Großkreisbogen (GKB)
Mathematische Geographie auf dem HP 49G
mit Kugelkoordinaten und Vektoren
Die hier verwendete Notation
ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.
Inhalt
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Jeder ebene Schnitt durch eine Kugel, der
durch den Kugelmittelpunkt geht, erzeugt auf der Kugeloberfläche
einen Großkreis
als Schnittlinie.
Da die Großkreise geodätische
Linien sind und die kürzesten Verbindungen auf der
Kugel darstellen, werden.Entfernungen auf der Erdkugel auf
Großkreisen gemessen. Großkreise werden Orthodrome genannt.
Die "Luftlinie" ist (genaugenommen) keine gerade
Linie, sondern ein Teil eines Großkreisbogens.
Um auf dem kürzesten Weg vom Ort A zum Ort B
auf der Erde zu kommen, muß man sich auf einem Großkreis
bewegen. Falls man sich in Nord-Süd-Richtung bewegt, sind
die Großkreise mit den Längengraden (Meridiane) identisch.
Sobald man sich aber in anderen Richtungen auf einem Großkreis
bewegt, ist der Kurswinkel bezogen auf die Nordrichtung an
jedem Punkt des Weges unterschiedlich. Kurswinkel
sind die Winkel gegen den Meridian.
Die Großkreis-Navigation
ist für den Flugbetrieb eine wichtige Angelegenheit, weil
damit kürzeste Flugverbindungen realisiert werden können.
Zum Beispiel die Pol-Routen von Moskau am Nordpol vorbei nach
San Franciso oder von Südamerika nach Australien am Südpol
vorbei.
Ein Kompaß zeigt (in etwa) die Nordrichtung,
also die Richtung der Meridiane (genaugenommen die Richtung
vom magnetischen Südpol zum magnetischen Nordpol). Ein
Flugzeug auf einem Großkreis kann keinen Kompaßkurs
verwenden, weil der Kurswinkel sich laufend ändert. Mit
einer um einen Globus gelegten Schnur kann man das zuhause
leicht selbst feststellen. Der Winkel der Schnur zur
Nordrichtung ist bei jedem Längengrad anders.
Der Vorteil für ein Schiff oder ein
Flugzeug, das sich längs einer Orthodrome (auf einem Großkreis)
bewegt, in kürzester Zeit das Ziel zu erreichen, schließt
den Nachteil ein, den Kurswinkel in jedem Augenblick ändern
zu müssen.
Da diese Großkreis-Navigation mit dem Kompaß
allein und ohne spezielle Berechnungshilfsmittel kaum möglich
ist, kann der Pilot eine andere Navigation benutzen und immer
im gleichen Kurswinkel gegenüber der Nordrichtung nach Kompaß
fliegen. Eine Kurve, die alle Meridiane im gleichen
Kurswinkel schneidet, wird Loxodrome
genannt. Zum Beispiel ist ein Breitenkreis kein Großkreis,
sondern eine Loxodrome für den Kurswinkel 90° (Sonderfall).
Weicht der Kurswinkel von 90° ab, ergeben sich Spiralen mit
den Grenzpunkten Nord- und Südpol (an die man beliebig nahe
herankommen, aber sie theoretisch nie erreichen kann). Im
zweiten Sonderfall einer Loxodrome mit Kurswinkel 0° bewegt
man sich auf dem Meridian (Großkreis). Loxodromen werden
hier nicht behandelt, obwohl deren Berechnung auch eine
dankbare Aufgabe für den HP 49G als Navigationshilfe wäre.
In diesem Beitrag soll gezeigt werden, wie
die Länge eines Großkreisbogens
zwischen zwei Orten, deren geographische Lage genau bekannt
ist, und die Kurswinkel für die Meridiane des Start- und
Zielpunkts mit dem HP 49G über Kugelkoordinaten und Vektoren
berechnet werden. Ein entsprechendes HP49-Programm GKB wird
zum Herunterladen angeboten.
Die Formeln für den
Großkreisbogen
Die Erde ist keine genaue Kugel, sondern ein
Geoid. Wer die Entfernung zweier Punkte auf der Erdoberfläche
ganz genau rechnen will, muß die Abplattung der Erde und die
Höhe der Punkte über dem Meeresspiegel in die Rechnung
einbeziehen.
