Dreiecke berechnen
Die hier verwendete Notation
ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.
Inhalt
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Einleitung
Mit Dreiecken haben sich schon Generationen von
Mathematikern beschäftigt. Am bekanntesten sind die Arbeiten
von Euklid,
dem bekannten griechischen Mathematiker, der um 300 vor
Chr. in Alexandria lehrte. Er schrieb "Die Elemente",
ein Werk von insgesamt 13 Büchern, in dem die Elemente der
Geometrie behandelt sind (Definitionen, Postulate, Axiome,
Beweise). Die Dreiecke werden im "Ersten Buch"
behandelt. Dort ist übrigens auch der Lehrsatz des Pythagoras
(um 576 - 496 v. Chr.) bewiesen. Die Euklidsche Geometrie
wird mit den "Elementen" begründet.
"Die Elemente" von Euklid
sind in deutscher Übersetzung in jeder guten
wissenschaftlichen Buchhandlung erhältlich (z. B. als
reprografische Nachdrucke von "Oswald's Klassikern
der exakten Wissenschaften" oder nach Heibergs Text
aus dem Griechischen übersetzt von Clemens Thaer).
Auch im Geometrieunterricht in den Schulen spielt die
Berechnung von Dreiecken eine wichtige Rolle. Die
Trigonometrie mit ihren Lehrsätzen baut auf Dreiecken auf.
In der Landesvermessung werden als Grundlagen der amtlichen
Katastervermessung Dreiecksnetze (z.B. Deutsches
Hauptdreiecksnetz) mit trigonometrischen Festpunkten nach
Verfahren der Triangulation aufgebaut.
Im nachfolgenden Beitrag werden für die Berechnung von
Dreiecken mit dem HP 49G Programme zur Verfügung gestellt.
Die geometrischen und mathematischen Grundlagen werden beim
Leser vorausgesetzt. Deshalb werden die verwendeten Formeln
lediglich benannt, aber nicht im einzelnen angegeben.
Grundlagen
Für die Dreiecksberechnungen mit dem HP 49G sollen hier
die Dreiecke aus Seitenlängen
und Winkelangaben
berechnet werden.
Ein Dreieck hat 3 Seiten und 3 Winkel.
Zur eindeutigen Berechnung eines Dreiecks müssen von
diesen 6 Elementen mindestens 3 bekannt sein.
Es gibt 6 mögliche Kombinationen (S = Seite, A = Winkel)
| 1. |
SSS
drei Seitenlängen |
 |
| 2. |
SAA
eine Seitenlänge und
zwei aufeinanderfolgende Winkel |
 |
| 3. |
SAS
zwei Seitenlängen und
der dazwischenliegende Winkel |
 |
| 4. |
ASA
eine Seitenlänge mit
zwei anliegenden Winkeln |
 |
| 5. |
AAA
drei Winkel |
 |
| 6. |
ASS
ein Winkel und
zwei aufeinanderfolgende Seitenlängen |
 |
Die beiden letzten Fälle sind nicht eindeutig bestimmbar.
Im Fall 5 des Dreiecks mit drei Winkeln ergibt sich
lediglich die Form des Dreiecks, wegen Fehlens von Längenmaßen
können Längen und Flächeninhalt nicht ermittelt werden.
Im Fall 6 ergeben sich keine, eine oder zwei verschiedene
Lösungen, je nach Größe des Winkels und Länge der Seiten.
Für den HP 49G werden die Fälle 1 bis 4 aufbereitet.
Flag- bzw. Moduseinstellungen
Um bei der Berechnung den meisten Fehlermeldungen
auszuweichen, sollte man einstellen:
Zuerst den Modus auf RPN stellen:
Mit [MODE] ins Formular "CALCULATOR
MODES" und dort die erste Zeile "Operating Mode ..
" auf RPN stellen.
Dann die anderen Flags einstellen:
- Flag -2 = 1 (numerisches Ergebnis bei Konstanten)
- Flag -3 = 1 (numerisches Ergebnis bei Funktionen)
- Flag -20 = 0 ("Underflow" ergibt Null)
- Flag -21 = 0 ("Overflow" ergibt ±9E499)
- Flag -22 = 1 ("Unendlich" ergibt ±9E499)
- Flag -90 = 1 (CHOOSE-Minifont)
- Flag -105 = 1 (Näherungsmodus = reelle Zahlen)
- gewünschtes Winkelformat: DEG, GRAD oder RAD.
Dazu werden im RPN-Modus folgende Befehle
eingegeben: {-2 -3 -22 -90 -105} SF {-20 -21 } CF
Mit dem Befehl DEG wird als Winkelformat Grad
(°) eingestellt .
Die Programme
Die Programme werden als Programmverzeichnis DREIECK zur Verfügung
gestellt.
Die beiden folgenden Bilder zeigen die Menüs des
Verzeichnisses DREIECK.
