dreiecksflächen definiert werden müssen. Auch innerhalb der Horizonte können senkrechte Wände eingefügt werden, wenn diese durch Primenseitenflächen gebildet werden.

Hinweis:
Im Beispiel ist die Randlinie ein Rechteck (aus Platzgründen und wegen der besseren Darstellbarkeit im Beitrag), sie kann aber jede beliebige polygonale Form haben. Innerhalb dieser Umrißlinie befindet sich eine Stützwand. Aus den Zuordnungen der Punkte P11, P12 und P13 zu den Dreiecken ergibt sich, daß P12 zur Oberkante der Stützwand gehört. P11 und P13 gehören dagegen nicht zur Stützwand, sondern zur unteren planierten Fläche.

Projektdaten

Bild 3 zeigt den Lageplan für das Projekt "Ladeplatz" mit den drei Dreiecksnetzen H01 (blau), H02 (rot) und H03 (grün). Ein Schnitt (Bild 4) verdeutlicht die Höhenlage der Horizonte.

Hinweise:
Als Basiseinheit gilt die Einheit "Meter". Es können auch andere Längeneinheiten verwendet werden, dann ergeben sich die Flächen als zweite und die Volumina als dritte Potenzen dieser Einheit.

Um die Datenmenge für die Eingabe klein zu halten und die Zeichnungen in einem HTML-Dokument vollständig wiedergeben zu können, wurden für das Beispiel nur 13 Punkte gewählt. In der Praxis werden die Punkte bei Geländeaufnahmen wesentlich enger gelegt, damit das Modell besser an die Wirklichkeit herankommt.

Da die Bilder hier nicht maßstäblich dargestellt werden können, ist ein Koordinaten-Gitter mit Linienabstand 1 m in hellgrauer Farbe in die Zeichnungen eingebunden worden. Sollte das Gitter wegen der Hintergrundeinstellung des Browsers nicht sichtbar sein, dann wird es durch eine andere Hintergrundfarbe sichtbar. Andererseits, wenn das Gitter stören sollte, so kann es durch einen hellgrauen Seitenhintergrund überdeckt werden.

Bild 3: Projektlageplan mit 2 Horizonten

Bild 4: Schnitt bei y = 9

Tabellen der Eingabewerte

Aus Lageplan und Schnitt sind die Daten für die Eingabe zu entnehmen. Für reelle Zahlen wird hier der Dezimalpunkt gewählt.

Die Tabellen müssen für die Punkte, Dreiecke und Horizonte sehr sorgfältig erstellt und hinterher auf Richtigkeit überprüft werden, ob die Reihenfolge x,y,z der Komponenten im Vektor, der Umlaufsinn der Dreiecke stimmt und ob die Dreiecksnetze vollständig sind.

Dann werden die 40 Variablen (13 Punkte, 24 Dreiecke und 3 Horizonte) in einem Verzeichnis (z.B. DGM) auf dem HP 49G angelegt und die entsprechenden Werte aus den nachfolgenden Tabellen dort gespeichert.

Achtung:
Das angebotene HP49-Verzeichnis DGM enthält auch die 40 Variablen mit den Werten. Dadurch kann sich der Leser die mühsame Eingabe dieser Werte ersparen (siehe oben).

 

  Tabellen der Eingabewerte

Punkte

Variable Inhalt 
Vektor = [ x y z]
P01 [2.00 17.00 6.30]
P02 [2.00 1.00 5.20]
P03 [6.00 1.00 4.50]
P04 [11.00 9.00 9.10]
P05 [6.00 17.00 4.90]
P06 [19.00 13.00 7.30]
P07 [20.00 6.00 6.00]
P08 [25.00 1.00 1.20]
P09 [25.00 9.00 1.00]
P10 [25.00 17.00 1.20]
P11 [6.00 15.00 2.00]
P12 [6.00 9.00 4.00]
P13 [6.00 3.00 2.00]
 

