Finanzmathematik
auf dem HP 49G
Finanzmathematische
Grundlagen, Finanzlöser des HP 49G und HP49-Programme
Die hier verwendete Notation
ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.
Hier wird, wie in den übrigen Beiträgen auch, als
Dezimalzeichen der Dezimalpunkt verwendet.
Inhalt
Zur Beitragsübersicht
Der HP 49G hat einen eingebauten Finanzlöser. Dieser
löst zwar nicht die finanziellen Nöte des Anwenders, aber
er erleichtert entsprechende Berechnungen.
HP-Dokumentationen dazu:
Im HP 49G
Benutzerhandbuch ist der Finanzlöser auf
den Seiten 6-11 bis 6-13 beschrieben. Mit dieser spärlichen
Dokumentation kann man kaum etwas anfangen, zumal die
dort verwendeten englischen Bezeichnungen dem
deutschen Benutzer nicht geläufig sein dürften.
Auch im HP 49G Advanced Users Guide,
Version 1.3, ist außer der Kurzbeschreibung der 5
Finanzlöserbefehle des HP 49G (AMORT, TVM, TVMBEG,
TVMEND, TVMROOT) nichts Näheres darüber zu finden.
Mehr darüber findet man im deutschen
HP 48G
Benutzerhandbuch. Dort ist auf den Seiten
18-14 bis 18-22 eine Beschreibung des Finanzlösers
mit Beispielen und Bildern zu finden.
In diesem Beitrag werden die
finanzmathematischen Grundlagen kurz umrissen und Beispiele für
Berechnungen und Programme angegeben. Auch der Finanzlöser
wird vorgestellt und seine Anwendung an Beispielen gezeigt.
Im Göschenbändchen 1183/1183a aus dem Jahre
1967 beschreibt Prof. Dr. Marcel Nicolas, Freie
Universität Berlin, den Begriff "Finanzmathematik"
wie folgt:
(Zitat):
Unter "Finanzmathematik" versteht man die
Anwendung mathematischer Methoden auf die Probleme
des Bank- und Kreditwesens, die einer rechnerischen
Behandlung zugänglich sind. In allen diesen
Problemen spielt die Erscheinung des Zinses
unmittelbar oder mittelbar eine entscheidende Rolle.
Seine Betrachtung bildet deshalb die Grundlage des
finanzmathematischen Denkens. ...Für die
Finanzmathematik ist der Zins ... der für Leihgeld
zu zahlende Nutzungspreis.
(Zitatende).
|
In der Finanzmathematik werden hauptsächlich die in der
Mathematik üblichen Grundlagen der geometrischen Reihen und
andere Funktionen (Potenzen, Logarithmen, usw.) verwendet.
Die finanzmathematischen Formeln sind auch auf Probleme
anderer Bereiche (z.B. Versicherungsmathematik, Statistik,
Betriebswirtschaft) übertragbar.
| Begriff |
Formelzeichen |
Beschreibung |
Bemerkung |
| Währung |
 |
Eurozeichen: in
Beispielen verwendet
Da manche Browser das
Euro-Zeichen, wie es auf der PC-Tastatur mit [Strg]&[Alt]&[e]
erzeugt wird, noch nicht "verstehen", wird
hier ein Grafikzeichen dafür eingesetzt.
Der HP49G hat
das Eurozeichen bereits im Zeichensatz. Es wird mit
der Tastenfolge [ALPHA] [rightshift] [4]
erzeugt. |
| Zinsfuß |
p |
Zahl |
auf ein Jahr bezogen |
| Zinssatz |
i = p/100
= 0.01 · p
= p% |
Faktor |
auf ein Jahr bezogen |
| Aufzinsungsfaktor |
qn
= (1+i)n |
Faktor |
auf n Jahre bezogen |
| Abzinsungsfaktor |
1/qn
= 1/(1+i)n |
Faktor |
auf n Jahre bezogen |
| Kapital (allgemein) |
K |
Geldbetrag |
in jeweiliger Währungseinheit |
Anfangskapital, Anfangswert, Anfangsschuld,
(einfacher) Barwert |
K0 |
Geldbetrag |
in jeweiliger Währungseinheit |
| Endkapital |
Kn |
Geldbetrag |
in jeweiliger Währungseinheit |
| Zinsbetrag |
Zn |
Geldbetrag |
in jeweiliger Währungseinheit |
| Rate |
R |
Geldbetrag |
in jeweiliger Währungseinheit, für alle
Zinsperioden gleich |
| Laufzeit |
n |
Anzahl |
für Zinsperioden, Raten |
| Annuität |
A |
Geldbetrag |
in jeweiliger Währungseinheit |
| Annuitätsfaktor, Kapitalwiedergewinnungsfaktor |
a |
Faktor |
bezogen auf K0 |
Barwert vorschüssig
Barwert nachschüssig |
Bw'
Bw |
Geldbeträge |
in jeweiliger Währungseinheit |
Barwertfaktor, vorschüssig
Barwertfaktor, nachschüssig |
bwf'
bwf |
Faktoren |
bezogen auf die Rate R |
| Bezeichnungen des Finanzlösers |
Time Value of Money
= Zeitwert für Geld |
TVM |
Menübefehl |
Menü Nr. 80 des HP 49G |
| Nominaler jährlicher Zinsfuß |
I%YR |
Prozentzahl |
entspricht p = 100
· i |
| Aktueller Barwert = Anfangsbetrag (present value) |
PV |
Geldbetrag |
zu Beginn der ersten Zinsperiode, entspricht Bw |
| Rate (payment) |
PMT |
Geldbetrag |
entspricht R,
für alle Zinsperioden gleich |
Zukunftswert,
Endwert, (future
value) |
FV |
Geldbetrag |
entspricht Kn |
Zinsperioden,
Laufzeit |
N |
Anzahl |
entspricht n |
Die finanzmathematischen
Berechnungen sind unabhängig von der Währungseinheit.
Definition und Umrechnung der Währungseinheiten
siehe Beitrag "Einheiten". |
Englische Begriffe des Finanzlösers:
| Englisch |
Deutsch |
| Interest |
Zins oder Zinssatz, Abkürzung i |
| Balance |
Restschuld (sonst: Bilanz) |
| Payment |
Rate |
| Principal |
Tilgungsbetrag (sonst: Kapitalbetrag) |
| Present Value |
Anfangswert (Barwert) |
| Future Value |
Endbetrag (Zukunftswert) |
Der Zins ist der Nutzungspreis (die Leihgebühr)
für das geliehene Geld (Darlehen, Kredit). Man vereinbart für
den auszuleihenden Geldbetrag (Kapital) von 100 Währungseinheiten
den Preis von p Währungseinheiten
als Zinsfuß p,
der für eine gewählte Zeiteinheit, die Zinsperiode,
die meist 1 Jahr ("p.a." = "per
annum" oder "pro anno") beträgt, festgelegt
ist.
Der Zinsfuß p ist
also auf 100 Währungseinheiten bezogen.
Daraus leitet man den Zinssatz i
= p/100 = 0.01
· p = p%
ab.
In der Praxis werden die beiden Begriffe
Zinsfuß p und Zinssatz i
(reine Maßzahl) meist nicht klar getrennt, manchmal sogar
verwechselt oder gleichgesetzt.
Merkregel:
Der Zinsfuß p ist auf 100
Währungseinheiten bezogen.
