Die Berechnung eines Flächeninhalts läßt sich in bekannter Weise unter Anwendung des Gaußschen Integralsatzes für die Ebene durchführen, dieser lautet in der allgemeinen Form:
(1)
Die Berechnung von Querschnittswerten
mit dem HP 49G,
ein Programm nicht nur für Statiker
Die Berechnung der Querschnittswerte ist ein Paradebeispiel für den Einsatz der Listenverarbeitung und der Vektorrechnung, die beim HP 49G (wie auch beim HP 48G) sehr viel Programmierarbeit sparen. In den Programmen kommt keine einzige programmierte Schleife vor.
Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.
Stabförmige Bauteile haben einen bestimmten Querschnitt. Bei der statischen Berechnung zur Bemessung solcher Bauteile braucht man die Querschnittswerte (auch Querschnittskennwerte genannt).
Unter Querschnittswerten versteht man
- die Lage des Schwerpunktes,
- die Querschnittsfläche und
- die Trägheitsmomente.
Für einfache Querschnittsformen sind die Werte aus Tabellen ablesbar oder mit einfachen Formeln schnell auszurechnen. Die Werte von kompliziert zusammengesetzten Querschnitten (z. B. Hohlkastenquerschnitte bei Brücken) dagegen können wegen der vielfältigen Formen nicht in Tabellen aufgelistet werden. Sie müssen für den jeweils vorliegenden Querschnitt separat berechnet werden. Dazu müssen die koordinatenmäßig festgelegten unregelmäßigen Umrißpolygone erfaßt und eingegeben werden. Daraus werden dann per Rechnerprogramm nach den Berechnungsformeln die Querschnittswerte berechnet.
Mit dem HP 49G ist es sehr einfach, solche Werte schnell zu berechnen, weil er Listenverarbeitung und Vektorrechnung unterstützt. Die Koordinaten der Umrißeckpunkte werden in ein Listenobjekt unter einem Variablennamen abgespeichert. Die Liste der Eingabewerte kann durch Eintippen über die HP 49G-Tastatur oder auch auf dem PC erzeugt und dann auf den HP 49G in eine Variable übernommen werden. Das Programm berechnet dann daraus die Querschnittswerte und zeigt den Querschnitt zusätzlich als geplottete Zeichnung auf dem Bildschirm des HP 49G.
In diesem Beitrag werden die Grundlagen und die Programmierung der Berechnung von Querschnittswerten dargestellt und fertige Programme zur Verfügung gestellt.
Dipl.-Ing. Hermann Fleßner hat in seiner Abhandlung "Ein Beitrag zur Ermittlung von Querschnittswerten mit Hilfe elektronischer Rechenanlagen" in der Zeitschrift Der Bauingenieur, Jahrgang 1962, Heft 4, ab Seite 146 ein Verfahren beschrieben und für Computeranwendungen aufbereitet, das auf dem Gaußschen Integralsatz für die Ebene aufbaut.
Hewlett Packard hat dieses Verfahren 1970 für die bautechnischen Programme des HP9100B verwendet. Der HP9100B war als Tischrechner konzipiert und darf als Vorläufer der späteren programmierbaren HP-Taschenrechner angesehen werden.
Das Verfahren nach Fleßner wird hier ausführlich beschrieben und durch eigene Hinweise ergänzt.
Das zum Herunterladen angebotene HP49G-Programmsystem QSW (siehe unten) für den HP 49G arbeitet nach diesem Verfahren.
| Theorie
ist, wenn man genau weiß wie es geht, und nichts
funktioniert. Praxis ist, wenn alles funktioniert, und man weiß nicht warum. |
Ein gewisses Maß an Theorie schadet der Praxis nicht, man soll ja auch bei der Anwendung des Programms verstehen, was man da berechnet und wie der HP 49G das macht.
Die Theorie der Flächenberechnung wird etwas ausführlicher behandelt, weil diese Formeln auch in der Geodäsie und in anderen Bereichen angewandt werden können.
Die Formeln für die anderen Querschnittswerte werden nicht hergeleitet, weil der professionelle Anwender (Statiker) ohnehin damit vertraut ist.
Nötigenfalls kann man in Lehrbüchern nachsehen (z. B. in "Baustatik Festigkeitslehre" von Schweda/Krings, 3. Auflage 2000, Werner Verlag, ISBN 3-8041-3462-9)
Querschnittswert
(Dimension)Bezeichnungen Bemerkung Koordinaten
(Länge1)[x, y], [xi , yi] Die Eckpunktkoordinaten werden als Vektoren der x,y-Ebene in einem beliebigen örtlichen Rechtssystem in eckigen Klammern dargestellt. Bei einem Umrißpolygon mit n Eckpunkten läuft die Punktreihenfolge i von 1 bis n . Querschnittsfläche, (Flächeninhalt, Flächengröße)
(Länge2)A , Ai Nach den heutigen Normen wird der Buchstabe A (von area) für den Flächeninhalt verwendet, bei Fleßner steht dafür noch der Buchstabe F, mit dem hier aber allgemein eine Funktion bezeichnet werden soll. Schwerpunktkoordinaten
(Länge1)[ xs , ys]
[ xsi , ysi]werden über Vektoren aus Querschnittsfläche und statischen Flächenmomenten berechnet Trägheitsmomente
(Länge4)Ix ,Iy ,
Ixs , Iys ,
Iu ,Ivbezogen auf das örtliche x,y-Koordinatensystem, auf die Schwerachsen x', y' des Querschnitts
und auf die Trägheits-Hauptachsen u, v.