Dreiecke

Variable Inhalt 
Liste mit 3 Punkten		 Variable Inhalt
Liste mit 3 Punkten
D01 {P01 P02 P04} D13 {P02 P03 P12}
D02 {P01 P04 P05} D14 {P01 P12 P05}
D03 {P02 P03 P04} D15 {P13 P03 P08}
D04 {P04 P03 P07} D16 {P13 P08 P09}
D05 {P04 P06 P05} D17 {P11 P13 P09}
D06 {P03 P08 P07} D18 {P11 P09 P10}
D07 {P04 P07 P06} D19 {P05 P11 P10}
D08 {P05 P06 P10} D20 {P01 P02 P05}
D09 {P09 P10 P06} D21 {P02 P03 P05}
D10 {P06 P07 P09} D22 {P03 P08 P09}
D11 {P07 P08 P09} D23 {P05 P03 P09}
D12 {P01 P02 P12} D24 {P05 P09 P10}

 

Horizonte
Variable Inhalt 
Dreiecksnetz = Liste mit Dreiecken
H01 {D01 D02 D03 D04 D05 D06 D07 D08 D09 D10 D11}
H02 {D12 D13 D14 D15 D16 D17 D18 D19}
H03 {D20 D21 D22 D23 D24 }

 

Berechnung mit dem HP 49G

Wenn die Werte für die Punkte, Dreiecke und Horizonte aus den drei obigen Tabellen in den Variablen gespeichert sind, kann die Berechnung der Horizonte H01, H02 und H03 des Beispiels mit DGMCALC durchgeführt werden.

Wichtig für die Eingabewerte von DGMCALC:

Da das Programm DGMCALC nur die Anzahl der im Stack vorhandenen Horizonte überprüft (0, 1 oder 2), darf bei Berechnung von nur einem Horizont kein weiteres Objekt in Stackebene 2 vorhanden sein, sonst wird dieses als zweiter oberer Horizont genommen.

Für die in den Stack einzugebenden Horizonte darf nur der Objektname in Apostrophen, z.B. 'H01', erscheinen, nicht das Objekt selbst. Das Programm prüft nicht den Variablentyp der Eingabewerte auf Richtigkeit. Steht der falsche Typ im Stack, kommt es zum Abbruch des Programms und zu einer Fehlermeldung.

Der obere Horizont muß auch in der Natur höher sein als der untere Horizont. Wenn die beiden im Stack vertauscht werden, ergibt sich bei der Berechnung eine negative Kubatur.

Plausibilitätskontrollen hätten den Umfang des Programmes unnötig aufgebläht. Bei dem hohen Anspruch, den DGM an den Anwender stellt, ist es durchaus zumutbar, daß dieser selber alle Eingaben kontrolliert, bevor er auf den Knopf drückt.

Folgende Schichten können berechnet werden
(die berechneten Kubaturen werden hier schon vorweg angegeben):

Schicht oberer Horizont unterer Horizont Kubaturen
Kieshaufen allein H01 H03 878.3500 m3
Aushub allein H03 H02 384.8667 m3
Gesamtvolumen H01 H02 1263.2167 m3

Hier soll nur die Berechnung des Gesamtvolumens gezeigt werden.

Der obere Horizont wird eingeben in die Stackebene 2: 'H01'
der untere Horizont wird eingegeben in die Stackebene 1: 'H02'
wie Bild 5 es zeigt:

Bild 5

Bild 5: Programm-Menü und Eingabe der Horizonte

Nun wird DGMCALC aufgerufen. (im Menü ist nur "DGMCA" davon sichtbar).

Ergebnisse

Die Berechnung der Ergebnisse dauert beim HP 49G des Autors etwa 28 Sekunden (insgesamt 20 Prismen, pro Prisma etwa 1,4 Sekunden).

Danach stehen die Ergebnisvariablen im aktuellen Verzeichnis zur Verfügung, die direkt oder über das Programm ERGDGM ausgewählt und angezeigt werden können. Die Anzahl der Kommastellen kann vorher (z. B.: 4 FIX) eingestellt werden.

Bild 6

Bild 6: Ausgabewerte der Horizonte H01 - H02

Diese vom HP 49G berechneten Ergebnisse der Projekts "Ladeplatz" sind identisch mit den weiter unten gezeigten Ergebnissen der Computerberechnung.

Nun als Beispiel noch die Berechnung des Prismatoids D01.

Nach Aufruf von PRISM stehen die Werte in den Variablen, die mit ERGPR angezeigt werden können (Bild 8).

Bild 7
Bild 7: Eingabe der Vektoren für die Berechnung mit PRISM

Bild 8
Bild 8: Ausgabewerte des Prismatoids D01

Der Leser möge mit den Programmen PRISM und DGMCALC weitere Ergebnisse selbst berechnen und mit den Ergebnissen der Computerberechnung vergleichen.