Der Zinssatz i = p/100
= p% = 0.01
· p ist auf 1 Währungseinheit bezogen. |
Die Höhe des Zinsbetrages (Zinsen
Zn) hängt
von der geliehenen Geldsumme (Kapital K),
dem Zinssatz i und der Anzahl n
der Zinsperioden (Laufzeit n) ab.
Die Zinsen sind während der gesamten
Laufzeit des Kredits jeweils
am Anfang (im vorhinein, vorschüssig,
antizipativ) oder
am Ende (im nachhinein, nachschüssig,
dekursiv)
in gleichen Zinsbeträgen zu vereinbarten
Zinsterminen zu entrichten.
Die Laufzeit n ist
in die Zinsformeln stets in ganzzahligen Vielfachen einer
Zinsperiode einzusetzen. Ist die Laufzeit kleiner als ein
Jahr, dann ist proportional umzurechnen.
Der Zinsbetrag Zn
für n Jahre Verzinsung des
Kapitals K mit dem Zinssatz i
ergibt sich durch die
Einfache
Zinsformel:
| Zn
= K · n · p/100
= K · i · n
(Formel 1) |
Das nach n Jahren Verzinsung des
Kapitals K mit dem Zinssatz i
erreichte Endkapital Kn
berechnet man mit der
Endwertformel der einfachen
Zinsrechnung:
| Kn
= K + K · i · n = K · (1 + i · n) (Formel 2) |
Die einfache Verzinsung nennt man auch "lineare"
Verzinsung, weil die Zinsen proportional zum Zinssatz i
und zur Laufzeit n sind.
Beispiel 1:
Es sollen die Zinsen (hier geht es um
"einfache" Zinsen auf das Anfangskapital K,
noch keine Zinseszinsen!) für folgende Verzinsung
berechnet werden:
Kapital: K =
1000
Zinssatz: i = 5% = 0.05
Laufzeit: n = 10 Jahre.
Die (einfachen) Zinsen betragen:
Z10 = K
· i · n =1000 ·
0.05 · 10 = 500
Das Endkapital nach 10 Jahren beträgt
dann:
K10 = K
+ Z10
= 1000 + 500 = 1500 .
Oder mit der Endwertformel berechnet:
K10 =
K · (1 + i · n) =1000 ·
(1 + 0.05 · 10)
= 1000 · 1.50 = 1500
Unterjährige Zinszahlung, Tageszinsen
Wenn es sich nicht um Sparverträge mit
vereinbarter (mehrjähriger) Laufzeit, sondern um
kurzfristige Einlagen handelt, dann müssen die Zinsen
tageweise berechnet werden. Für die "unterjährige"
Verzinsung ist in Deutschland für die Laufzeiten festgelegt:
| 1 Jahr = 12 Zinsmonate zu je 30 Zinstagen = 360
Zinstage |
Diese Vereinfachung war nötig, weil die
Zinsen früher manuell oder mit einfachen Rechenmaschinen
ausgerechnet werden mußten und auf diese Weise das
Bankpersonal von den Launen unserer Zeitrechnung (verschiedene
Monatslängen) befreit wurde.
Für tageweise zu berechnende Zinsen lautet
die Zinsformel, wobei für die Anzahl der "Zinstage"
die Bezeichnung d (days) genommen
wird:
| Zd
= K · p/100 ·
d/360 = K
· i · d/360 (Formel 3) |
Beispiel 2:
Kapital: K =
1000
Zinssatz i = 5% = 0.05
Laufzeit: vom 05.05.2001 bis 07.12.2001
Berechnung der Laufzeit in Zinstagen:
05.05. bis 05.12. = 7 Monate zu 30 Tagen = 210 Tage
05.12. bis 07.12 = 2 Tage
insgesamt 210 + 2 = 212 Tage; d
= 212.
Zd
= Z212
= 1000 · 0.05 · 212/360 = 29.44
Bei niedrigerer Tageszahl des Endtermins, z.
B. 25.05.2001 bis 12.10.2001, rechnet man bei der Ermittlung
der Zinstage die Tage des letzten Monats zum Vormonat dazu.
Z. B. vom 25.05. bis (30+12).09. = 25.5.
bis 42.09.
= 4 · 30 + (42-25) = 120 + 17 = 137 Tage.
Bemerkung zur unterjährigen
Zinszahlung:
In angelsächsischen Ländern wird mit der
tatsächlichen Monatslänge gerechnet, jedoch mit einem Jahr
einheitlicher Länge von 365 Tagen (ein evtl. Schalttag wird
nicht berücksichtigt).
Wenn im EU-Ausland kurzfristige Kredite
aufgenommen werden oder Geld angelegt wird, dann ist zu berücksichtigen,
daß dort die Anzahl der Zinstage anders als in Deutschland
berechnet wird. Es ist zu empfehlen, die Bank vorher zu
fragen.
Im Computerzeitalter ist aber die
Vereinfachung der Berechnung kein Argument mehr, so daß eine
Vereinheitlichung zu erwarten ist.
Zinseszinsen sind gemäß § 248 BGB,
Absatz 1, verboten.
Dort heißt es: "Eine im voraus
getroffene Vereinbarung, daß fällige Zinsen wieder Zinsen
tragen sollen, ist nichtig". Eine Ausnahme läßt der
Absatz 2 des § 248 BGB für Sparkassen,
Kreditanstalten und Banken zu. Bei Einlagen
können nicht abgehobene Zinsen als neue verzinsliche Einlage
gelten. Dieser Absatz 2 ist die Hauptgeschäftsgrundlage der
Banken und Sparkassen.
Bei verzinslich angelegten Geldbeträgen (Sparverträgen,
Sparbüchern) werden die Zinsen nicht regelmäßig
ausbezahlt, sondern nach Ablauf des Jahres dem verzinsten
Kapital zugeschlagen und im nächsten Jahr mitverzinst. Weil
die Zinsen auf diese Weise wieder verzinst werden, spricht
man von Zinseszinsen.
Zinseszinsformel:
Herleitung der Zinseszinsformel
(der Multiplikationspunkt ist
entbehrlich, wird aber der Deutlichkeit halber hier verwendet):
Anfangskapital K0
am Beginn des 1. Jahres.
Endkapital am Ende des 1. Jahres bzw.
Anfang des 2. Jahres:
K1
= K0
+ K0
· i = K0
· (1+i)
= K0
· q.
Endkapital am Ende des 2. Jahres bzw.
Anfang des 3. Jahres:
K2
= K1
+ K1
· i = K1
· (1+i)
= K0
· (1+i)
· (1+i)
= K0
· q2.
Endkapital am Ende des 3. Jahres bzw.
Anfang des nächsten Jahres:
K3
= K2
+ K2
· i = K2
· (1+i)
= K0
· (1+i)
· (1+i)
· (1+i)
= K0
· q3.
Endkapital am Ende des n-ten
Jahres:
Kn
= Kn-1
+ Kn-1
· i = Kn-1
· (1+i)
= K0
· (1+i)n
= K0
· qn.
Ein Anfangskapital K0
wächst nach n Zinsperioden mit dem
Zinssatz i und der jeweiligen
Wiederverzinsung der aufgelaufenen Zinsen auf das Endkapital Kn
an, dabei gilt q = 1
+ i :
| Kn
= K0
· (1+i)n
= K0
· qn (Formel 4) |
Den Faktor Kn/K0
= qn
= (1+i)n
nennt man Aufzinsungsfaktor.
