Koordinatensysteme
auf dem HP 49G

Umwandlung von Vektorkomponenten
in verschiedene Koordinatensysteme

Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.

Inhalt

Einleitung
Bezeichnungen und Begriffe
Koordinatenmodus
Winkelmodus
2D-Koordinaten
3D-Koordinaten

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Einleitung

Der HP 49G unterstützt Koordinatensysteme im zweidimensionalen (2D) und dreidimensionalen (3D) Raum.

Man kann in rechtwinkeligen Koordinaten, Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten mit dem HP 49G rechnen.

Umrechnung und Zusammenhänge werden in diesem Beitrag gezeigt. Die Kenntnis, wie man mit Vektoren auf dem HP 49G umgeht, wird beim Leser vorausgesetzt.

 

Bezeichnungen und Begriffe

Damit der HP 49G Werte als Koordinaten erkennt, müssen sie als Vektorkomponenten vorliegen.

Die Koordinaten gelten in einem orthogonalen (rechtwinkeligen) Rechtssystem (kartesisches Koordinatensystem) und in den daraus abgeleiteten Polarkoordinatensystemen (Polarkoordinaten in der 2D-Ebene, Zylinder- und Kugelkoordinaten im 3D-Raum). (In einem Linkssystem funktioniert es auch, man muß nur alle Zusammenhänge und Voreinstellungen umdefinieren.)

Definition eines orthogonalen Rechtssystems:

Schraubenregel:
Wenn man eine Schraube mit Rechtsgewinde in die z-Achse legt und damit eine Drehung mit der pos. x-Achse in Richtung pos. y-Achse durchführt, dann schraubt sie sich bei einem Rechtssystem in Richtung der positiven z-Achse.

Dreifinger-Regel:
Spreizt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand rechtwinkelig auseinander, dann ist

  • der Daumen die positive x-Achse,
  • der Zeigefinger die positive y-Achse und
  • der Mittelfinger die positive z-Achse

eines Rechtssystems.

Hier werden folgende (im HTML-Format darstellbare) Formelzeichen verwendet:

x x-Komponente der kartesischen Koordinaten
y y-Komponente der kartesischen Koordinaten
z z-Komponente der kartesischen Koordinaten
µ Horizontalwinkel in x,y-Ebene (Rechtsdrehung um die pos. z-Achse)
ß Vertikalwinkel (ab der pos. z-Achse in Richtung der neg. z-Achse)
rZ , rK Radius des Zylinders (rechtwinkelig zur Achse) bzw. Radius der Kugel
c Höhen-Komponente in Richtung Zylinderachse bei Zylinderkoordinaten
Winkelsymbol in der Vektoranzeige auf dem HP 49G

 

Koordinatenmodus

Unabhängig von der Art der Anzeige werden Vektoren immer in kartesischer Form gespeichert.

Koordinatenumwandlung:

Wenn die Vektoren in einem bestimmten Koordinatentyp eingegeben worden sind, braucht man nur den anderen Modus zu wählen, um die Vektoren in den neuen Koordinatenmodus "umzurechnen" und anzuzeigen.

Der Koordinatenmodus kann mit den Befehlen RECT, CYLIN und SPHERE aus dem Vektor-Menü [leftshift][MTH][VECTR][NXT] (= Menü Nr. 4.02) eingestellt werden. Ein Indikator am oberen Bildschirmrand zeigt den eingestellten Modus. Diese Befehle verändern die Systemflags -15 und -16:

Systemflags -15 und -16: Koordinatenmodus
Befehl Koordinaten Indikator Flag -16 Flag -15
RECT Kartesische Koordinaten XYZ 0 X
CYLIN Zylinderkoordinaten RZ 1 0
SPHERE Kugelkoordinaten R 1 1

X kann 1 oder 0 sein (= Don't care-Zustand)

 

Winkelmodus

Der Winkelmodus kann mit den Befehlen DEG, GRAD und RAD eingestellt werden. Ein Indikator am oberen Bildschirmrand zeigt den eingestellten Modus. Diese Befehle verändern die Systemflags -17 und -18:

Systemflags -17 und -18: Winkelmodus
Befehl Winkelmodus Indikator Flag -18 Flag -17
DEG degrees = Grad (°); früher: Altgrad DEG 0 0
GRAD Gon (g); früher: Neugrad GRD 1 0
RAD Radiant (rad) = Bogenmaß (reine Maßzahl) RAD X 1

X kann 1 oder 0 sein (= Don't care-Zustand)

Hinweis:
Zu beachten ist, daß bei Gon der Indikator auf dem Bildschirm (GRD) nicht mit dem Befehl GRAD identisch angezeigt wird.