Fleßner verwendet den Buchstaben J anstelle von I für die Trägheitsmomente.Zentrifugalmomente
(Deviationsmomente)
(Länge4)Ixy,
Ixys,
Iuvbezogen auf das örtliche x,y-Koordinatensystem, auf die Schwerachsen x', y' des Querschnitts
und auf die Trägheits-Hauptachsen u, v.
Fleßner verwendet den Buchstaben J anstelle von I für die Trägheitsmomente.Winkel
(° , Altgrad)ß Winkel zwischen Trägheits-Hauptachsen (u,v) und Schwerachsen x', y' des Querschnitts, positiv gegen den Uhrzeigersinn von Achse x' nach u.
Im Programm wird durch die Variablenbezeichnung ß° auf die Ausgabe in Altgrad hingewiesen.Trägheitsradius
(Länge1)ix , iy ,
iu , iv ,
iminDer für den Trägheitsradius übliche Buchstabe i ist beim HP 49G für die Konstante 'Wurzel aus (-1)' vergeben und dient auch als Laufvariable für die Eckpunkte.
Auf dem HP 49G wird für den Trägheitsradius deshalb zu i immer ein Index dazugesetzt.Umfang
(Länge1)U, Li Äußere Umrißlinie des Querschnitts, Länge einer Polygonseite Punkte P, S, Pi, Si Eckpunkte und Schwerpunkte Vektoren
[Länge1, Länge1]P, S, Pi, Si, Vektorbezeichnungen werden unterstrichen, weil in HTML die für Vektoren üblichen Überstreichungen, bzw. Frakturbuchstaben nur mit großem Aufwand möglich wären.
Die Ergebnisse sind von der gewählten Längenmaßeinheit unabhängig. Alle Eingaben (Vektorkomponenten als Längenmaß) müssen in derselben Maßeinheit erfolgen, dann sind auch die Ergebnisse (Flächen, Widerstandmomente, Trägheitsmomente usw.) auf diese Maßeinheit bezogen. In der obigen Tabelle ist die Dimension jeweils bei der Variablen angegeben.
Beispiele:
Maßeinheit [cm]
Ergebnis: Fläche [cm2], Widerstandsmomente [cm3], Trägheitsmomente [cm4]Maßeinheit Zoll [in]
Ergebnis: Fläche [in2], Widerstandsmomente [in3], Trägheitsmomente [in4]
Der Winkel ß zwischen Haupt- und Schwerachsen eines Querschnitts wird in Altgrad (Degrees, °) ausgegeben. Bogenmaß und Neugrad (Gon) sind in diesem Ingenieurbereich (Statiker) nicht üblich.
Die Berechnung eines Flächeninhalts läßt sich in bekannter Weise unter Anwendung des Gaußschen Integralsatzes für die Ebene durchführen, dieser lautet in der allgemeinen Form:
(B) ist hierbei ein beliebiger, einfach oder mehrfach zusammenhängender Bereich in der Ebene, der von einer stückweise glatten und einfachen Kurve (C) begrenzt ist (siehe untenstehende Skizze 1). Die Klammern bei (B) und (C) sollen andeuten, daß es sich hier um eine zusammenhängende Fläche bzw. geschlossene Linie handelt. Der Kreis in der Mitte des Integralzeichens zeigt an, daß entlang der geschlossenen Linie (C) integriert werden muß.
Setzt man
und
in Gleichung (1), dann ergibt sich für den Flächeninhalt des Bereiches (B) die Formel (2):
(2)
und nach einigen Umformungen die bekannte Beziehung
(3)
Der Bereich (B) wird hier "Querschnitt" und die geschlossene Linie (C) "Umrißlinie" genannt.
Wenn man eine durch eine geschlossene Linie (C) umgrenzte Fläche (B) gemäß nebenstehender Skizze 1 im mathematisch positiven Sinne (= linksherum = gegen den Uhrzeigersinn in einem Koordinaten-Rechtssystem) mit der Spitze eines an (C) entlang geführten Ortsvektors umfährt, dann ergibt sich nach Gleichung (3) ein positiver Flächeninhalt; bei Umfahrung im mathematisch negativen Umlaufsinn (= rechtsherum = also im Uhrzeigersinn) ergibt sich ein negativer Flächeninhalt.
Bei Figuren mit Aussparungen fährt man außen, beginnend bei einem beliebigen Anfangspunkt, linksherum, fährt dann auf einer Verbindungslinie (in der Skizze 1 gestrichelt dargestellt) nach innen, umfährt die innen liegende Aussparung rechtsherum (dadurch wird sie subtrahiert) und fährt auf derselben Verbindungslinie wieder nach außen und fährt dort linksherum bis zum Ausgangspunkt weiter.
Der Anfangspunkt muß zugleich der Endpunkt sein, die Lage dieses Punktes ist unwesentlich. Die Umrißlinie (einschließlich der in beiden Richtungen befahrenen Verbindungslinie) der in der Skizze 1 grün angelegten Fläche, die den Flächeninhalt A des Bereichs (B) darstellt, muß ein einziger geschlossener Linienzug sein. Man könnte in Skizze 1 (als Gedankenexperiment) die grüne Fläche an der gestrichelten Linie durchschneiden und auseinanderbiegen, die entstandene neue Form würde dann nur linksherum umfahren werden.