Er gibt an, auf welches Vielfache das Anfangskapital nach n
Zinsperioden mit dem Zinssatz i und
der jeweiligen Wiederverzinsung der aufgelaufenen Zinsen
angewachsen ist.
Wenn die yx-Funktion
des HP 49G zur Berechnung des Aufzinsungfaktors benutzt wird,
dann sind alle (früher notwendigen) Aufzinsungstabellen
entbehrlich.
Beispiel 3:
Berechnung der Zinseszinsen für obiges Beispiel 1:
Kapital: K0
= 1000
Zinssatz: i = 5% = 0.05; q
= 1 + i = 1.05
Laufzeit: n = 10 Jahre.
Die Endkapital beträgt einschließlich
Zinseszinsen:
K10 = 1000
· 1.0510 = 1000 ·
1.62889 = 1628.89 ,
(gegenüber 1500 bei einfachen Zinsen in obigem
Beispiel 1).
Abzinsung
Die Zinseszinsformel in der ursprünglichen
Form berechnet durch Multiplikation des Anfangskapitals mit
dem Aufzinsungsfaktor das Endkapital.
Man kann die Formel umstellen und berechnen,
welches Anfangskapital (Barwert) man
verzinslich anlegen muß um ein bestimmtes Endkapital zu
erreichen. Dazu muß man dieses vorgegebene Endkapital abzinsen (diskontieren),
indem man es durch den Aufzinsungsfaktor teilt. Der
zum Abzinsen verwendete Zinssatz i
wird auch Diskontsatz genannt.
| K0
= Kn/qn
= Kn
· q -n
= Kn
· 1/(1+i)n (Formel 5) |
Der Faktor
| K0/Kn
= q
-n = 1/(1+i)n
= (1+i)
-n (Formel
6) |
wird Abzinsungsfaktor
genannt. Er ist der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors. Auch
hierfür gab es früher Tabellen, die nun dank der
Taschenrechnerfunktionen yx
und 1/x
entbehrlich sind.
Bei der einfachen Verzinsung ist der
Abzinsungsfaktor K0/Kn
= 1/(1 + i · n
), wie man aus obiger Endwertformel (Formel 2) der
einfachen Zinsrechnung leicht ermitteln kann.
Berechnung von
Laufzeit und Zinssatz aus den anderen Größen der
Zinseszinsformel
Durch Umstellung der Zinseszinsformel kann
man auch die Laufzeit n oder den
Zinssatz i aus den übrigen Größen
berechnen.
Laufzeit n:
Formeln
7
Hier wurde willkürlich der dekadische
Logarithmus log gewählt. Man kann
auch den natürlichen Logarithmus ln
bei der Herleitung der Formeln verwenden.
Zinssatz i
:
Formeln
8
Zinseszinsrechnung
bei unterjähriger Zinszahlung
Es ist auch möglich, anstelle der jährlichen
Verzinsung eine kürzere Zinsperiode zu wählen, z.B. halbjährlich
oder monatlich, wobei nach Ablauf der Zinsperiode die Zinsen
berechnet und zum verzinsenden Kapital addiert (zugeschlagen)
werden. Ab diesem Zeitpunkt werden die Zinsen mitverzinst.
Dies führt zu einem größeren Endwert als
bei jährlicher Zinszahlung.
Meist werden Zinsperioden von der Länge des m-ten
Teiles eines Jahres vereinbart. Für die halbjährliche
Zinszahlung (Zinszuschlag) gilt m = 2 und für
die monatliche m = 12. Die Laufzeit n
wird nach wie vor in Jahren angegeben.
In n Jahren gibt es
dann m · n Zinsperioden. Ist i
der nominelle Jahreszinssatz, so ist der auf die Zinsperiode
bezogene effektive Zinssatz gleich i/m
.
Die Zinseszinsformel für unterjährige
Zinszahlung lautet dann:
Formel
9
Durch Umstellung dieser Formel können dann
Barwerte, Laufzeit und Zinssatz aus den anderen Größen
ermittelt werden. Der Leser möge diese Formelumstellungen
selber vornehmen.
Grenzwert
Bei extrem kurzer Zinsperiode, wenn m
in Formel 9 nach unendlich strebt ("kontinuierliche
Verzinsung" oder "Augenblicksverzinsung"
genannt), ergibt sich der Grenzwert des erreichbaren Endwerts
K'n
:
| K'n
= K0
· ei·n (Formel 10) |
wobei e = 2.718281828... die
Basis des natürlichen Logarithmus ist. Die Herleitung dieser
Formel wird hier nicht gezeigt.
Beipiel 3a:
Kapital K0
= 1000
Zinssatz i = 0.05 = 5%
Laufzeit n = 10 Jahre.
Die Berechnung soll für jährlichen (m
= 1), monatlichen (m = 12) und
täglichen (m = 360)
Zinszuschlag und für die Augenblicksverzinsung durchgeführt
werden.
Jährlicher Zinszuschlag:
K10
= 1000 · 1.0510 = 1628.89
(wie oben in Beispiel 3).
Monatlicher Zinszuschlag:
K12·10 =
1000 · (1+ 0.05/12)12·10
= 1647.01
Täglicher Zinszuschlag:
K360·10 =
1000 · (1+ 0.05/360)360·10
= 1648.66 .
Grenzwert bei
Augenblicksverzinsung:
K'10 =
1000 · e0.05 · 10
= 1648.72 .
Der monatliche Zinszuschlag kommt schon
ziemlich nahe an den Grenzwert heran,
so daß ein m > 12 nicht
zweckmäßig erscheint.
| Aus der Verkürzung der Zinsperioden resultieren
besondere Begriffe und andere damit verbundene
Feinheiten. Auch die nachfolgenden Formeln für
Rentenberechnung (Kapitalbildung durch Ratenzahlungen)
und die daraus zu ermittelnden Barwerte können für
verkürzte Zinsperioden abgeleitet werden. In diesem
Einführungsbeitrag werden diese Besonderheiten nicht
behandelt. |
Alle oben abgeleiteten Formeln beziehen sich
auf ein einziges Kapital K.
Kapitalbildung erfolgt aber meist über
regelmäßige Einzahlungen, die sich im Laufe der Zeit mit
Zins und Zinseszins zu einem Endwert Kn
summieren.
Unter "Rente"
versteht man in der Finanzmathematik eine verzinsliche
Zahlung, die in mehreren Teilbeträgen, den Rentenraten R1
bis Rn,
erfolgt. Meist gilt die Voraussetzung, daß die einzelnen
Raten gleich sein sollen:
R = R1
= R2 =
... = Rn.
Vorschüssig, nachschüssig
Die Ratenzahlungen R
können entweder am Anfang (vorschüssig) oder am Ende (nachschüssig)
jeder Zinsperiode erfolgen.
Bei der nachschüssigen Rente erfolgt die
erste Zahlung am Ende der 1. Zinsperiode, wirkt sich also
erst ab Beginn der 2. Zinsperiode bei den Zinsen aus. Die
letzte Ratenzahlung erfolgt am Ende der Laufzeit und hat auf
die Zinsen keinen Einfluß mehr. Diese Form wird bei Abzahlung
von Krediten verwendet, bei der Zins- und
Tilgungsbeträge jeweils am Ende der Zinsperiode bezahlt
werden.