Vergleichsberechnung mit Computer

Der Autor hat das Projekt "Ladeplatz" auch mit seinem eigenen DGM-System auf dem Computer durchgerechnet und das Ergebnis nachfolgend wiedergegeben. Der Leser möge nach der Berechnung der einzelnen Schichten (Kieshaufen, Aushub, Gesamtvolumen) mit dem HP49-Programm DGMCALC die Ergebnisse für die einzelnen Prismen mit dem Programm PRISM nachrechnen und das Ergebnis mit dem Computerergebnis vergleichen.

Achtung: Unterschiedliche Ausgabe für die Flächenneigung µ:

Ergebnisse HP 49G: cos µ
Ergebnisse Computer: tan µ .

Wiedergegeben werden hier

Computerausdruck:
Die Dreiecke sind im Computerausdruck nicht gekennzeichnet , weil sie durch die drei Punkte eindeutig bestimmt sind. Die Bezeichnungen der Dreiecke wurden zum besseren Vergleich mit den HP49G-Ergebnissen in roter Farbe hier nachgetragen. 		 
      ========================================================================
                   HP49Doku: Digitale geometrische Modelle
      ------------------------------------------------------------------------
      Programm: DGM (V4.0L)                      Bearbeitungsdatum: 03.11.2001
             Berechnung  von Mengen, Grund- und Oberflächen aus Prismen
             aus einem Digitalen Geländemodell (DGM) nach REB-VB 22.013
      ------------------------------------------------------------------------
      Arbeitstitel: Ladeplatz
      Neigung der Dreiecksoberflächen gegen die Horizontalebene: tan µ
      Berechnungshorizont oben :      1
      Berechnungshorizont unten:      2
      ========================================================================
      Berechnungsergebnisse für Horizont-Nr. 1:
                  Waagrechte Bezugsebene: Kote     =          0.000
      ------------------------------------------------------------------------
      -----Eckpunkte------   Grundfl. Mittl.Höhe    Oberfl. Pr.Volumen   tan µ
      ------------------------------------------------------------------------
      P01    P02    P04   D01  72.000      6.867     76.985    494.400    .379
      P01    P04    P05   D02  16.000      6.767     20.712    108.267    .822
      P02    P03    P04   D03  16.000      6.267     19.589    100.267    .706
      P04    P03    P07   D04  43.500      6.533     52.268    284.200    .666
      P04    P06    P05   D05  42.000      7.100     47.108    298.200    .508
      P03    P08    P07   D06  47.500      3.900     60.986    185.250    .805
      P04    P07    P06   D07  30.000      7.467     31.586    224.000    .329
      P05    P06    P10   D08  38.000      4.467     60.776    169.733   1.248
      P09    P10    P06   D09  24.000      3.167     34.517     76.000   1.034
      P06    P07    P09   D10  19.000      4.767     27.200     90.567   1.024
      P07    P08    P09   D11  20.000      2.733     28.077     54.667    .985
      ------------------------------------------------------------------------
      Summen     :            368.000               459.804   2085.550
      Schwerpunkt:  RW =       13.500
                    HW =        9.000
      ========================================================================
      Berechnungsergebnisse für Horizont-Nr. 2:
               Waagrechte Bezugsebene: Kote     =          0.000
      ------------------------------------------------------------------------
      -----Eckpunkte------   Grundfl. Mittl.Höhe    Oberfl. Pr.Volumen   tan µ
      ------------------------------------------------------------------------
      P01    P02    P12   D12  32.000      5.167     34.998    165.333    .443
      P02    P03    P12   D13  16.000      4.567     16.274     73.067    .186
      P01    P12    P05   D14  16.000      5.067     17.047     81.067    .368
      P13    P03    P08   D15  19.000      2.567     30.593     48.767   1.262
      P13    P08    P09   D16  76.000      1.400     76.100    106.400    .051
      P11    P13    P09   D17 114.000      1.667    114.158    190.000    .053
      P11    P09    P10   D18  76.000      1.400     76.100    106.400    .051
      P05    P11    P10   D19  19.000      2.700     33.670     51.300   1.463
      ------------------------------------------------------------------------
      Summen     :            368.000               398.940    822.333
      Schwerpunkt:  RW =       13.500
                    HW =        9.000
      ========================================================================
      Kubatur     =      Differenz der Prismenvolumina (D1-D2)   =    1263.217
      ========================================================================
      Koordinaten und Koten der vorhandenen Punkte:
      ------------------------------------------------
      Punktbez.   Rechtswert     Hochwert         Kote
      ------------------------------------------------
      P01              2.000       17.000        6.300
      P02              2.000        1.000        5.200
      P03              6.000        1.000        4.500
      P04             11.000        9.000        9.100
      P05              6.000       17.000        4.900
      P06             19.000       13.000        7.300
      P07             20.000        6.000        6.000
      P08             25.000        1.000        1.200
      P09             25.000        9.000        1.000
      P10             25.000       17.000        1.200
      P11              6.000       15.000        2.000
      P12              6.000        9.000        4.000
      P13              6.000        3.000        2.000
      ------------------------------------------------