Die in beiden Richtungen befahrene (gestrichelte) Verbindungslinie in Skizze 1 darf nicht zur Linienkreuzung (ver)führen.
Die geschlossene Linie (C) darf nur eine einzige, evtl. über Verbindungslinien zusammenhängende Fläche umgrenzen, sie darf sich nicht selber schneiden, es dürfen keine Linienkreuzungen entstehen.
Beispiele: Durch die verbotene Umrißlinie der Skizze 2a entstünden negative Flächeninhalte außerhalb von positiven Flächeninhalten, die dem hier verfolgten Zweck der Berechnung von Querschnittsflächen nicht genügen würden. Ebenso ist die Umrißlinie in Skizze 2b nicht zulässig, weil dann der hellblaue Flächenteil doppelt berechnet würde.
Wird dagegen der innere Teil der Skizze 2b gegen die gezeigte Pfeilrichtung rechtsherum umfahren, dann ist der Querschnitt zulässig, weil es dann keine Linienkreuzung gibt und die Verbindungslinie zu einem einzigen Punkt (der dann kein Kreuzungspunkt mehr ist) zusammenschrumpft.
Merksatz:
Beim Umfahren eines Bereichs (B) entlang der Linie (C) muß das Innere der umfahrenen Fläche stets zur Linken liegen.
Dagegen sind mehrere negative Flächen, die ganz innerhalb von positiven Flächen liegen, zulässig. Z.B. sind mehrere nebeneinander oder ineinander liegende Aussparungen innerhalb einer geschlossenen äußeren Begrenzung zulässig (Hohlquerschnitte). Der Querschnitt in Skizze 3a ist zulässig, weil sich die Flächen mit einer einzigen zusammenhängenden Linie (C) (über die Verbindungslinien) umfahren lassen.
Die geschlossene Linie (C) darf sich zwar nicht selber schneiden, aber sie darf mit dem Abstand Null (als Verbindungslinie) parallel (sich selbst entgegen-)laufen. Auf diese Weise kann man zusammengesetzte Querschnitte erzeugen.
Skizze 3b zeigt einen so entstandenen Doppelquerschnitt, der aus zwei getrennten Teilquerschnitten besteht, der aber als ein Querschnitt berechnet werden soll. Die Pfeile zeigen den positiven Umlaufsinn der einzigen gemeinsamen geschlossenen Linie (C), die über die Verbindungslinien beide Figuren umläuft.
Merksatz: Auf einer (immer) in beiden Richtungen befahrenen Verbindungslinie herrscht
- innerhalb einer positiven Fläche Linksverkehr und
- außerhalb einer positiven Fläche Rechtsverkehr.
Ein Spurwechsel (Linienkreuzung) ist nicht zulässig.
Aus Gleichung (3) läßt sich auch die Wirkungsweise des Planimeters (Polarplanimeter, Kompensationspolarplanimeter) herleiten, das genau nach obiger Erläuterung durch Umfahren der Flächen funktioniert.
Früher saß der Autor manchmal tagelang am Planimetertisch und planimetrierte Querprofile, um die Flächeninhalte zu ermitteln. Jetzt im Zeitalter der Digitalisiertische, Digitalisiertabletts und Scanner ist das Planimeter kaum mehr bekannt. Heute wird digitalisiert oder gescannt und vektorisiert, das Planimeter hat ausgedient.
Die Gleichung (1) hat selbstverständlich auch für statische Momente und Trägheitsmomente von Flächen Gültigkeit, allerdings führt sie schon bei sehr einfachen Funktionen F(x,y) zu außerordentlich komplizierten Lösungen, so daß hier für das Taschenrechnerprogramm eine andere Möglichkeit gewählt werden muß.
In den meisten Fällen der Praxis kann die geschlossene Linie (C) der Skizze 1 durch abschnittsweise gerade Linien (Polygonzüge) gebildet werden. Die Querschnittsformen für die meisten zu berechnenden Querschnitte sind in der Praxis mit ausreichender Genauigkeit durch Polygonzüge darstellbar, wenn die Eckpunkte entsprechend dicht liegen. Die den Bereich (B) umschließende Randkurve (C) wird hierbei durch Geradenstücke gebildet, deren Endpunkte koordinatenmäßig festliegen. Für jedes Geradenstück kann ein Teilintegral gebildet werden, die Querschnittsfläche erhält man durch die Summierung der Teilintegrale.
Aufgrund der Geradenstücke des Polygonzugs können die Integrale durch Summierungen ersetzt werden.
Für n Eckpunkte eines geschlossenen Polygonzuges erhält man dann folgende Endformel zur Flächenberechnung, die auch in der Geodäsie angewendet wird:
(4)
.
Wichtige Hinweise zur praktischen Anwendung: Die Koordinaten der Punkte xi, yi sind in mathematisch positivem Umlaufsinn in Gleichung (4) einzusetzen.
Das heißt: Die Punktreihenfolge ist dabei so zu wählen, daß die Fläche beim Fortschreiten von i zu i+1 so umfahren wird, daß ihr Inneres zur Linken liegt, also im mathematisch positiven Sinn gegen den Uhrzeigersinn.Bei mehrfach zusammenhängenden Bereichen (Aussparungen) ist dabei die Fläche so zu umfahren, wie die Punktreihenfolge in Skizze 4 es zeigt.