Bei Sparverträgen, Versicherungsverträgen
und anderen Kapitalbildungsformen werden die Raten vorschüssig
bezahlt. Jede Rate wird am Beginn der Zinsperiode eingezahlt
und ab diesem Zeitpunkt verzinst. Die letzte Rate wird am
Beginn der letzten Zinsperiode eingezahlt und bis zum Ende
der Laufzeit verzinst.
Rentenendwert, Kapitalendwert
Endwert bei vorschüssiger
Ratenzahlung:
Wenn man n Jahre
lang am Anfang jeden Jahres (vorschüssig) den gleichen
Betrag R einzahlt, so erreicht man
am Ende des n-ten Jahres nach
Verzinsung mit dem Zinssatz i (wobei
gilt: q = 1+i)
folgenden Endwert:
Formel
11
Diese Formel wird z. B. für die Berechnung
der Auszahlungssumme einer Lebensversicherung verwendet. Am
Anfang jedes Jahres werden die Prämien eingezahlt, die sich
über n Jahre verzinslich ansammeln.
Am Ende wird eine Summe ausgezahlt, die sich aus
Versicherungssumme und Kapitalertrag zusammensetzt. Wenn man
den Zinssatz kennt, der wegen des Risikoabschlags etwas
kleiner als die bankübliche Verzinsung ist, kann man die
voraussichtliche Auszahlungssumme zum Ende der Laufzeit
selbst berechnen.
Beispiel 4:
Ein anfangs 30-jähriger
Versicherungsnehmer zahlt 35 Jahre lang am
Anfang jedes Jahres 600 in seine Lebensversicherung ein.
Er schätzt den Zinssatz auf 6 %. (Die vertragliche
Versicherungssumme beträgt 600 · 35 = 21000 )
Er rechnet sich für seinen 65.
Geburtstag folgende Auszahlungssume aus, die sich aus
Versicherungssumme und Kapitalertrag zusammensetzt:
Kn
= 600 · 1.06 · (1.0635 - 1) / 0.06
= 600 · 118.12087 = 70872.52
Der Zinssatz wird jedoch in den
Versicherungsverträgen nicht angegeben, so daß man ihn
später aufgrund der angekündigten oder tatsächlichen
Auszahlungssumme selbst ermitteln muß (siehe Beispiel 9).
Endwert bei nachschüssiger
Ratenzahlung:
Wenn man n Jahre
lang am Ende jeden Jahres (nachschüssig) den gleichen Betrag
R einzahlt, so erreicht man am Ende
des n-ten Jahres nach Verzinsung
mit dem Zinssatz i (wobei gilt: q
= 1+i) folgenden
Endwert:
Formel
12
Die Herleitung der Formeln 11 und 12 wird
hier nicht gezeigt.
Die Umstellung der Formeln zur Berechnung der
Laufzeit n aus den übrigen
gegebenen Daten dürfte dem Leser keine Schwierigkeiten
bereiten.
Nicht lösbare Gleichungen durch
Umstellen nach Zinssatz i
Soll der Zinssatz i
aus den übrigen gegebenen Daten berechnet werden (wie
z. B. für den Ertrag einer Lebensversicherung, siehe
Beispiel 4 und Beispiel 9), so führt die
Umstellung der Formeln 11 und 12 zu nicht auflösbaren
Gleichungen höheren Grades. Diese müssen iterativ
gelöst werden. Ein entsprechendes Programm
(ZINSS) wird am Schluß des Beitrages angeboten. Aber
auch mit dem Finanzlöser des HP 49G ergibt sich eine
Lösung, wenn man die Eingaben richtig wählt (siehe unten).
|
Das Ergebnis der Abzinsung, also der Betrag,
den man anfangs zur Verfügung stellen muß, um das
angegebene Endkapital durch Verzinsung nach einer
vorgegebenen Zeit zu erzielen, nennt man Barwert.
Bei einem fest vorgegebenen Endkapital läßt
sich der Barwert durch einmalige Abzinsung mit q
-n berechnen (siehe Formel 6).
Schwieriger wird die Berechnung des Barwerts, wenn regelmäßige
Zahlungen (Raten), die nach bestimmter Zeit mit Zins und
Zinseszinsen zu einem Endbetrag auflaufen werden, bereits
anfangs durch einen einmaligen Betrag (den Renten-Barwert)
abgelöst werden sollen.
Zur Unterscheidung vom (einfachen) Barwert K0
eines einzigen abgezinsten Betrages wird hier in diesem
Beitrag der aus regelmäßigen Ratenzahlungen zu ermittelnde
(Renten-)Barwert mit dem Formelzeichen Bw
bezeichnet.
Praktische Anwendung des Barwerts
Der Barwert wird nicht nur berechnet, wenn
man den Betrag ermitteln will, den man heute anlegen müßte,
um nach einer gewissen Zeit durch Verzinsung einen
angestrebten Wert zu erreichen, sondern auch dann, wenn eine
zu einem späteren Zeitpunkt fällige Forderung vorzeitig
abgelöst werden soll. In diesem Fall wird der Schuldner (Käufer)
die Forderung um die noch bis zum Fälligkeitszeitpunkt zu
erwartenden Zinsen kürzen, die ja nun dem Gläubiger zufließen,
weil er das Geld früher zurückbekommen hat. Bei Geschäften
mit Wechseln wird der Wechsel als
Zahlungsversprechen wie Bargeld gehandelt. Falls er vor dem Fälligkeitszeitpunkt
verkauft wird, muß er entsprechend abgezinst (diskontiert)
und zum Barwert der Wechselsumme verkauft werden.
Beispiel 5:
Wirtschaftlichkeitsberechnung
Bei Wirtschaftlichkeitsberechnungen zur Beurteilung
der verschiedenen Varianten von Baumaßnahmen oder
Anschaffungen müssen die zu verschiedenen Zeitpunkten zu
zahlenden Geldbeträge wertmäßig miteinander verglichen
werden können, um die wirtschaftlichste Lösung
herauszufinden. Um die Varianten vergleichen zu können,
müssen die Beträge zunächst durch entsprechendes Auf-
oder Abzinsen auf ein und denselben Zeitpunkt bezogen
werden. Dieser Vergleichszeitpunkt kann an und für sich
beliebig gewählt werden, da bei gleichem Zinssatz das
Verhältnis der Zeitwerte in jedem beliebigen Zeitpunkt
das gleiche ist. Meist jedoch werden alle Werte auf einen
Anfangszeitpunkt (Zeitpunkt der Finanzierung) bezogen,
aus deren Summe sich dann der Barwert ergibt.
Um unterschiedliche Beträge, die noch dazu zu
unterschiedlichen Zeiten fällig sein können,
abzuzinsen, legt man eine Tabelle an (Tabellenkalkulation!),
weil in diesem Fall der Barwert nicht durch eine
geschlossene Formel ermittelt werden kann. Hierbei können
auch unterschiedliche Zinssätze für einzelne Beträge
berücksichtigt werden, wenn die Konditionen
verschiedener Banken zusätzlich verglichen werden sollen.