 

Bildschirmgraphik Bild 9:

Bild 9: Bildschirmgraphik für Horizont H01 aus Computerberechnung

 

Erläuterung zur Computerausgabe:

Die Koordinaten der Punkte wurden im Computerausdruck und in der Bildschirmgraphik mit Rechtswert (RW), Hochwert (HW) und die Höhen als Kote (Höhenkote) bezeichnet (wie bei Vermessungsingenieuren üblich).

µ ist der Neigungswinkel der Dreiecke, der hier als tan µ angegeben wurde. (100 · tan µ ist nämlich das Maß in % für die Steigung bzw. für das Gefälle, das in der Praxis mehr aussagt als der Winkelwert). Die größte Neigung hat das Dreieck D19 mit tan µ = 1.463. Das ist eine Böschung mit 55.64°.

Das Dreiecknetz wird in der Computergrafik mittig positioniert. Die Skalen des Koordinatensystems werden passend verschoben eingeblendet. Die Punktbezeichnungen und die Dreiecksnummern werden automatisch positioniert.

Das Computerprogramm prüft während der Eingabe die Daten auf Plausibilität (z. B. Umlaufsinn, Überlappungen, Überdeckungen, Existenz der verwendeten Bezeichnungen, übermäßig große Neigungen der Dreiecke). Außerdem berechnet das Programm noch die Schwerpunktlage der Grundfläche der beiden an der Berechnung beteiligten Dreiecksnetze, diese müssen den gleichen Schwerpunkt haben. Unplausibilitäten meldet das Programm als Fehler.

Diese Plausibilitätsprüfungen sind beim Programm DGMCALC auf dem HP 49G nicht eingebaut. Deshalb müssen die Eingabedaten vor der Berechnung durch den Anwender sorgfältig überprüft werden.

Graphische Darstellung auf dem HP 49G?

Aufgrund seiner Graphikfunktionen wäre der HP 49G in der Lage, die oben beschriebenen Dreiecksnetze anhand der vorhandenen Daten (Punkte, Dreiecke und Horizonte) räumlich (z.B. isometrisch) darzustellen. Da für die Vorbereitung einer DGM-Berechnung ohnehin ein Lageplan angefertigt werden muß, hat der Autor hier auf ein Programm für die graphische Darstellung der Dreiecksnetze auf dem HP 49G verzichtet.

Aber als Kontrolle der Eingabewerte wäre ein Plottprogramm (siehe z. B. das Plottprogramm für Querschnittsformen im Beitrag "Querschnittswerte") ähnlich der oben in Bild 9 gezeigten Bildschirmgraphik (ohne Gitter und Bezeichnungen) durchaus sinnvoll. Es wäre eine reizvolle Aufgabe im Rahmen einer Studienarbeit.

Systeme in der Praxis:

CAD

(CAD = Computer Aided Design).

Unter CAD versteht man nicht nur ein System, das dem technischen Zeichner sein Zeichenbrett ersetzt, sondern ein Konstruktionssystem, das die zu planenden Objekte vollständig als Modell im Computer abbildet. Diese Objekte (Gegenstände, Gebäude, Maschinenteile, Flugzeuge, Versorgungsnetze, Straßen und Brücken) können dann auf vielfältige Weise (räumlich anschaulich oder abstrakt als Grundriß und Schnitt) auf dem Computerbildschirm dargestellt und als Zeichnung oder Bild auf Papier ausgegeben werden. Darüber hinaus können Flächen, Rauminhalte, Querschnittswerte, Stücklisten (und vieles andere mehr) berechnet werden.