Bei einem Polygon mit n Eckpunkten schließt die (letzte) Verbindungsgerade von Punkt n zum Punkt 1 (Anfangspunkt) den Polygonzug. Für die Berechnung der n Teilflächen sind n+1 Punkte erforderlich. Deshalb wird der Anfangspunkt für die Berechnung der n-ten Teilfläche vom Programm automatisch hinzugenommen.
i = n + 1 und i = 1 bezeichnen also denselben Punkt (Anfangspunkt = Endpunkt), da die Randlinie stets geschlossen ist. Bei i = n wird i + 1 = [(n + 1) modulo n] = 1.
Die Berechnung wird an den durch die Polygonseiten gegebenen dreieckförmigen Teilflächen vorgenommen. Dies sind die Dreiecke mit den drei Eckpunkten Pi, Pi+1 und dem Koordinatenursprung (0,0) (siehe Skizze 4a). Die auf diese Weise berechneten Werte der Teilflächen werden vorzeichenrichtig aufsummiert und ergeben die gesuchten Werte für die gesamte Querschnittsfläche.
Definition:
Die Vektoren vom Koordinatenursprung zu den jeweiligen Eckpunkten Pi erhalten die Bezeichnung Pi (Ortsvektoren [xi , yi] für die Indizes i von 1 bis n), wobei xi und yi die Komponenten des Vektors Pi sind.
Die runde Klammer in obiger Gleichung (4) enthält das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden benachbarten Ortsvektoren Pi und Pi+1 dar. Das Vektorprodukt ist ein Vektor, dessen halbe z-Komponente vorzeichenrichtig die Teilfläche Ai ergibt. Deshalb läßt sich Formel (4) auch in Vektorschreibweise darstellen:
(4a)
Die Formel (4a) berechnet die halbe Summe der Vektorprodukte als neuen Vektor, dessen z-Komponente vorzeichenrichtig die Querschnittsfläche A angibt.
Hinweise: Mit den Querschnitten wird ausschließlich in der x,y-Ebene gearbeitet, deshalb kann wegen zi = 0 die dritte Vektorkomponente weggelassen werden.
Abweichend von der Literatur wird hier x und y für die Querschnittsebene verwendet und z weist in Stablängsrichtung.Bei n-dimensionalen Vektoren auf dem HP 49G werden die n Vektorkomponenten in eckige Klammern [ ] geschrieben.
Da der HP 49G die Vektorrechnung voll unterstützt, werden hier Flächen, Schwerpunktlage und Längen der Polygonseiten über Vektoren ermittelt.
Die Länge Li der Polygonseite (in Skizze 4a) vom Punkt Pi zu Pi+1 ist der Betrag der Vektordifferenz der benachbarten Vektoren, also
Li = | Pi - Pi+1 |
Die Flächenberechnung nach Gauß läßt sich sehr anschaulich mit einer Animation der Umfahrung zeigen (Skizze 5 ):
Ein mit seiner Spitze entlang dem Polygonzug geführter Ortsvektor (Fahrstrahl = Strahl vom Koordinatenursprung zur Polygonlinie)
- färbt beim Fortschreiten von P1 über P2 bis zu P3 (linksherum um den Koordinatenursprung = positive Fläche) die überstrichene Fläche grün ein und
- radiert beim Zurückkehren von P3 über P4 bis zum Anfangspunkt P1 beim erneuten Überstreichen in der anderen Richtung (rechtsherum um den Koordinatenursprung = negative Fläche) den außerhalb der Figur liegenden Teil der vorher überstrichenen Fläche wieder aus.
Dieser Vektor (Fahrstrahl) wird in der Animation als sich bewegender linker Rand der grünen Fläche dargestellt.
Da der Polygonzug geschlossen ist und der Fahrstrahl dadurch wieder in seine Ausgangslage zurückkehren muß, ist die Summe der Winkel, die er überstreicht, gleich Null. Dadurch werden die außerhalb des Polygonzugs liegenden (manchmal mehrfach) überstrichenen Flächen wieder ausradiert. Deshalb ist es unerheblich, wo der Koordinatenursprung liegt, es kann ein beliebiges örtliches Koordinatensystem verwendet werden.
Übrig bleibt die vom geschlossenen Polygonzug eingeschlossene Fläche. Aus der unterschiedlichen Länge der Vektoren beim Umfahren der Fläche von P1 zu P2 zu P3 zu P4 und wieder zu P1 in Skizze 5 ergibt sich der Flächeninhalt als Differenz zwischen den zuerst gefärbten und wieder ausradierten Teilen (in der Animation grün blinkend dargestellt).
Der Vektor Si zum Schwerpunkt Si der Teilfläche Ai (in Skizze 4a)
ist ein Drittel des Summenvektors Pi + Pi+1, also
Si = [xsi , ysi] = (Pi + Pi+1)/3 = [(xi + xi+1)/3, (yi + yi+1)/3] Die Lage des Querschnitt-Schwerpunkts ergibt sich aus der Summe der statischen Momente der Teilflächen, dividiert durch die Querschnittsfläche A. Dies läßt sich sehr gut über Vektoren berechnen:
(5)
Der Vektor S = [xs, ys] zeigt zum Schwerpunkt der Querschnittsfläche A,
xs ist der Abstand des Schwerpunkts von der x-Achse und ys ist der Abstand von der y-Achse.
Trägheitsmomente (auch Flächenmomente zweiter Ordnung genannt) sind meist auf Querschnittsachsen bezogen. Diese gehen durch den Schwerpunkt. Deshalb nennt man sie auch Schwerachsen. Am gebräuchlichsten sind die Trägheitsmomente, die sich auf die Schwerachsen x', y' des Querschnitts beziehen, die parallel zu den Achsen x und y des verwendeten Koordinatensystems liegen.