Beispiel 6:
Kapitalisierung von laufenden Zahlungen
Bei der Finanzierung von Projekten muß man berücksichtigen:
- Herstellungskosten, die kurz nach Fertigstellung
zu bezahlen sind, und
- regelmäßige laufende Kosten, die erst im Laufe
der Nutzungsdauer von n
Jahren auftreten.
Da die laufenden Kosten (z. B. Kosten für regelmäßige
vorgeschriebene Wartung) erst später zu bezahlen sind, müssen
sie kapitalisiert werden, indem der Barwert ermittelt und
mitfinanziert wird.
Der Barwertfaktor bwf für
nachschüssige Zahlungen gibt an, welches Vielfache der Rate
man als Anfangskapital (Barwert Bw)
anlegen muß, um die regelmäßigen nachschüssigen Zahlungen
der n Raten nach Verzinsung mit dem
Zinssatz i zu den Fälligkeitszeitpunkten
damit abzudecken (zu kapitalisieren).
Wenn vorschüssige Zahlungen geleistet werden sollen, ist
der Barwertfaktor bwf' zu verwenden.
Da der Barwert und nach Auszahlung der jeweiligen Rate der
verbleibende Restbetrag solange weiter verzinst wird, bis er
aufgezehrt ist, muß man weniger als n
Raten anlegen, weil die Zinsen mit ausbezahlt werden. Es muß
also gelten: bwf < n und bwf'
< n.
Nachschüssiger Barwert:
Vorschüssiger Barwert:
| Bw' = bwf' · R
(Formel 14) |
Auszahlung von n Raten:
Die Differenz (n - bwf)
· R bzw. (n -
bwf' ) · R ist
der Zinsbetrag, der durch die Kapitalisierung der Raten
erzielt wird.
Herleitung der Formel für den Barwertfaktor b
Der Barwertfaktor bwf für n
gleiche Raten R bei einer
Verzinsung mit dem Zinssatz i ist
die Summe der Abzinsungsfaktoren für die
Zahlungen der Jahre 1 bis n.
Weil es sich um gleiche Raten R
handelt, kann man für den Barwertfaktor eine geschlossene
Formel angeben.
Herleitung der Formel für nachschüssige
Zahlungen
Der Barwertfaktor bwf für nachschüssige Ratenzahlungen ist
am gebräuchlichsten. Der Barwertfaktor bwf' für
vorschüssige Zahlungen läßt sich sehr einfach aus bwf
berechnen.
Als Grundlage werden die Formeln 12 , 13 und 15 und q
= 1 + i verwendet.
Daraus ergibt sich:
Formel
16
Da vorschüssige Zahlungen am Beginn der Zinsperiode
bezahlt und in derselben Zinsperiode noch mitverzinst werden,
ist die Verzinsung um den Faktor q = 1
+ i höher als bei nachschüssigen Zahlungen.
Der vorschüssige Barwertfaktor ist deshalb
Formel
17
Beispiel 7:
Eine Person hat sich verpflichtet, einer anderen
Person 5 Jahre (n = 5) lang am
Ende jedes Jahres 1000 (R =
1000) zu bezahlen. Welcher Betrag (Bw)
muß verzinslich mit einem Zinssatz von 5% (i
= 0.05) zu Beginn des 1. Jahres angelegt werden, damit
aus dem angelegten Betrag und den daraus resultierenden
Zinserträgen diese Verpflichtung erfüllt werden kann?
Es handelt sich um nachschüssige Zahlungen.
Der Barwertfaktor wird mit den Werten q
= 1 + i =
1.05 und n = 5 berechnet:
bwf = (1.055-1)
/ (1.055 · 0.05) = 4.32948.
Der Barwert ist Bw = 1000 · 4.32948
= 4239.48 .
Tabelle 1
zur Probe:
Hier werden zur Anschauung die einzelnen Zahlungen
sowie Zinsen und Restbetrag schrittweise verfolgt und in
der Tabelle für jedes Jahr aufgelistet.
| |
Zu
Jahresbeginn |
am Jahresende |
| Jahr |
Bw
oder Restbetrag
|
+
5% Zinsen
|
-Auszahlung
|
Restbetrag
|
| 1. |
Bw
= 4329.48 |
+ 216.47 |
-1000 |
3545.95 |
| 2. |
3545.95 |
+ 177.30 |
-1000 |
2723.25 |
| 3. |
2723.25 |
+ 136.16 |
-1000 |
1859.41 |
| 4. |
1859.41 |
+ 92.97 |
-1000 |
952.38 |
| 5. |
952.38 |
+ 47.62 |
-1000 |
0.00 |
| Summen: |
664.52 |
5000 |
|
Der Barwert 4329.48 und die Zinsen 664.52 ergeben
zusammen die ausgezahlte Summe von 5000 .
Die nach Tabelle ermittelten Zinsen ergeben sich auch
nach der Formel:
(n - bwf) · R
= (5 - 4.32948) · R = 0.66452 ·
R = 664.52
Bei der Abzahlung (Amortisation) von Krediten kann man
zwei Wege wählen:
- Ratenschuld:
Die jährliche Zahlung setzt sich aus einer
gleichbleibenden Tilgungsrate (Tilgungsquote) und den
Zinsen auf den Schuldrest, der zum Zahlungstermin
noch vorlag, zusammen. Da durch jeden Tilgungsbetrag
die restliche Schuld kleiner wird, sind jährlich
kleiner werdende Zinsbeträge zu zahlen. Diese
Zahlungsweise ist für den Schuldner umständlich,
weil er genau Buch führen muß, um die Höhe der nächsten
Zahlung zu ermitteln.
- Annuitätenschuld:
Einfacher ist es, jährlich einen
gleichbleibenden Betrag A
zu zahlen, der sich ebenfalls aus der Tilgung und den
Zinsen auf den Schuldrest zusammensetzt. Da die
Schuld im Laufe der Zeit kleiner wird, nimmt der
Anteil der Zinsen ab und die Tilgungsquote steigt
entsprechend an. Bei dieser Zahlungsweise nennt man
den gleichbleibenden Betrag A
Annuität.
Kann man bei der Ratenschuld die Rückzahlungsbeträge
noch mit einfachen Rechenvorgängen (4 Grundrechenarten)
ermitteln, bedarf es zur Berechnung der Annuität einer
Formel.
Diese Formel stützt sich auf folgende Voraussetzung:
Damit die gestellte Bedingung der Annuitätenschuld erfüllt
ist, muß der Zeitwert aller Annuitäten A
zu Beginn gleich der Anfangsschuld K0
sein. Die Annuitäten A können
also als Raten einer n-mal
zahlbaren nachschüssigen Rente aufgefaßt
werden, deren Barwert gleich K0
zu setzen ist:
A · bwf = K0
Man erhält daraus die Beziehung
A = (1/
bwf ) · K0
Setzt man 1/bwf = a, so
erhält man den Annuitätsfaktor a
, der im betriebswirtschaftlichen Bereich auch Kapitalwiedergewinnungsfaktor
genannt wird. Die Herleitung dieser Formel wird hier nicht
gezeigt.
Formeln
18
Der Annuitätsfaktor a
ist also der Kehrwert des (nachschüssigen)
Barwertfaktors bwf . Der
zweite Name Kapitalwiedergewinnungsfaktor für
denselben Vorgang ergibt sich im betriebswirtschaftlichen
Bereich. Dort wird am Schluß jedes Jahres aus den Erträgen,
die z. B. nach Kauf einer Maschine damit erzielt wurden,
regelmäßig ein bestimmter Betrag A
für die Ersatzbeschaffung zurückgelegt, die nach n
Jahren Nutzungsdauer fällig ist.