Bei den nachfolgenden Berechnungen wird die
Erde als Kugel mit einem mittleren Radius von 6371 km
betrachtet und die Abplattung und Höhenlage vernachlässigt.
Die Formel für den Großkreisbogen ergibt
sich aus einem sphärischen Dreieck (Kugeldreieck) auf der
Erdoberfläche, das durch die beiden gewünschten Punkte und
den Nordpol bestimmt ist (Polardreieck).
Beim Polardreieck (siehe Bild rechts) gelten:
NP als Eckpunkt am
Nordpol
P1 als Eckpunkt mit
der geographischen Länge L1
und der geographischen Breite B1,
P2 als Eckpunkt mit
der geographischen Länge L2
und der geographischen Breite B2,
den Bogen des Meridians vom NP
zu P1 als Seite b1
(als Winkel),
den zu berechnenden Großkreisbogen
zwischen den beiden Punkten P1 und P2
als Dreieckseite b (als
Winkel) und
den Bogen des Meridians vom P2
zum NP als Seite b2
(als Winkel).
Der Winkel dL
ist die Winkeldifferenz zwischen den beiden
Meridianen am Nordpol NP (Differenz
der Längengrade).
Zu beachten ist, daß die Seitenlängen im
sphärischen Dreieck als Winkel angegeben werden. Die tatsächlichen
Bogenlängen der Seiten können über den Kugelradius
jederzeit berechnet werden.
Nun noch der Bezug zu den Längen- und
Breitengraden festgelegt werden.
dL
= L2 - L1
b1 = 90° - B1
b2 = 90° - B2
wobei P2 östlich von P1 liegen muß.
|
Dabei gilt folgende Vorzeichenregelung:
L1 und
L2 = geographische Länge
für Gradangaben (°) östlicher Länge
positive Winkel mit dezimalen Bruchteilen,
für Gradangaben (°) westlicher Länge
negative Winkel mit dezimalen Bruchteilen
B1 und
B2 = geographische Breite
für Gradangaben (°) nördlicher
Breite positive Winkel mit dezimalen Bruchteilen,
für Gradangaben (°) südlicher
Breite negative Winkel mit dezimalen Bruchteilen,
Für das sphärische Dreieck NP_P1_P2
lautet der Seitenkosinussatz:
| cos b1
= cos b ·
cos b2 +
sin b ·
sin b2 ·
cos k2 cos
b = cos b1
· cos b2
+ sin b1
· sin b2 ·
cos dL
cos b2
= cos b1
· cos b +
sin b1 ·
sin b ·
cos k1
|
Formel 1a Formel 1b
Formel 1c
|
Die Winkel k1 und k2
sind die Kurswinkel (bezogen auf die Nordrichtung) in den
Punkten P1 und P2, sie
ergeben sich durch Umstellung der Formeln 1a und 1c bei
bekanntem cos b.
| cos k1
= (cos b2
- cos b1
· cos b)
/ (sin b1
· sin b) cos
k2 = (cos b1
- cos b ·
cos b2) /
(sin b ·
sin b2)
|
Formel 2a Formel 2b
|
Mit dem Radius der Erde R =
6371 km (mittlerer Wert) kann die Bogenlänge zwischen den
beiden Punkten P1 und P2
aus dem Zentriwinkel b (= ß
im Bogenmaß RAD) der (sphärischen)
Dreieckseite b berechnet werden:
| b = b · R = ß · R
|
Formel 3 |
Mit diesen Formeln kann man ein einfaches HP49-Programm
für den Großkreisbogen erstellen.
Hier soll das Arbeiten mit Vektoren im
Kugelkoordinatensystem gezeigt und dabei die Vorteile des HP
49G genutzt werden.
Das Kugelkoordinatensystem hat seinen
Nullpunkt (Ursprung) im Kugelmittelpunkt. Zu jedem Punkt des
dreidimensionalen Raumes zeigt ein Ortsvektor mit drei
Komponenten.
Für einen Punkt auf der Erdkugel gelten für
die Kugelkoordinaten:
Komponente 1: Radius 1 als Einheitsradius der
Erdkugel.