Trägheitsmomente können aber auch auf andere Achsen bezogen werden, die nicht Schwerachsen sind.
Bei unregelmäßigen Querschnittsformen sind außer den Schwerachsen x', y' auch noch die Hauptachsen interessant. Für diese sind die Trägheitsmomente Extremwerte (Maximum, Minimum).
1. Schritt
Zuerst müssen die Trägheitsmomente Ix, Iy und das Zentrifugalmoment Ixy (Deviationsmoment) im gewählten örtlichen Koordinatensystem berechnet werden, auf das sich auch die Koordinatenwerte der Eckpunkte des Querschnitts beziehen.
Die Formeln werden ohne Herleitung angegeben (die eckigen Klammern in den Formeln haben nichts mit Vektoren zu tun, sie dienen nur der klareren Darstellung):
Formeln (6a):
Während Ix und Iy nur positive Werte haben können, kann Ixy positiv oder negativ sein, je nach Lage der Teilflächen im örtlichen Koordinatensystem.
Die Ergebnisse aus (6a) sind nur Hilfswerte zur Berechnung der endgültigen, auf die Schwerachsen x, y bezogenen Werte (siehe Skizze 6).
2. Schritt
Als zweiter Schritt erfolgt die Berechnung der axialen Trägheitsmomente Ixs, und Iys und des Zentrifugalmoments Ixys für die Schwerachsen x', y' des Querschnitts (in Skizze 6 strichpunktiert) nach dem (umgestellten) Steinerschen Satz aus den Ergebnissen der Formeln (5) und (6a):
(6b)
Für symmetrische Querschnitte sind die Schwerachsen wegen Ixys = 0 zugleich auch die Hauptachsen des Querschnitts. Die mit den Formeln (6b) berechneten Trägheitsmomente Ixs und Iys sind dann bereits die Extremwerte.
Für Querschnitte, die nicht zu einer oder beiden Schwerachsen x', y' symmetrisch sind, ist dasjenige orthogonale Achsenpaar (Hauptachsen) zu berechnen, für das die Trägheitsmomente Extremwerte annehmen.
Mit den Trägheitsmomenten Ixs, Iys und dem Zentrifugalmoment Ixys der Formeln (6b) kann der Winkel ß ausgerechnet werden, wobei die Drehrichtung des Winkels von den Schwerachsen x', y' zu den Hauptachsen, u und v genannt, gegen den Uhrzeigersinn positiv gerechnet wird (siehe Skizze 7).
(7)
Bei Ixys = 0 ergibt sich definitionsgemäß Iu = Ixs und Iv = Iys (für symmetrische Querschnitte).
Bei unsymmetrisch zu den Schwerachsen x', y' liegenden Querschnitten kann Ixs = Iys , also Iys-Ixs=0 sein. In diesem Fall ergibt sich für tan(2ß) der Wert "unendlich". Dies entspricht ß = 45°.
Dieser Fall führt beim Rechner wegen der Division durch Null zu einer Fehlermeldung. Deshalb muß vorher eine Prüfung auf Iys-Ixs=0 erfolgen. Beim HP49G genügt es, die Flags für "Underflow", "Overflow" and "Infinite" richtig einzustellen, dann wird der Fehler toleriert und für "unendlich" der Wert ±9E499 gesetzt.
Merksätze
zur Nachprüfung der Werte:Ein auf eine Schwerachse bezogenes Trägheitsmoment eines Querschnitts ist immer kleiner als das Trägheitsmoment, das sich auf eine zu dieser Schwerachse parallele Achse bezieht (folgt zwingend aus den Gleichungen 6b)
Die Summe der beiden Trägheitsmomente ist für jedes orthogonale Schwerachsenpaar desselben Querschnitts immer gleich. Z. B. gilt: Ixs + Iys = Iu + Iv (folgt aus Gleichungen 7).
Während Ixs und Iys nur positive Werte haben können, kann Ixys positiv oder negativ sein. Ixys=0, wenn mindestens eine der senkrecht aufeinander stehenden Schwerachsen x', y' eine Symmetrieachse ist.
Für Stabilitätsberechnungen von schlanken Bauteilen (Stützen) braucht man den Trägheitsradius i, um den Schlankheitswert berechnen zu können. Theoretisch gibt es eine Trägheitsellipse für den Querschnitt. Jedem Trägheitsmoment ist ein entsprechender Trägheitsradius nach folgenden Formeln zugeordnet:
ix2 = Ix / A,
iy2 = Iy / A,
iu2 = Iu / A,
iv2 = Iv / A.Für den Statiker ist aber nur der minimale Absolutwert des Trägheitsradius interessant, der sich aus dem minimalen Trägheitsmoment ergibt:
(8)
Auf dem HP 49G ist die Bezeichnung i schon mit der imaginären Konstanten "Wurzel aus (-1)" belegt. Deshalb wird für den Trägheitsradius auf dem HP 49G die Variablenbezeichnung mit Index (also imin) verwendet.
Die Widerstandsmomente sind auf den jeweiligen Eckpunkt oder auf eine zu einer Biegeachse parallelen Kante des Querschnitts bezogen. Sie werden berechnet aus dem Trägheitsmoment, dividiert durch den jeweiligen Punktabstand von der zugeordneten Biegeachse (Schwerachse).