Beispiel 8:
Als Beispiel für den Annuitätsfaktor werden
die oben schon im Beispiel 7 für
den Barwertfaktor verwendeten Zahlen und die dort gezeigte Tabelle 1 genommen. In einer zweiten
ausführlichen Tabelle 2 wird unten
gezeigt, wie sich Zinsen und Tilgungsbeträge verändern. Man
kann feststellen, daß beide Tabellen in den Hauptspalten
identisch sind.
Aufgabenstellung für Annuität:
Eine Firma hat für den Kauf eines Computers bei der Bank
einen Kredit von 4329.48 aufgenommen. Nach 5 Jahren ist
die Nutzungsdauer des Computers abgelaufen, so daß er
dann abbezahlt sein muß. Welchen gleichbleibenden Betrag
A (Annuität)
muß die Firma jedes Jahr mit dem Computer (mindestens)
erwirtschaften (in die Verkaufspreise ihrer Produkte
einkalkulieren), damit am Ende jedes Jahres der Betrag A
gezahlt werden kann. Nach 5 Jahren darf keine Restschuld
mehr bestehen.
Aufgabenstellung für die Kapitalwiedergewinnung:
Die Finanzabteilung einer Firma stellt einen Betrag von
4329.48 aus einem Bankguthaben für einen
Computerkauf zur Verfügung. Welchen gleichbleibenden
Betrag A (Annuität) muß die Firma
jedes Jahr mit dem Computer erwirtschaften, damit das
Geld (und die entgangenen Zinsen) innerhalb 5 Jahren
wieder in die Firmenkasse zurückfließt (und dann wieder
neu angelegt werden kann).
Für beide Aufgabenstellungen kann
derselbe Lösungsweg benutzt werden.
Zuerst wird der Annuitätsfaktor (Kapitalwiedergewinnungsfaktor)
für i = 0.05 und n
= 5 berechnet:
a = 0.05 · 1.055/(1.055
- 1) = 0.23097.
Nun wird die Annuität für K0
= 4329.48 berechnet:
A = a · K0
= 0.23097 · 4329.48
= 1000 .
Der jährlich zu zahlende Betrag für
Zins+Tilgung beträgt also A =
1000 .
Tabelle 2
als Probe (siehe auch Tabelle
1 für obiges Beispiel 7)
| |
Zu
Jahresbeginn |
am
Jahresende |
| Jahr |
Anfangsschuld
oder
Restschuld aus Vorjahr
|
Annuität
|
=
5% Zinsen
|
+
Tilgung
|
Restschuld
|
| 1. |
K0
= 4329.48 |
1000.00 |
216.47 |
783.53 |
3545.95 |
| 2. |
3545.95 |
1000.00 |
177.30 |
822.70 |
2723.25 |
| 3. |
2723.25 |
1000.00 |
136.16 |
863.84 |
1859.41 |
| 4. |
1859.41 |
1000.00 |
92.97 |
907.03 |
952.38 |
| 5. |
952.38 |
1000.00 |
47.62 |
952.38 |
0.00 |
| Bezahlte
Summen: |
5000.00 |
664.52 |
4329.48 |
|
Der Finanzlöser ("Finance Solver")
des HP 49G kann nur dann sinnvoll eingesetzt werden, wenn der
Anwender die dabei auftretenden Begriffe der Finanzmathematik
im Grundsatz kennt.
Der Finanzlöser enthält TVM-Funktionen (TVM
= "Time Value of Money" = "Zeitwert für
Geld") für Finanzierungs- und Amortisationsberechnungen.
Mit diesen Funktionen kann man Zinseszinsen und
Amortisationen berechnen.
Berechnung über
Eingabemaske
Nach Aufruf des Finanzlösers durch [leftshift][FINANCE]
= [leftshift][9] erscheint eine
Eingabemaske (INFORM-Maske, siehe auch den
Beitrag "Einkommensteuer"),
in die man die Werte eingeben kann.
Der Finanzlöser ist so aufgebaut, daß alle
Daten in diese Maske eingegeben werden können, nur das Feld
für den zu berechnenden Wert braucht nicht ausgefüllt zu
werden. Wenn im gleichzeitig angezeigten Menü der Maske für
dieses Feld die Funktion SOLVE freigegeben
ist, dann kann man damit den gewünschten Wert berechnen.
Berechnungsvorgang:
- Ausfüllen der Maske.
- Cursor auf das gewünschte Ergebnisfeld stellen und
es damit markieren.
- Funktionstaste für SOLVE drücken.
- Das Ergebnis wird aus den übrigen Daten berechnet
und ins markierte Feld geschrieben. Der vorherige
Wert des Ergebnisfeldes wird durch das berechnete
Ergebnis überschrieben.
Wenn der Zinssatz I%YR aus
den übrigen Daten berechnet werden soll, bringt der Finanzlöser
nach Ausführung von SOLVE manchmal die Fehlermeldung "No
Solution!". Die Ursache liegt in den Formeln 11 und 12,
die sich nicht nach dem Zinssatz i
auflösen lassen (siehe oben). Doch in
den meisten Fällen findet er auch hier die richtige Lösung,
wenn man die Vorzeichen richtig wählt (siehe
unten).
Berechnung über
Menü TVM
Wer die Eingabemaske nicht nutzen möchte,
kann das Menü TVM
(Menünummer 80.01) benutzen, das mit dem Befehl TVM
aufgerufen wird. Die Variablennamen sind in hellen umrandeten
Menüfeldern zu sehen. Die Werte können in den Stack
gestellt und dann durch Drücken auf die Menütaste in die
gewünschten Variable gespeichert werden.
Eingabemaske und Menüs greifen auf dieselben
Variablen zu, die sich im aktuellen Verzeichnis befinden.
Hier soll obiges Beispiel
8 (Abzahlung eines Kredits) mit dem Finanzlöser nochmals
komplett durchgerechnet werden.
Nach Aufruf des Finanzlösers werden die
Werte eingegeben. Bild 1 zeigt die ausgefüllte Maske, die
mit TIME VALUE OF MONEY bezeichnet ist.
N = 5 für die
Laufzeit von 5 Jahren,
PV = 4329.48 für
den Anfangswert, in diesem Fall ist es die
Anfangsschuld,
I%YR = 5 für den
Zinssatz von 5% pro Jahr,
PMT bleibt frei,
hier soll das Ergebnis stehen.
P/YR = 1 für
Zahlungen pro Jahr, (P/YR entspricht
m aus Formel 9 bei unterjähriger
Zinszahlung).
FV = 0 für den
Endwert, Restschuld soll Null sein,
End = nachschüssige
Zahlung (man kann für dieses Feld auch Beg
für vorschüssige Zahlung auswählen)
Dann wird das Feld PMT
markiert und SOLVE gedrückt. Das Ergebnis
ist in Bild 2 zu sehen. Für die Annuität A
(PMT) ergibt sich der Wert -1000,
also eine Verringerung der Schuld.
Bild 1:
 |
Bild 2:
 |
Amortisation
schrittweise
Die Daten aus Bild 2 bleiben als Ausgangwerte
für eine Amortisationsberechnung stehen.
