Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.
- Einleitung
- Das Unterverzeichnis KRBER
- Das Programm KREIS
- Das Programm SEGMENT
Der HP 49G beherrscht Vektorfunktionen. Mit denen lassen sich Aufgaben der analytischen Geometrie auf einfache Weise lösen. Hier wird gezeigt, wie Vektorfunktionen, insbesondere Skalarprodukt und Kreuzprodukt zweier Vektoren, zur Kreisberechnung verwendet werden. Der Anwender der Programme sollte mit Vektoren vertraut sein und die im HP 49G verwendete Darstellung der Vektoren kennen.
Im Programmverzeichnis KRBER werden zwei Programme zur Verfügung gestellt:
Das Programm KREIS verwendet Vektorfunktionen und berechnet Elemente eines Kreises, der durch die Koordinaten dreier Punkte der Kreislinie gegeben ist.
Mit dem Programm SEGMENT läßt sich ein Kreissegment aus Stichhöhe und Sehnenlänge berechnen.
Beide Programme sind für vermessungstechnische Berechnungen nützlich.
Die mathematischen Grundlagen dieser Berechnungen werden hier nicht behandelt, sondern nur die Aufgabenstellung und Programmanwendungen nachfolgend beschrieben.
Warnung:
Skalar- und Kreuzprodukt (Befehle DOT und CROSS) funktionieren erst ab der Flash-ROM-Version 1.16. Die früheren Versionen 1.05 und 1.10 sind fehlerhaft, dort läuft das Programm KREIS nicht.
Die Version des HP 49G wird nach Aufruf des Befehl VERSION ausgegeben. Falls eine der fehlerhaften Versionen vorliegt, sollte ein Upgrade durchführt werden (siehe dazu Informationen und Anleitung).Die Programme laufen im RPN-Modus.
KRBER (=Kreisberechnung) ist ein Verzeichnis, das sich Übertragen auf den HP 49G als Unterverzeichnis im aktuellen Verzeichnis installiert.
Es enthält folgende Menüfelder:
KREIS = Kreisberechnung aus drei Punkten KINFO = Information über Ergebnisausgabe für KREIS SEGMENT = Programm zur Berechnung eines Kreissegments SEGBILD = Grafik zu SEGMENT
Aufgabenstellung
Der ebene Kreis wird durch den Mittelpunkt und einen Punkt auf der Kreislinie eindeutig bestimmt. In vielen Fällen hat man aber den Mittelpunkt nicht, sondern nur die Koordinaten dreier Punkte, die eine Kreislinie bestimmen.
In der Geometrie wird dann zwischen jeweils 2 Punkten eine Verbindungslinie (Sehne) gezogen und das Mittellot auf diese gezeichnet. Der Kreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der beiden Lote.
In der analytischen Geometrie der Ebene hat man nur die Koordinaten dieser drei Punkte. Aus diesen sollen rechnerisch Mittelpunktskoordinaten, Radius und andere Werte berechnet werden. Normalerweise ist das ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Die beiden Unbekannten sind die Mittelpunktskoordiaten xm und ym.
In der nachstehenden Zeichnung ist geometrische Sachverhalt dargestellt. Für alle Vektoren ist jeweils die definierte Richtung angegeben. Die Vektorbezeichnungen sind kursiv und fett dargestellt.
Definiert ist die Reihenfolge der Punkte P1, P2 und P3 auf der Kreislinie im Uhrzeigersinn. Die Punkte werden als sogenannte Ortsvektoren eingegeben, die in der Zeichnung blau dargestellt sind. Die Ortsvektoren beziehen sich auf den Koordinatenursprung des vorhandenen Koordinatensystems.
Wenn die Koordinaten jedoch so gegeben sind, daß Punkt P3 vom Punkt P2 soweit abrückt, daß er näher an P1 als an P2 ist, dann liegt der Kreismittelpunkt im jeweiligen Segment zwischen Bogen und Sehne und das Lot fällt von der anderen Seite auf die Sehne. Der berechnete Zentriwinkel zwischen den Loten ist jedoch richtig (
< 180°). Mit einer Skizze der aktuellen Situation kann sich der Anwender Klarheit verschaffen.
Systemflags
Für die drei Punkte auf der Kreislinie sind die Koordinaten in einen kartesischen Koordinatensystem einzugeben, im HP 49G muß deshalb das Flag -16 gelöscht (= zurückgesetzt = 0 für kartesische Koordinaten) sein. Das Programm stellt das Flag -16 durch den Befehl RECT selbst auf den richtigen Wert. In der LCD-Bildschirmanzeige wird dann links oben der Indikator XYZ angezeigt. Die Winkel werden gemäß eingestelltem Format (siehe Indikator links oben) angezeigt:
- bei DEG als Altgrad
bei RAD im Bogenmaß
bei GRD in Neugrad (=Gon, Verwendung in der Vermessungstechnik).Für die Zahlenberechnungen soll das Flag -105 gesetzt (=1) sein, das heißt, der Näherungsmodus muß eingestellt sein, denn nur bei diesem werden alle Zahlen als Werte (mit begrenzter Anzahl von Stellen hinter dem Komma, deshalb "Näherungsmodus") ausgerechnet.