Komponente 2: geographische Länge vom Greenwich-Meridian
nach Osten positiv, nach Westen negativ,
Komponente 3: Winkel von Erdachse ab Nordpol bis zur
geographischen Breite des Punktes.
Die Ortsvektoren zu den Punkten P1
und P2 werden als P1
und P2 (mit Unterstrich), deren
Komponenten in eckigen Klammern [...]
dargestellt.
Mit obigen Bezeichnungen gilt für die Punkte
P1 und P2:
P1 = [1, L1,
90°-B1] = [1, L1,
b1]
P2 = [1, L2,
90°-B2] = [1, L2,
b2]
cos b
ergibt sich als Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt
durch das Produkt ihrer Beträge. Die Beträge der beiden
Vektoren haben den Wert 1, damit gilt
| cos b
= P1 · P2 (Formel 4) |
Daraus ergibt sich mit der arccos-Funktion
der Zentriwinkel des gesuchten Großkreisbogens. Die Länge
des Bogens b ergibt sich nach Formel 3.
Die Kurswinkel k1
und k2 in den beiden Punkten P1
und P2 ergeben sich aus den Formeln 2a und 2b.
Das Programm GKB und die nachstehend
beschriebenen Zusatzdateien werden als HP49-Verzeichnis GKBDIR angeboten:
| Name: |
GKBDIR |
| Größe auf dem HP 49G: |
2365 Bytes |
| Checksum: |
#15212d |
| Format: |
ASCII |
| Translationsmodus |
T3 |
Im GKBDIR-Verzeichnis wird folgendes Menü
gezeigt:
Bild
2
GKB
ist das Berechnungsprogramm für den Großkreisbogen.
Dieses Programm hat der Autor von seinem HP 48GX übernommen.
Es ist nicht optimiert, so daß Verbesserungen
durchaus noch etwas bringen können.
KOO
zeigt ein Auswahlmenü an, aus dem die geographischen
Werte einiger ausgewählter Orte auf der Erdkugel
ausgewählt und in den Stack geholt werden können.
Zur Anzeige dieses Menüs sollte das Flag -90
gesetzt sein, damit durch den kleineren Font die
Texte im Menü vollständig zu sehen sind.
KOO1
enthält die Daten, die durch KOO
angezeigt werden. KOO1 kann durch den Benutzer
ensprechend ergänzt werden.
Das Programm prüft die Eingaben B1,
L1, B2 und L2 und
vertauscht die Werte für die Punkte P1 und P2,
wenn P2 nicht östlich von P1
liegt. Die Eingaben müssen in Grad (° = degrees) erfolgen,
weil die geographischen Lage auch in Grad angegeben wird. Das
Programm schaltet mit DEG auf Grad um. Mit SPHERE
erfolgt die Umschaltung auf Kugelkoordinaten (Systemflags
-15 und -16, siehe Tabelle der
Systemflags). Dann wandelt es die Eingabewerte in
Vektoren um. Mit dem Vektorbefehl DOT wird
das Skalarprodukt berechnet, aus dem cos b
ermittelt wird. Der Rest ist Routineprogrammierung.
Hinweis zur Umrechnung
von Koordinaten in andere Systeme:
Mit den Koordinatenbefehlen RECT,
SPHERE und CYLIN kann man
die Werte verschiedener Koordinatensysteme ineinander
umrechnen. Diese Befehle stehen im Menü-Nr 4.02 (Befehl:
4.02 MENU), das auch über [leftshift][MTH][VEKTR][NXT]
erreichbar ist.
Näheres im Beitrag Koordinatensysteme auf dem HP 49G
|
| Nach Aufruf des Programms GKB
ohne vorherige Eingabe von Werten erscheint ein
Bildschirm (siehe Bild 3), auf dem Hinweise zur
vorzeichenrichtigen Eingabe gegeben werden. Durch Drücken
einer beliebigen Taste kann diese Anzeige verlassen
werden. |
|
Bild 3 |
Eingaben
Die Werte L1, B1, L2 und
B2 sind (in dieser Reihenfolge) in Grad (°)
mit Dezimalbruchteilen in den Stack zu stellen. Z.B. wird 25°12'
als 25.2° (mit Dezimalpunkt) eingegeben. Die Umrechnung kann
durch den Befehl HMS-> aus dem Zeitmenü
(Nr. 94.02) erfolgen, über Tastatur [rightshift-hold][TIME][NXT]
erreichbar.