Die Menüfunktion SOLVE
wurde soeben benutzt. Ohne die Werte der Maske zu verändern,
wird mit [F5] in das Verzeichnis AMOR
(Amortisation) gewechselt. Es erscheint eine neue
Maske, die mit AMORTIZE überschrieben ist (Bild 3). Der Wert
bei "Payments:" gibt an, wieviele
Amortisationsschritte (Zahlungen) man auf einmal durchführen
möchte. Die vorgegebene 1 bleibt dort
stehen.
Bild 3:
 |
Bild 4:
 |
Mit [F6] wird die Menüfunktion
AMOR gestartet. Die Maske füllt sich mit
Daten, wie man auf Bild 4 sehen kann.
Bei Betrachtung der Tabelle
2 fällt auf, daß die jetzt in AMORTIZE befindlichen
Daten den Daten des 1. Jahres dieser Tabelle entsprechen:
Payment = 1 = Zustand nach 1 Zahlung
.
Principal = -783.53 = Tilgung im 1.
Jahr,
Interest = -216.47 = Zinszahlung im 1.
Jahr,
Balance = 3545.95 = Restschuld am
Ende des 1. Jahres.
Wieder folgt 1 Schritt mit Payment = 1. Nun B->PV
(Balance to Present Value = Restschuld als Anfangswert)
aktiviert werden. Damit wird die Restschuld als Anfangswert
einer neuen Berechnung in vorherige TIME VALUE OF MONEY-Maske
übernommen, die aber nicht sichtbar ist. Erneutes Drücken
der Menütaste AMOR in der momentan
sichtbaren AMORTIZE-Maske zeigt die Daten für das 2. Jahr
der Tabelle (siehe Bild 5). Die Wiederholung von B->PV
und AMOR zeigt die Daten für das 3. Jahr (Bild
6):
Bild 5:
 |
Bild 6:
 |
Weitere 2 Schritte mit je B->PV
und AMOR führen zu den Bildern 7 und 8,
welche die Daten für das 4. und 5. Jahr zeigen. Der
angezeigte Wert 5.4 · 10-9 für die
Restschuld (Balance) am Ende der Laufzeit resultiert aus den
Auf- und Abrundungen für die Pfennigbeträge und kann zu
Null gesetzt werden..
Bild 7:
 |
Bild 8:
 |
Wenn man nun den Finanzlöser durch
zweimaliges [ON] verläßt, sieht man im
Stack alle berechneten Werte mit einer Marke, einem "TAG"
(zu ->TAG siehe Handbuch). Außerdem sind im aktuellen
Verzeichnis die Variablen N, I%YR, PV, PMT, PYR
und FV angelegt worden, in denen die Werte
der letzten Berechnung gespeichert sind.
Amortisationsstand
zu einem bestimmten Jahresende
Die Daten des Bildes 2 sollen nun als
Ausgangswerte dienen. Wie sieht der Stand der Amortisation am
Ende des 2. Jahres aus?. Mit AMOR wird die
Maske AMORTIZE aufgerufen und dort Payments =2
gesetzt. Nach AMOR und sieht man das
Ergebnis (Bild 9). Die Menüfunktion B->PV
wird jetzt nicht verwendet.
Bild 9:
 |
Payments = 2
zeigt den Zustand nach dem 2. Jahr.
Principal = -1606.23
ist die Summe der bisher bezahlten
Tilgungsbeträge (783.53 + 822.70)
Interest = -393.77
ist die Summe der bisher bezahlten Zinsen (216.47
+ 177.30)
Balance = 2723.25
ist die Restschuld nach dem 2. Jahr.
|
Ein Vergleich mit Tabelle
2 bestätigt die Richtigkeit der Werte.
Berechnung über
TVM-Menü
Das Menü TVM funktioniert
ähnlich wie die AMORTIZE-Maske. Es wird über den Befehl TVM
oder über 80 MENU aufgerufen.
Es erscheint das TVM-Menü (Bild 10). Die
Werte aus Bild 2 werden in die schon bekannten Variablen in
den hell hinterlegten Menüfeldern eingespeichert. Für das
Ende des 2. Jahres wird die Zahl 2 (entsprechend Payments
= 2) in den Stack gestellt. Nun wird die Menüfunktion
AMRT gestartet. Man erhält (wie in der
Maske AMORTIZE) den Amortisationsstand nach dem 2. Jahr (Bild
11). Die Ergebnisse sind zu denen in Bild 9 identisch.
Bild 10:
 |
Bild 11:
 |
Die TVM-Befehle
Im Befehlskatalog gibt es 5 TVM-Befehle:
| Befehl |
Bedeutung |
| TVM |
Aufruf des TVM-Menüs |
| TVMBEG |
Einstellung der Berechnungsweise für
vorschüssige Zahlungen, (Flag -14 = 1) |
| TVMEND |
Einstellung der Berechnungsweise für
nachschüssige Zahlungen, (Flag -14 = 0) |
| TVMROOT |
berechnet den Wert einer TVM-Variablen
aus den Werten der übrigen Variablen. Der
Variablenname, z.B. 'PMT', ist in den Stack zu
stellen. Nach Aufruf des Befehls steht das Ergebnis
im Stack, ist aber nicht in der Variablen selbst
gespeichert. |
| AMORT |
berechnet aus den Werten der TVM-Variablen
eine Amortisation. Der Wert "Payments", z.B.
2 für den Stand nach dem 2. Jahr, muß im Stack
stehen. Dieser Befehl funktioniert genauso wie die
Menüfunktion AMRT im TVM-Menü. |
Bei den Beispielen im Grundlagenteil dieses
Beitrags wurde der HP 49G schon mit seinen mathematischen
Funktionen manuell eingesetzt, indem die Zahlen eingegeben
und über Potenzfunktion die Werte berechnet wurden. Der
Finanzlöser deckt nur bestimmte Berechnungen ab, genügt
aber nicht allen Erfordernissen, weil er z. B. den
Barwertfaktor nicht angibt, den man dann über den Barwert
per Tastatureingaben selbst berechnen muß.
Deshalb werden hier einige Programme gezeigt
und angeboten, mit denen man Barwertfaktoren, Annuitäten und
Endwerte von Ratenzahlungen im einzelnen berechnen kann, ohne
an eine Masken- oder Menüumgebung gebunden zu sein.
Auch die Berechnung des Zinssatzes aus der
Auszahlungssumme einer Lebensversicherung kann per Programm
vorgenommen werden.
Übertragen der Programme
Für finanzmathematische Berechnungen stellt
der Autor folgende Programme für den HP 49G als HP49-Verzeichnis
FINANZ (Typ DIR, Checksumme #58835d,
Größe 2472 Bytes) zur Verfügung:
| Programm |
Berechnungsergebnis |
| KNVR |
Berechnung von kn
= Kn/R
bei vorschüssigen Ratenzahlungen
nach Formel 11. Die Werte für Zinssatz i
und Laufzeit n müssen im
Stack stehen.
Kn
= kn · R |
| KNNR |
Berechnung von kn
= Kn/R
bei nachschüssigen Ratenzahlungen
nach Formel 12. Die Werte für Zinssatz i
und Laufzeit n müssen im
Stack stehen.
Kn
= kn · R |
| ZINSS |
Berechnung des Zinssatzes i aus
der Formel 11 (für vorschüssige Zahlungen).