 

2D-Koordinaten

2D-Vektoren können auf dem HP 49G (und auch auf dem HP 48GX) im kartesischen Koordinatensystem (mit x,y[,z]-Komponenten) oder als Polarkoordinaten mit polaren Komponenten (Radius und Winkel) angezeigt werden. Am oberen Bildschirmrand ist der entsprechende Indikator XYZ, RZ oder R für den eingestellten Koordinatenmodus sichtbar, wobei die beiden Systeme

in der Ebene (2D) identische Polarkoordinaten sind, wobei Kugel und Zylinder in 2D zu einem Kreis "schrumpfen", weil die z-Komponente wegfällt.

Da die Komponenten auch vom eingestellten Winkelmodus abhängig sind, werden Winkelkomponenten in der Vektordarstellung als reine Zahlen mit vorangestelltem Winkelsymbol angezeigt. Der aktuelle Winkelmodus wird durch den Winkelindikator DEG, GRD oder RAD am oberen linken Bildschirmrand gemeldet.

Beispiel:

x = 2.50 und y = 4.33 sind die Vektorkomponenten für einen 2D-Vektor. Die Zahlen werden in den Stack gestellt und mit dem Befehl ->V2 aus dem Vektormenü ([leftshift][MTH][VECTR]) in einen zweidimensionalen Vektor umgewandelt.

Bild 1 zeigt den XYZ-Indikator und auch ein Quadratchen im Menüfeld RECT. Dies bedeutet, daß der Koordinatenmodus "kartesisch" eingestellt ist. In der Stackebene 1 wird der Vektor des Beispiels angezeigt.

Die "Umrechnung" in 2D-Polarkoordinaten geschieht durch einfaches Drücken der dem Menüpunkt CYLIN (oder SPHERE) zugeordneten Menütaste. Bild 2 zeigt das Ergebnis der "Umrechnung". Der Indikator RZ signalisiert Polarkoordinaten (2D-Zylinderkoordinaten).

2D-Koordinatensysteme Vektor Anzeige
Kartesische Koordinaten:

Modus: RECT

 [x , y] Bild 1
Bild 1: Kartesische Koordinaten in der Ebene (2D)
Polarkoordinaten:

Modus: CYLIN

 [r, µ] Bild 2
Bild 2: Polarkoordinaten in der Ebene (2D)

 

3D-Koordinaten

Jeder 3D-Vektor auf dem HP 49G (und auch auf dem HP 48GX) kann mit seinen 3 Komponenten in folgenden Koordinatensystemen dargestellt werden. Dabei gelten die Komponenten für den Ortsvektor, der vom Koordinatenursprung ausgeht.

Am oberen Bildschirmrand ist der entsprechende Indikator XYZ, RZ oder Rfür den eingestellten Koordinatenmodus und auch der aktuelle Winkelmodus sichtbar.

Beispiel:

x = 3.00, y = 4.00 und z = 15.00 sind die Vektorkomponenten für einen 3D-Vektor. Die Zahlen werden in den Stack gestellt und mit dem Befehl ->V3 aus dem Vektormenü ([leftshift][MTH][VECTR]) in einen dreidimensionalen Vektor umgewandelt.

Bild 3 zeigt den XYZ-Indikator und auch ein Quadratchen im Menüfeld RECT. Dies bedeutet, daß der Koordinatenmodus "kartesisch" eingestellt ist. In der Stackebene 1 wird der Vektor des Beispiels angezeigt.

Die "Umrechnung" in die anderen 3D-Koordinatensysteme geschieht durch einfaches Drücken der dem Menüpunkt CYLIN oder SPHERE zugeordneten Menütaste. Bild 4 zeigt das Ergebnis der "Umrechnung" in Zylinderkoordinaten und Bild 5 denselben Vektor in Kugelkoordinaten.

3D-Koordinatensysteme Vektor Anzeige
Kartesische Koordinaten

Modus: RECT

 [x, y, z] Bild 3
Bild 4: Kartesische Koordinaten (x, y , z)
Zylinderkoordinaten

Modus: CYLIN

Merkregel für die
Reihenfolge der Komponenten:
RLH =
Radius, Längengrad, Höhe
[rZ , µ , c] Bild 4
Bild 5: Zylinderkoordinaten (Radius, Längengrad, Höhe)
Kugelkoordinaten

Modus: SPHERE

Merkregel für die
Reihenfolge der Komponenten:
RLN=
Radius, Längengrad, Nordpolabstand
[rK , µ , ß] Bild 5
Bild 6: Kugelkoordinaten (Radius, Längengrad, Nordpolabstand)

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