Wenn CAD in ein CAE-System (CAE = Computer Aided Engineering) eingebunden ist, dann wird daraus ein Arbeitsplatz für Ingenieure, an dem alles mit dem Computer erledigt werden kann, vom ersten Entwurf, der Planung und den statischen Berechnungen bis zur Fertigungsüberwachung (CAM = Computer Aided Manufactoring) und Organisation der Nutzung (Gebäudebewirtschaftung und Betriebsüberwachung).

Prinzip

Das theoretische Rüstzeug von CAD liegt im Grundsatz bereits in dem oben beschriebenen "digitalen geometrischen Modell" vor. Es verwendet eine hierarchische Datenstruktur von aufeinander aufbauenden "Primitiven", also den Grundelementen:

  1. Punkt (Speicherung intern als Vektor),
  2. Linienelement (Speicherung als eine durch zwei Punkte bestimmte Gerade),
  3. Flächenelement (Speicherung als eine durch gerade Linien umgrenzte ebene Fläche),
  4. Raumelement (Speicherung als ein durch ebene Flächen umgrenztes Raumelement).

Dieses Prinzip garantiert Eindeutigkeit und Redundanzfreiheit der Beschreibung (Abbildung) des dreidimensionalen Raumes in einem Berechnungsmodell. Bei Änderung der Koordinaten eines Punktes ändern sich alle darauf aufbauenden Elemente entsprechend. Hat man ein CAD-System nach diesem Prinzip programmiert, so werden bei Änderungen alle mit diesem Punkt zusammenhängenden Bauteile automatisch korrigiert.

Hinweis:
Das Linienelement wurde beim oben beschriebenen Digitalen Geländemodell nicht definiert, weil in diesem Ausnahmefall das Flächenelement "Dreieck" durch drei Punkte eindeutig definiert wird.

Datenbasis

Die Genauigkeit der Objektbeschreibung hängt von der Feinheit der Daten und der Komplexität des Modells ab. Für jedes Element lassen sich mehrere Elementtypen festlegen.

Für das Element "Linie" können zusätzlich auch gebogene Linien, wie Kreise und Linien anderer mathematischer Funktionen (z. B.: Splines) festgelegt werden. Man kann sich aber auf gerade Linien und ebene Flächen beschränken, weil sie für die meisten Fälle ausreichen und gebogene Linien durch beliebig kurze Geradenstücke und gewölbte Flächen durch beliebig kleine ebene Dreiecke beliebig genau angenähert werden können. 

Die Datenbasis muß alle Angaben enthalten, die das Objekt vollständig abbilden und beschreiben. Es dürfen nur originäre Daten verwendet werden. Abgeleitete Daten, die das System aus gespeicherten originären Daten selbst berechnen könnte, dürfen nicht eingespeichert werden, weil Redundanz vermieden werden muß. In den Datenbeständen dürfen nur die Elementdefinitionen und die Objektdaten (Grundelemente, höhere Elemente) mit ihren Werten und ihrer Zuordnung zu den Elementdefinitionen (siehe obige Tabellen für Punkte, Dreiecke und Horizonte), aber keine Angaben darüber enthalten sein, wie das Programm diese Daten verarbeiten muß.

Darstellungs- und Bearbeitungsprogramme

Die meisten CAD-Systeme beherrschen die polygonale Darstellung von Kurven und Flächen, wie sie wirklich in der Datenbasis gespeichert sind.

Moderne Entwurfs- und Darstellungssysteme sind zusätzlich in der Lage, durch "Ausrundung" Darstellungen gewölbter Flächen und Körper zu erzeugen.

Die Darstellungs- und Bearbeitungsprogramme enthalten alle Algorithmen, Formeln und Definitionen, nach denen ein gespeichertes Objekt berechnet und dargestellt werden muß. Programme dürfen keine zusätzlichen Daten enthalten, die das Objekt beschreiben (z.B. Datendefinitonen, Bezugshöhen, Zuordnung von höheren Elementen).