Im Stack müssen die Werte für kn = Kn/R
und Laufzeit n
stehen. |
| BWFAK |
Berechnung des Barwertfaktors
bwf für nachschüssige
Ratenzahlungen.
Im Stack müssen Zinssatz i
und Laufzeit n stehen. |
| BWDEF |
Funktionsgleichung für den Barwertfaktor bwf
zur Aktivierung und Umsetzung durch die DEFINE-Funktion
(siehe Beitrag DEFINE-Befehl). |
| Hinweis:
In den Programmen wurde j als
Variablenname anstelle von i für
den Zinssatz verwendet, weil i bereits
durch die Konstante für die imaginäre Einheit (Wurzel
aus -1) belegt ist. |
Die Programme laufen im RPN-Modus,
sind selbsterklärend und können ohne Anleitung verwendet
werden. Allerdings sollte man auch hier die nötigen
Vorkenntnisse entsprechend obigem Grundlagenteil haben. Die
Anwendung der Programme ZINSS, KNVR und BWFAK wird anschließend
in einem Beispiel gezeigt.
Beispiel 9:
Berechnung des Zinssatzes der
Auszahlungssumme einer Lebensversicherung:
Der 30-jährige Versicherungsnehmer (siehe
Beispiel 4) zahlt 35 Jahre
lang am Anfang jedes Jahres 600 in
seine Lebensversicherung ein. Er schätzt den Zinssatz
auf 6 %. Er hatte sich mit Formel 11 eine
Auszahlungssumme von 70872.52
ausgerechnet.
In den jährlichen Mitteilungen seiner
Versicherungsgesellschaft wird ihm jedoch eine
Auszahlungssumme von 75000
angekündigt. Wie hoch ist der Zinssatz?
Zur Berechnung mit dem HP 49G wird das
Programm ZINSS verwendet.
Zuerst muß der Endfaktor kn = Kn/R
berechnet werden, der angibt, auf welches Vielfache einer
Rate das Endkapital angewachsen ist: kn
= 75000 / 600 = 125. Dies bedeutet, daß
der Versicherungsnehmer nach Einzahlung von n
= 35 Raten am Ende der Laufzeit den Wert von 125 Raten
zurückbekommt. Das Verhältnis der ausgezahlten zur
eingezahlten Summe beträgt 125/35 = 3.57.
Die Zahlen 125 und 35
werden in den Stack gestellt und das Programm ZINSS
gestartet. Da eine direkte Berechnung (wegen der nicht lösbaren Gleichung) nicht möglich
ist, berechnet das Programm das Ergebnis durch Iteration,
also durch "Probieren", bis die Abweichung
kleiner als 0.00000000001 ist. Das benötigt etwas Zeit.
Dann gibt der Rechner das Ergebnis aus (siehe Bild 12).
Die Variablen mit den berechneten Werten stehen im
aktuellen Verzeichnis zur Verfügung (Bild 13).
Bild 12:
 |
Bild 13:
 |
Die Inhalte der Variablen it
= 28 (Iterationen), kn = 125 (Endfaktor),
n = 35 (Anzahl der Raten), q
= 1.06253819252 und j = 0.06253819252 (entspricht
Zinssatz i) wurden in den Stack
geholt, damit sie im Bild 13 gezeigt werden können. Mit LOE
können die Variablen gelöscht werden.
Zur Nachprüfung dient das Programm KNVR
(vorschüssige Raten).
(i =) 0.06253819252 und (n
=) 35 wird in den Stack gestellt.
Ergebnis: kn = 125 (wie erwartet, siehe
Bild 14).
Bild 14:
 |
Nun noch der Barwert der Einzahlungen:
In den Stack wird eingegeben: (j =)
0.06253819252 und (n =) 35.
Nach Aufruf des Programms BWFAK erhält
man den Barwertfaktor bwf = 14.07687.
Dieser muß noch mit q
= (1 + i)
= 1.06253819252 multipliziert werden, weil es sich bei
den Raten um vorschüssige Zahlungen handelte:
bwf' = 14.07687 · 1.06253819252 = 14.95722
Daraus ergibt sich der Barwert Bw
= 14.95722 · 600 = 8974.33 .
Wäre diese Summe zu Vertragsbeginn als
Gesamtbetrag einbezahlt worden, so hätte sie sich in 35
Jahren mit dem Zinssatz von 6.25% auf 75000 erhöht.
Probe mit Aufzinsungsfaktor (Formel 4): 8974.33 · 1.0625381925235
= 75000.00 .
Nun soll der Zinssatz für Beispiel 9 auch
mit dem Finanzlöser ermittelt werden. Die Maske "TIME
VALUE OF MONEY" wird, wie im Bild 15 gezeigt (bitte auf die Vorzeichen achten!),
ausgefüllt und für I%YR wird der Wert 0
eingegeben. Dann wird die Berechnung für das markierte Feld I%YR
mit SOLVE gestartet. Als Lösung steht dort dann der Wert I%YR:
6.253.... Nach Verlassen der Maske mit CANCEL zeigt
der Bildschirm im Stack das Ergebnis (siehe Bild 16): I%YR
= 6.25381925217.
Bild 15:
 |
Bild 16:
 |
Der Finanzlöser kommt also zu derselben Lösung
wie das Programm ZINSS.
Vorzeichen
beim Finanzlöser
Zu beachten sind bei der Zinssatzberechnung
die Vorzeichen in den Feldern PMT und FV.
Wenn man für beide Felder das gleiche Vorzeichen angibt,
meldet der Finanzlöser "Error: No Solution".
Die Berechnung des Zinssatzes funktioniert nur mit gegensätzlichen Vorzeichen:
PMT = -600 und FV
= 75000 oder auch mit
PMT = 600 und FV = -75000.
Die Vorzeichenfestlegung des Finanzlösers
ist auf die Cash-Flow-Diagramme
zurückzuführen, die die Barwerte meist negativ (als
Darlehen) und die Zahlungen als zurückfließende Beträge (aus
der Sicht des Darlehensgebers) positiv bewerten. Aus der
Sicht des Schuldners kehren sich die Vorzeichen um. Beide
Sichten kann man mit dem Finanzlöser darstellen.
Schlußwort
Bei der Ausbildung von Ingenieuren und
Informatikern kommen die Fächer Finanzmathematik,
Projektmanagement und betriebswirtschaftliche Methodik kaum
vor. Dieser Beitrag kann deshalb den Berufsanfängern bei der
wirtschaftlichen Beurteilung von Projekten eine erste Hilfe
sein.
Die HP49-Entwickler statteten den Rechner mit
den gezeigten Finanzfunktionen aus und setzen beim Anwender
die Kenntnis der Grundlagen finanzmathematischer Berechnungen
voraus. In der Praxis werden solche Berechnungen trotz der
guten Finanzfunktionen der Computer und Taschenrechner oft
fehlerhaft durchgeführt, weil entsprechende Beschreibungen
fehlen.
Deshalb wurden in diesem Beitrag die
finanzmathematischen Grundlagen sehr ausführlich behandelt.
Es wurden jedoch nur die wichtigsten Grundbegriffe der
Finanzmathematik gezeigt und viele spezielle Besonderheiten
ausgespart. Der Leser möge bei Bedarf die Fachbücher zu
Rate ziehen.
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