In der Praxis wird für Spannungsberechnungen das auf eine Biegeachse bezogene minimale Widerstandsmoment des Querschnitts verwendet, das sich aus dem Trägheitsmoment I der zugeordneten Biegeachse, dividiert durch den maximalen Abstand amax eines Eckpunktes oder einer Kante von dieser Biegeachse, ergibt.
Wmin = I / |amax|
Da das Widerstandmoment kein für den ganzen Querschnitt gültiger Kennwert ist, sondern vom jeweils betrachteten Randpunkt des Querschnitts abhängt, wird hier auf eine Programmierung verzichtet.
1. Neuanlegen der Variablen POLYGON
Als Variablenname für die Liste mit den Koordinaten wird POLYGON gewählt.
Diese Variable enthält nach korrekter Eingabe die n Koordinatenpaare als Vektoren für n Polygonpunkte.Mit dem Programm CPOLY (Create Polygon) wird eine leere Liste in POLYGON erzeugt:
« {} 'POLYGON' STO »
Damit werden alte Inhalte von POLYGON gelöscht. Gegebenenfalls sind diese Inhalte vorher zu sichern.
2. Füllen der Variablen POLYGON mit Koordinatenwerten
Die Eingabe für ein Koordinatenpaar als Vektor erfolgt mit dem Programm KOOIN:
« ->V2 POLYGON SWAP + 'POLYGON' STO » Die Werte für x und y werden in den Stack eingegeben und dann wird KOOIN aufgerufen.
Dieses Programm wandelt diese Werte in einen Vektor um, und hängt ihn an die bestehende Liste POLYGON an. Man kann die Eingabe jederzeit unterbrechen und später weitere Vektoren anhängen. Diese Liste kann auch jederzeit editiert (korrigiert) werden.Wenn die n Koordinatenpaare für das Polygon eingegeben worden sind, ist die korrekte Eingabe fertig. Auf Plausibilitätsprüfungen wurde aufgrund der Einfachheit der Eingabe verzichtet.
Achtung:
Die Variable POLYGON muß existieren und mindestens 3 Vektoren enthalten, sonst weigert sich später das Berechnungsprogramm, die Berechnung durchzuführen.Es muß also mindestens ein Dreieck existieren.
Beispiel:
Eingabe der Koordinaten in eine Liste für den Querschnitt der Skizze 7:Das ist die Tastenfolge
für die korrekte Eingabe des gesamten Polygons mit 9 Polygon-Eckpunkten: Der Einfachheit halber werden nur ganzzahlige Koordinatenwerte gewählt.
[CPOLY] 3. [SPC] 5. [KOOIN] 2. [SPC] 4. [KOOIN] 3. [SPC] 2. [KOOIN] 8. [SPC] 3. [KOOIN] 13. [SPC] 2. [KOOIN] hier könnte man z.B. unterbrechen und später weitermachen mit
16. [SPC] 10. [KOOIN] 13. [SPC] 9. [KOOIN] 11. [SPC] 5. [KOOIN] 10. [SPC] 6. [KOOIN] Fertig!
Die Liste in POLYGON muß nun so aussehen:
{[3. 5.] [2. 4.] [3. 2.] [8. 3.] [13. 2.] [16. 10.] [13. 9.] [11. 5.] [10. 6.]}
Die Variable POLYGON enthält die Koordinaten für die Polygon-Eckpunkte aus der vorangegangenen Eingabe. Das Flächenberechnungsprogramm für die Querschnittsfläche A ist dann sehr einfach.
« POLYGON DUP HEAD + 2. « CROSS 2. / » DOSUBS « + » STREAM V-> + + » Das Programm liest die Liste und hängt noch den ersten Punkt an die Liste an. Auf diese Weise wird das Polygon immer geschlossen. Dann berechnet das Programm den Flächeninhalt und stellt das Ergebnis als Zahl (für obiges Beispiel den Wert 45) in den Stack.
Einfacher geht's vermutlich nicht mehr: Schleifenprogrammierung entfällt. Mit lediglich zwei Vektor-Befehlen CROSS und V-> und zwei Listenbefehlen DOSUBS und STREAM wird die Berechnung durchgeführt.
Folgende Teilprogramme werden später in das Berechnungsprogramm CALC eingebunden und dort eventuell zusammengefaßt. Sie werden hier wegen des besseren Verständnisses aber getrennt erläutert. Die in diesen Teilprogrammen rot markierten Befehle fallen beim Gesamtprogramm weg, weil dort der Stack die Zwischenspeicherung übernimmt.
1. Erzeugung einer Liste der n Teilflächen Ai und der Fläche A
« POLYGON DUP HEAD + 2. « CROSS 2. / » DOSUBS » 1 « V-> + + » DOLIST
DUP 'Ai' STO « + » STREAM 'A' STO »Beide Ergebnisse werden für spätere Verwendung in die Variablen Ai und A gespeichert (in CALC verbleibt Ai im Stack).
