Die Integralfunktion des HP 49G

und die Umkehrfunktion (Ableitung einer Funktion)

Quelle: "HP49G Advanced Users Guide", Version 1.3, im Teil E
Integralfunktion: Seiten 405/406
Ableitung (derivative function): Seite 409.

Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.

Einleitung

Mit der eingebauten Integralfunktion des HP 49G können bestimmte und unbestimmte Integrale berechnet werden. Die mathematischen Grundlagen werden beim Leser als bekannt vorausgesetzt.

Achtung:
Das Wort "Funktion" wird hier in zwei Bedeutungen benutzt:
__1. Als Funktion des Taschenrechners, die mit einem Tastendruck gestartet werden kann.
__2. Als mathematische Funktion f(x), die als Argument für die Taschenrechnerfunktion eingegeben werden muß.

Bestimmtes Integral

Mathematische Schreibweise des bestimmten Integrals:

Für die Funktion f(x) kann auf dem abgeschlossenen Intervall von a bis b der Wert des Integrals ausgerechnet werden. F(x) wird die Stammfunktion von f(x) genannt.

Umgekehrt gilt: F'(x) = f(x). Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die ursprüngliche Funktion.

Unbestimmtes Integral

Als unbestimmtes Integral der Funktion f(x) in einem Intervall bezeichnet man die Menge aller Stammfunktionen der Funktion f(x) in diesem Intervall.

Wenn F(x) irgendeine Stammfunktion von f(x) ist, so gilt:

C wird Integrationskonstante genannt. x ist die Integrationsvariable.

Ableitung

Bei der Berechnung der 1. Ableitung f'(x) einer Funktion f(x) wird der Differentialquotient berechnet.

 

Aufruf der Integralfunktion des HP 49G

Die Integralfunktion des HP49G wird mit [rightshift][TAN] oder [rightshift][] aufgerufen. Das Integralzeichen ist bei der Tangenstaste auf dem Gehäuse rot aufgedruckt.

Vor dem Aufruf sollten die Flags {-2, -3, -79, -105} gelöscht, also auf Null gesetzt werden.

Die Argumente der Integralfunktion müssen (im RPN-Modus) im Stack stehen:

Stackebene 4:	untere Integrationsgrenze (reelle oder complexe Zahl, Variablenname, algebraischer Ausdruck, oder Einheitenobjekt), z.B. 0 oder 'a'
Stackebene 3:	obere Integrationsgrenze (Typen wie untere Grenze)
Stackebene 2:	Integrand als Formel mit Variablen oder Konstanten
Stackebene 1:	Variablenname, nach dem integriert werden soll.

Nach Aufruf von [rightshift][TAN] steht dann das Ergebnis im Stack.

Will man den Wert eines bestimmten Integrals berechnen, müssen alle Variablen (außer der Integrationsvariablen) mit Zahlenwerten belegt sein. Das Integrationsintervall muß abgeschlossen sein, also eine feste obere und untere Grenze haben.

Für die symbolische Auswertung bestimmter oder unbestimmter Integrale können symbolische Formelzeichen verwendet werden.

Für die allgemeine Ermittlung eines unbestimmtes Integrals auf dem HP 49G kann als obere Grenze die Integrationsvariable und als untere Grenze Null angegeben werden. Die Integrationskonstante wird vom HP 49G nicht berücksichtigt.

Zu beachten ist, daß von den eingebauten Funktionen des HP 49G nur diejenigen integriert werden können, für die auch eine Umkehrfunktion auf dem Rechner als eingebaute Funktion verfügbar ist. Zum Beispiel können die Ableitungen aller eingebauten Funktionen integriert werden. Bei Polynomen müssen die Basisterme linear sein.

Bei Bedarf sollte man die Beschreibung im Handbuch ("HP49G Advanced Users Guide", Version 1.3, im Teil E auf den Seiten 405/406) lesen, sie ist ausreichend und informativ.

Beispiel im RPN-Modus

Zu integrieren ist:  x⁵ - c · x⁴ + x³ für x von 0 (Null) bis a

Das linke Bild zeigt die Eingaben im Stack und im rechten Bild ist das (ungewöhnliche) Ergebnis des Integrals zu sehen.

Nach Aufruf des Befehls EXPAN (expand = auseinanderziehen) zeigt der Bildschirm das erwartete Ergebnis:

 

ALG-Modus

Im ALG-Modus erscheint nach [rightshift][TAN] in der Befehlszeile
das Integralzeichen mit einer Klammer, in die man die Argumente (untere Grenze, obere Grenze, Integrand, Variablenname) in dieser Reihenfolge, mit Komma dazwischen, eintragen muß.

Das obige Beispiel ergibt im ALG-Modus nach Betätigung der [ENTER]-Taste ein zum RPN-Modus identisches Ergebnis, wobei die ursprüngliche Formel in Integraldarstellung und auch das Ergebnis gleichzeitig auf dem Bildschirm angezeigt werden.  Das Ergebnis muß, wie im RPN-Modus, auch hier noch vereinfacht werden.

Um die vollständige Anzeige im nachstehenden Bild zu ermöglichen, wurde der Header der Anzeige auf 0 gesetzt:
Taste [MODE], Menüpunkt [DISP], Zeile Header: 0.

Die Ableitung einer Funktion

Der HP 49G besitzt selbstverständlich auch die Umkehrfunktion der Integralfunktion. Das ist die Ableitung einer mathematischen Funktion (derivative function). Die mathematischen Grundlagen werden beim Leser als bekannt vorausgesetzt.

Die Eingabe ist wesentlich einfacher als bei der Integralfunktion. Die Funktion f(x) wird in die Stackebene 2 und die Variable x, nach der abgeleitet werden soll, wird in Stackebene 1 eingegeben.

Die Ableitung einer mathematischen Funktion wird mit [rightshift][COS] aufgerufen. Das Formelzeichen ist bei der Cosinustaste auf dem Gehäuse rot aufgedruckt.

Beispiel für den RPN-Modus:

Die Funktion f(x) = x⁵ - c · x⁴ + x³ wird nach x abgeleitet. Es wird also f'(x) berechnet.

Das linke Bild zeigt die Eingaben im Stack und im rechten Bild ist das Ergebnis zu sehen.

Aufgrund der einfachen Handhabung ist keine weitere Erläuterung notwendig.

Details sind dem oben angegebenen Handbuch "HP49G Advanced Users Guide", Version 1.3, im Teil E auf Seite 409 zu entnehmen.

Hinweis: Wenn man beide Funktionen und abwechselnd benutzt, indem man eine Funktion f(x) integriert und dann die Ableitung des Ergebnisses berechnet, kommt nicht immer die ursprüngliche Darstellung der Funktion f(x) heraus, sondern meist eine wesentlich kompliziertere Formel. In diesem Fall kann man mit den Befehlen EXPAN und SIMPLIFY die Ergebnisse vereinfachen (was nicht immer gelingt). Notfalls muß man im Kopf nachrechnen, ob das (zurückgerechnete) Ergebnis identisch ist mit der ursprünglichen Funktion.

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