Einfaches Umschalten ab Version 1.16: [rightshift-hold][ENTER].Außerdem müssen die Flags -2 und -3 gesetzt (= 1 = "numerisch") sein.
Eingabewerte
Das Programm KREIS berechnet aus den als Vektoren [x y] eingegebenen Koordinaten der Punkte P1, P2 und P3 den Ortsvektor des Kreismittelpunkts M und daraus die übrigen Werte. Das Programm stellt das Ergebnis der Berechnung in den in der obigen Zeichnung angegebenen Variablen zur Verfügung.
Wenn KREIS aufgerufen wurde, ohne vorher die Koordinaten für die Punkte eingegeben zu haben, erhält man einen Hinweis (siehe obiges linkes Bild ). Diese Anzeige verläßt man durch Drücken einer beliebigen Taste.
Nun werden die Werte für die Punkte eingegeben. Als Beispiel dienen die Vektoren [5. 10.], [10. 10.] und [13. 7.], wie im obigen rechten Bild gezeigt. Der HP 49G legt dann die Variablen P1, P2 und P3 an, die diese Vektoren enthalten. Diese Variablen sind vom Typ 3 (= "Real Array").
Der Typ kann mit 'P1' VTYPE 'P2' VTYPE 'P3' VTYPE geprüft werden.
Die Vektorwerte müssen richtig eingeben werden: Das sind Dezimalzahlen mit Dezimalzeichen in eckigen Klammern. Wenn nicht der Näherungsmodus, sondern der "exakte" Modus eingestellt ist, übernimmt der HP 49G die Vektoren [5 10], [10 10] und [13 7] mit Integerzahlen (die Variablen P1, P2 und P3 sind dann vom Typ 29 = "Symbolic Vector/Matrix") unverändert. Im Näherungsmodus werden diese Integerzahlen bei der Eingabe in reelle Zahlen umgewandelt.
Nach der Eingabe wird das Programm KREIS erneut aufgerufen. Es erscheint der Ausgabehinweis (siehe Bild rechts). Diesen Bildschirm durch Drücken einer beliebigen Taste verlassen!.
Das Menü des Arbeitsverzeichnisses enthält die Ergebniswerte in den vom Programm angelegten Variablen gemäß der obigen Zeichnung. Zwei zusätzliche Menüpunkte LOE und LOEP erleichtern das Löschen: Die berechneten Ergebnisvariablen werden mit LOE gelöscht. Die Variablen P1, P2 und P3, falls die Koordinatenwerte nicht für eine neue Berechnung abgeändert werden sollen, werden durch LOEP gelöscht.
Die Ergebniserläuterungen werden durch KINFO aufgerufen:
- L1 ist ein Vektor, der von P1 nach P2 zeigt.
- L2 ist ein Vektor, der von P2 nach P3 zeigt.
- N1 und N2 sind Vektoren, die zum Mittelpunkt M zeigen.
- Die restlichen Angaben sind Winkel und Bogenlängen.
- Verlassen der Anzeige durch Drücken einer beliebigen Taste.
Einen Kreis kann man auch dadurch bestimmen, daß man die Länge s einer Sehne und in der Mitte dieser Sehne die "Stichhöhe" h zum Kreisbogen vorgibt. Mit diesen beiden Werten berechnet das Programm SEGMENT den Kreis. Mit SEGBILD wird eine Zeichnung (siehe nachfolgendes linkes Bild) angezeigt. Verlassen der Anzeige durch CANCEL = [ON].
Nach Aufruf des Programms SEGMENT erscheint eine Anzeige mit der Aufforderung, Höhe und Sehne einzugeben (siehe nachfolgendes rechtes Bild).
Als Beispiel wird h = 2 und s = 10 eingegeben und das Programm gestartet. Das Ergebnis wird angezeigt (siehe rechts). Hier wird die Anzeige in Altgrad vom Programm vorgegeben, weil die Ausgabe dafür programmiert ist. F ist der Flächeninhalt des Segments und b ist die Bogenlänge.
Diese Anzeige durch Drücken einer beliebigen Taste verlassen!
Diese Werte stehen auch als Variablen zur Weiterverwendung zur Verfügung. Mit LOES löscht man diese Variablen.
Zum Beginn dieser Seite
Zur Beitragsübersicht
Copyright © 2002 Otto Praxl
Alle Rechte vorbehalten!