Das Verzeichnis DREIECK enthält ein Hauptprogramm DREIB
(Dreiecksberechnung), das ein Auswahlmenü bietet, über das
die vier Berechnungsprogramme SSS, SAA, SAS, ASA,
das Auswahlmenü der Ergebnisanzeige ERGEB,
das Auswahlmenü der Variablenbezeichnungen VARBEZ
und die Grafikausgaben DRPL und BEZ aufgerufen
werden können. Das Programm WFMT ist ein
Hilfsprogramm, das innerhalb der Berechnungsprogramme das über
die Flags eingestellte Winkelformat feststellt und die
entsprechende Winkelsumme des Dreiecks in den Stack stellt.
Die Eingaben der Winkelwerte müssen im
eingestellten Format erfolgen. Der Indikator in der
linken oberen Ecke des Bildschirms zeigt die aktuelle
Einstellung an. Jedes der Berechnungsprogramme kann auch für
sich allein aufgerufen werden und liefert alle Ergebnisse.
Auswahlmenu DREIB
Dieses Auswahlmenu enthält 8 Menüpunkte:
Über die ersten vier Menüpunkte können die
Berechnungsprogramme SSS, ASA, SAS und
SAA aufgerufen werden. Nun kann die Eingabe beginnen.
Nach dem Aufruf eines der vier Programme erfolgt über den
INPUT-Befehl die Abfrage der benötigten
Angaben über Seitenlängen und Winkel. Die Winkel müssen in
dem in der linken oberen Bildschirmecke sichtbaren
Winkelformat erfolgen. In den beiden obigen Bildern ist der
Indikator DEG, also Grad (°), in der linken
oberen Ecke sichtbar.
Jeder der drei erforderlichen Eingabewerte ist mit [ENTER]
abzuschließen.
Nach dem dritten [ENTER] zeigt der
Bildschirm solange die Eingaben, bis das Ergebnis berechnet
ist. Nach einiger Zeit erscheint eine Messagebox. Z.B. lautet
die Meldung nach der SSS-Berechnung: "SSS-Berechnung:
Ergebnisse siehe Menü!"
Die Ergebnisanzeige erfolgt über die
"Ergebnisanzeige" des Auswahlmens DREIB oder direkt
über das Programm ERGEB im
Arbeitsverzeichnis. Alle angezeigten Werte sind auch in
aktuellen Verzeichnis als Variablen vorhanden (siehe unten).
Der Menüpunkt Ergebnisplot in DREIB
startet das Programm DRPL (=Dreieckplot).
Der Plotvorgang fragt um die Erlaubnis zur Einstellung des
Komplex-Modus, die man mit YES gewähren muß. Der
Dreieckplot zeigt die Form des berechneten Dreiecks. Falls
noch keine Berechnung vorausgegangen war und deshalb keine
Werte vorliegen, wird eine Fehlermeldung ausgegeben.
Alle Ergebnisse und alle per Programm erzeugten Variablen
kann man mit der Menüfunktion LOE aus dem
aktuellen Verzeichnis löschen
Bezeichnungen
Die
üblichen Bezeichnungen des Dreiecks sind in der Grafik BEZ
hinterlegt, diese kann über den Menüpunkt Bezeichnungen
angezeigt werden (siehe Bild rechts). Die Seitenlängen
werden a, b
und c genannt.
Nach den üblichen Definitionen liegen den Seiten a, b und
c die Eckpunkte A, B und C und die Winkel 
, ß
und 
gegenüber.
Der Menüpunkt Variablen-Info zeigt die
Bedeutung aller Variablen in einem Auswahlmenü.
Ergebnisse
Die folgenden drei Bilder zeigen die Ergebnisvariablen,
die im aktuellen Verzeichnis hinterlegt werden.
SSS, ASA, SAA, SAS
Für die Berechnung von Dreiecken mit den vier
Berechnungsprogrammen werden die bekannten Formeln aus der
Formelkiste geholt:
- Winkelsumme des Dreiecks,
- Dreiecksungleichung,
- Heronische Formel,
- Sinussatz,
- Cosinussatz.
- Die 3 Höhen des Dreiecks werden aus dem Flächeninhalt
und den Seitenlängen berechnet.
- Der Umkreisradius
Ru ergibt sich aus der
halben Seitenlänge dividiert durch den Sinus des
gegenüberliegenden Winkels.
- Der Inkreisradius
Ri wird aus Flächeninhalt
und Umfang berechnet: Ri = 2*F/U.
DRPL
DRPL ist ein Programm zur Plotausgabe des
berechneten Dreiecks. Es kann nur aufgerufen werden, wenn die
Berechnung eines Dreiecks bereits erfolgt ist und die
Ergebniswerte als Variable im aktuellen Verzeichnis vorhanden
sind. Liegen keine Ergebniswerte zum Ausplotten vor, wird
eine Fehlermeldung ausgegeben.
WFMT
WFMT (Winkelformat) ist ein
Hilfsprogramm, das durch die Berechnungsprogramme aufgerufen
wird und die Winkelsumme eines Dreiecks in dem durch die
Flags eingestellten Winkelformat in den Stack stellt:
- bei DEG: 180
- bei GRD: 200
- bei RAD: 3.14159265359
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