2. Erzeugung einer Liste mit n Schwerpunktsvektoren Si :
« POLYGON DUP HEAD + 2. « + 3. / » DOSUBS 'Si' STO » Das Ergebnis ist eine Liste der Schwerpunktkoordinaten der Teilflächen, sie wird in die Variable Si gespeichert (in CALC verbleibt sie im Stack)
3. Berechnung des Vektors zum Schwerpunkt des Querschnitts
« Ai Si « * » DOLIST « + » STREAM A / V-> 'ys' STO 'xs' STO {Ai Si} PURGE » Durch elementweises Multiplizieren beider Listen aus Ai und Si, also Ai · Si , und anschließendes Aufsummieren dieser Teilprodukte entsteht das statische Moment des Gesamtquerschnitts, das durch durch A geteilt wird. Die Komponenten dieses berechneten Vektors [xs , ys] werden in die Variablen xs und ys gespeichert.
Für die Berechnung der Trägheitsmomente liegen aus obigen Teilprogrammen bereits die Werte A, xs und ys als Ergebnisse vor. Diese Teilprogramme werden in CALC zusammengefaßt und die restlichen Berechnungen, hinzugenommen:
- Werte für Ix, Iy und Ixy nach den Formeln (6a),
- Trägheitsmomente Ixs, Iys und Ixys für die Schwerachsen x, y nach den Formeln (6b),
- Ermittlung der Trägheitsmomente Iu, Iv und Iuv und den Winkel ß der Hauptachsen u, v nach den Formeln (7)
- Berechnung des Trägheitsradius i
CALC berechnet folgende Ergebnisse und gibt sie in Variablen aus:
Variablename
auf dem HP 49GErgebnisse A Querschnittsfläche xs, ys Schwerpunktabstand von den Achsen x und y Ix Trägheitsmoment bezogen auf die x-Achse Iy Trägheitsmoment bezogen auf die y-Achse Ixy Zentrifugalmoment bezogen auf den Koordinatenursprung Ixs Trägheitsmoment bezogen auf die Schwerachse x' des Querschnitts Iys Trägheitsmoment bezogen auf die Schwerachse y' des Querschnitts Ixys Zentrifugalmoment bezogen auf den Schwerpunkt des Querschnitts Iu Trägheitsmoment bezogen auf die Hauptachse u des Querschnitts Iv Trägheitsmoment bezogen auf die Hauptachse v des Querschnitts ß° Winkel in Altgrad (°) zwischen Hauptachse u und Schwerachse x'
(positiv = gegen den Uhrzeigersinn)imin minimaler Trägheitsradius
Das Programm QPLOT plottet den Querschnitt, dessen Koordinaten in POLYGON gespeichert sind. Dabei wird automatisch "skaliert", das heißt, die Größe der Zeichnung wird automatisch so angepaßt, daß der gesamte Querschnitt auf den LCD-Bildschirm paßt. Dies ist unabhängig von der gewählten Längeneinheit und der Größenordnung der Koordinaten.
Auf die Darstellung der Hauptachsen und des Schwerpunkts wurde verzichtet, weil dann vor dem Plotten die Berechnung durchgeführt sein müßte. Das Plottprogramm soll aber bereits bei der Koordinateneingabe, wenn noch keine berechneten Werte vorliegen, eine Sichtprüfung des Querschnitts ermöglichen.
Beim Plottprogramm zeigt sich der besondere Vorteil von Vektoren in Listen. Es ist keine programmierte Schleife notwendig.
Hinweis:
Die geplottete Figur zeigt alle Linien, also auch die Verbindungslinien der zusammengesetzten Querschnitte. Ändert man in QPLOT den Befehl LINE in TLINE, so werden die Verbindungslinien nicht geplottet.
TLINE kehrt jedes Pixel um (aus schwarz wird weiß und umgekehrt). Wird eine Linie bzw. ein Pixel ein zweites Mal gezeichnet, dann wird sie bzw. es ausgelöscht, das ist bei den Verbindungslinien der Fall. Eine unschöne Begleiterscheinung von TLINE ist, daß der Befehl auch die Eckpunkt-Pixel unterdrückt, weil der Endpunkt der einen Linie der Anfangspunkt der nachfolgenden Linie ist und dadurch zweimal gezeichnet wird.
Für die Berechnung des Umfangs wird kein Programm zum Herunterladen angeboten, weil die Möglichkeiten zu vielfältig sind, welche Teillängen berechnet werden sollen. Hier wird nur der Programmieransatz gegeben, wie man Längen rechnet.
Man stellt zuerst mit den Vektoren der Punkte eines offenen oder geschlossenen Streckenzugs eine Liste STRZUG her, dessen Länge man berechnen möchte. In der Liste muß der Anfangspunkt und der Schlußpunkt enthalten sein.
Achtung:
Wenn man für einen durch die Variable POLYGON gegebenen Querschnitt den Umfang rechnen will, also die Länge der geschlossenen Umfahrungslinie, dann muß man in die schon dafür vorhandene Liste in POLYGON (ohne Schlußpunkt) am Schluß noch den Anfangspunkt von Hand oder durch das Programm
« POLYGON DUP HEAD + 'STRZUG' STO »
anfügen, dann kann man das untenstehende Programm für den Streckenzug darauf anwenden.Dabei ist zu beachten, daß bei zusammengesetzten Querschnitten auch die Längen der Verbindungslinen (doppelt) addiert werden.
« STRZUG 2. « - ABS » DOSUBS « + » STREAM »
In der Liste STRZUG sind alle gewünschten Eckpunkte einschließlich Anfangs- und Endpunkt enthalten. Das Programm berechnet für jede Teilstrecke die Kantenlänge von Punkt Pi nach Pi+1 durch Vektorsubtraktion. Der Betrag der Vektordifferenz ist der Abstand der beiden Punkte Pi und Pi+1. DOSUBS liefert eine Liste von (n-1) Einzellängen (weil zwischen n Punkten (n-1) Zwischenräume sind), die mit STREAM aufaddiert werden. Damit hat man die Gesamtlänge des Streckenzugs von Punkt P1 bis Punkt Pn.