Unabhängigkeit von Datenbasis und Programm

Durch diese klare Trennung von Datenbasis und Programm ist es möglich, daß jedes CAD-Programm mit jeder Datenbasis zurechtkommt. Die Objektbeschreibungen (Datenbasis) sind austauschbar und die Interoperabilität ist gewährleistet.

Interoperabilität ist die Möglichkeit, daß ein vom CAD-System X bearbeitetes und geplantes Objekt vom CAD-System Y übernommen und weiterbearbeitet werden kann, ohne daß die Datenbasis konvertiert werden muß.

CAD in der Praxis

Die Grunddefinitionen der 4 Elemente (Punkt-, Linien-, Flächen- und Raumelement) können außer für gebogene Linien und gewölbte Flächen auch für den jeweiligen praktischen Zweck erweitert werden. Jedem Element können zusätzliche Attribute hinzugefügt werden, die den praktisch erforderlichen Merkmalen in der Raum- und Gegenstandsbeschreibung entsprechen. In der Architektur gibt es Türelemente, Fensterelemente, Wandelemente, Steckdosenelemente, im Maschinenbau gibt es Elemente für Normteile (wie z.B. Schrauben und Normprofile). Innerhalb des Hauptmodells können Untermodelle definiert werden, wobei jedes für sich alleine, aber auch mit anderen überlagert, dargestellt werden kann. 

Diese Möglichkeiten der Erweiterung der Grunddefinitionen sind Fluch und Segen der CAD-Systeme zugleich. Jeder Hersteller von CAD-Systemen stattet "sein" System mit vielen Raffinessen aus, um in der Leistung die Konkurrenz zu übertreffen. Die Unabhängigkeit von Datenbasis und CAD-Programm wurde zugunsten von Marktvorteilen fallengelassen. Im Laufe der Zeit haben sich die CAD-Systeme der verschiedenen Softwarehersteller soweit voneinander entfernt, daß dadurch ein Datenaustausch erschwert oder unmöglich geworden ist.

Beispiel:

Wenn ein Architekt die Gebäudeplanung mit CAD-System X durchgeführt hat und dann das fertige Projekt mit Datenbasis (wie es heute üblich ist) auf Datenträger an den Bauherrn übergibt, so kann dieser es nicht darstellen bzw. nicht weiterbearbeiten (z.B. für die Gebäudebewirtschaftung oder bei späteren Ergänzungen), wenn er das CAD-System Y verwendet, das die Objektdaten des Systems X nicht versteht.

Interoperabilität verlangt, daß die übergebene Datenbasis unabhängig vom verwendeten CAD-System ist und daß sie in der oben beschriebenen Art strukturiert ist.

Wirtschaftlich großer Schaden entsteht, wenn das mit CAD geplante Objekt nach längerer Zeit geändert oder ergänzt werden soll und das ursprüngliche CAD-System nicht mehr verfügbar ist. Kein Mensch kennt noch die Formate und Definitionen der damaligen Datenbasis, die jetzt verwendet werden soll. Im schlimmsten Fall muß das Objekt an Ort und Stelle neu aufgenommen werden, um die Eingabedaten für eine erneute CAD-Bearbeitung zu bekommen.

Die Hersteller von CAD-Systemen haben daraus erkennen müssen, daß Interoperabilität wichtiger ist als einige Raffinessen, die ohnehin keiner nutzt. International und national haben sich deshalb Allianzen von CAD-Herstellern gebildet, die eine Interoperabilität ihrer Systeme erreichen und gewährleisten wollen. Der Autor hat diese Aktivitäten jahrelang verfolgt und ist vom bisherigen Ergebnis dieser Bemühungen nicht begeistert. Dieses "Zusammenfinden" läuft sehr zäh.

 

Schlußwort

Dieser Beitrag zeigte das Prinzip und die Anwendung der digitalen geometrischen Modelle, die als Grundlage für die gängigen graphischen Systeme verwendet werden. Das Digitale Geländemodell ist interessant für Studenten und Ingenieure des Bauwesens und der Vermessungstechnik. Meist kommen solche in der Praxis angewandten Verfahren im Studium aus Zeitgründen zu kurz.

Man glaubt es nicht, solange man es nicht selbst ausprobiert hat, daß ein Digitales Geländemodell mit einigen wenigen Programmbefehlen auch auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner zum Laufen zu bringen ist und damit sogar größere Projekte mit verhältnismäßig geringem Aufwand berechnet werden können.

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