Das Programm akzeptiert auch die Variablen L1,
B1, L2 und B2 mit den
entsprechenden Inhalten. Dies ist von Vorteil, wenn das
Programm zusammen mit anderen Programmen eingesetzt werden
und deren Ergebnisse übernehmen soll. Tastatureingaben sind
dann nicht erforderlich.
Die geographischen Werte für die Orte werden
eingegeben oder aus dem KOO-Menü ausgewählt:
Bild 4: Auswahlmenü KOO:
 |
Bild 5: Eingabewerte im Stack:
 |
Nun wird GKB
aufgerufen.
Ausgaben
Nach Aufruf erscheint folgende Ausgabe (siehe
Bild), die durch Drücken einer beliebigen Taste verlassen
werden kann.
Anzeige des Ergebnisses:
L1, B1, L2 und B2 werden zur
Erinnerung angezeigt.
b ist die
gesuchte Entfernung der beiden Orte (Bogenlänge)
in km.
Für den Bogen von P1 nach P2
ist ß der
Zentriwinkel dieses Bogens. Zur
Unterscheidung der Bogenlänge b
vom Zentriwinkel b
des gesuchten Bogens wird im Programm der
Zentriwinkel mit ß bezeichnet.
k1 =
Kurswinkel bei P1 Richtung P2.
k2 =
Kurswinkel bei P2 Richtung P1.
|
|
Bild 6 |
Nach Verlassen dieser Ergebnisanzeige (durch
beliebige Taste) findet man folgende Variablen und Menüpunkte
im aktuellen Verzeichnis:
LOEP löscht die Variablen L1, B1, L2
und B2 mit den Eingabewerten.
LOE löscht alle übrigen von GKB
erzeugten Variablen.
k1 = Kurswinkel bei P1 Richtung P2
k2 = Kurswinkel bei P2 Richtung P1,
b = Bogenlänge = Entfernung P1 zu P2
auf dem Großkreis,
ß = Zentriwinkel des Bogens b
in °
COSB = cos b
P2 = Vektor P2
in der aktuellen Koordinatendarstellung
P1 = Vektor P1
in der aktuellen Koordinatendarstellung
L1 mit Wert für geographische Länge
des Punktes P1 in °
B1 mit Wert für geographische Breite
des Punktes P1 in °
L2 mit Wert für geographische Länge
des Punktes P2 in °
B2 mit Wert für geographische Breite
des Punktes P2 in °
Das Programm prüft die Eingabewerte auf
richtigen Zahlentyp und Vorzeichen. Befindet sich der Punkt P2
westlich von P1, so vertauscht das Programm die Punktnummern,
um die Werte richtig verwenden zu können.
Falls keine konkreten Werte als Ergebnis möglich
sind, wird "**.**" ausgegeben. Das ist z.B. der
Fall, wenn die drei Eckpunkte des sphärischen Dreiecks auf
einem Großkreis liegen. Gibt man für P1 den Nordpol und für
P2 den Südpol an, dann tritt ein solcher Fall ein. Dann gibt
es keine Kurswinkel, für k1 und k2 wird jeweils
"**.**" ausgegeben, während die anderen Werte (Entfernung,
Zentriwinkel) richtig berechnet werden.
Bei Orten, die soweit auseinanderliegen, daß
die Differenz der Längengrade > 180° beträgt, ist die
Bogenlänge "hinten herum" kürzer als die vom
westlichen Punkt P1 über den Nullmeridian zum östlichen
Punkt P2. Das Programm erkennt dies und rechnet die kürzere
Entfernung und die richtigen Kurswinkel. Hier waren keine
Programmiertricks erforderlich, die Mathematik in den Formeln
ist selbst so schlau, dies zu erkennen. Lediglich die
Richtung zum jeweils anderen Punkt (nach links oder rechts)
ist dann vertauscht.
Beispiel:
Zwei Positionen nahe der
Datumsgrenze:
L1 = -175°, B1 = 5°
L2 = 175°, B2 = -5°
Ergebnis: P2 liegt links von P1. Der
Winkel k2 ist rechts und der Winkel k1 links von der
Nordrichtung zu wählen.
|
|
Bild 7 |
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