Die Bezeichnung QSW bedeutet QuerSchnittsWerte. Die Version 2.0 des QSW-Programmsystems wird zur Verfügung gestellt:
- QSWDIR als Verzeichnis
Kenndaten QSWDIR Typ: HP49G-Directory (DIR)
Quellcode in UserRPLFormat: ASCII Größe auf dem HP 49G: 4274 Bytes Checksum: #43512d Alle Programme sind komplett in der Benutzer-Programmiersprache des HP 49G (UserRPL) geschrieben und können von den Anwendern beliebig angepaßt werden. Es sind keine zusätzlichen externen Bibliotheken oder Programme nötig.
Die Programme sichern die ursprünglichen Flageinstellungen des HP 49G mit RCLF und stellen dann folgende Flags richtig ein:
Systemflag Wert Bedeutung -2 1 Zahlenauswertung bei Konstanten -3 1 Zahlenauswertung bei Funktionen -19 0 ->V2 erstellt Vektor -20 0 Fehlertolerierung Unterlauf -21 0 Fehlertolerierung Überlauf -22 1 Unendlich = ±MAXR, Division durch Null wird toleriert,
Null durch Null wird nicht toleriert, weil unbestimmt.-31 0 Linienplott -90 1 Minifont für CHOOSE -95 0 RPN -103 1 Complex-Modus -105 1 Näherungsmodus (reelle Zahlen) DEG Winkel auf Altgrad [°] einstellen RECT rechtwinkelige Koordinaten xyz einstellen DEC dezimale Binärdarstellung #...d auswählen
Nach Programmlauf werden die ursprünglichen Flags wieder zurückgespeichert.
QSWDIR enthält die in der folgenden Tabelle angegebenen Menüpunkte und Variablen.
Menüpunkt oder
Variablen-BezeichnungFunktion(en) CPOLY Anlegen (Create) einer neuen Variablen POLYGON KOOIN Eingabe der Koordinatenwerte in POLYGON AREA berechnet nur die Gesamtfläche aus POLYGON CALC Ermittlung aller Querschnittswerte RESULTS zeigt die Ergebnisse in einem Auswahlmenü an. QPLOT plottet die Querschnittsform aus POLYGON
Nebenstehender Bildschirmabzug zeigt das Menü, wie es im QSWDIR-Verzeichnis angezeigt wird.
[CPOLY] erzeugt ein leere Liste und speichert sie in der Variablen POLYGON ab. Dieser Befehl überschreibt auch ohne Rückfrage eine bestehende Variable POLYGON.
Mit [KOOIN] kann ein Polygon-Eckpunkt x, y als Vektor eingegeben werden. Bei n Eckpunkten muß man n-mal die jeweiligen Werte für x,y in den Stack stellen und KOOIN aufrufen.
[CPOPY] und [KOOIN] sind oben in einem Beispiel erläutert.
Aus obigem Beispiel ist bereits eine Liste mit Vektoren in der Variablen POLYGON abgespeichert, die sich auf den Querschnitt in Skizze 7 bezieht.
{[3. 5.] [2. 4.] [3. 2.] [8. 3.] [13. 2.] [16. 10.] [13. 9.] [11. 5.] [10. 6.]}
Die Menüpunkte [AREA] [CALC], [RESULTS] und [QPLOT] enthalten einige wenige Plausibilitätsprüfungen und liefern Fehlermeldungen. Für die Berechnungen mit diesen Programmen muß die Variable POLYGON im Zugriffspfad existieren und mindestens drei Vektoren enthalten, sonst erfolgt Programmabbruch mit entsprechender Fehlermeldung. Der Aufruf des Menüpunktes [AREA] startet die Flächenberechnung des Querschnitts. Es wird nur der Flächeninhalt A berechnet. Das Ergebnis wird als Zahl in den Stack gestellt, aber keine Variable erzeugt.
[CALC] berechnet die 13 Ergebnisvariablen und stellt den Menüpunkt [DEL] an den Anfang des Menüs, mit dem man diese Variablen (und auch [DEL] selbst) mit einem Tastendruck löschen kann. Das Bild rechts zeigt die erste Menüseite mit [DEL] und den fünf ersten Variablen.
Der Menüpunkt [RESULTS] zeigt die Ergebnisse zusammengefaßt als CHOOSE-Menü, bei dem man auf und ab scrollen kann. Damit stehen alle Ergebnisse übersichtlich zur Verfügung hat. Die Anzahl der Kommastellen kann man (vor der Anzeige) mit FIX einstellen oder die volle Genauigkeit mit STD wählen. Mit OK kann die vollständige Zeile in den Stack übernommen werden. Der Wert wird als "tagged object" angegeben, also in der Form NAME:WERT. Die Markierung NAME: kann mit dem Systembefehl DTAG (engl.: delete TAG) vom Stack entfernt werden, so daß nur der Wert stehen bleibt. Derselbe Wert steht aber auch in der gleichnamigen Variablen zur Weiterverwendung zur Verfügung.
Der Menüpunkt [QPLOT] zeichnet die Querschnittsform auf den Bildschirm. Das Bild steht in PICT (siehe Beitrag "Grafik auf dem HP 49G") und kann ebenfalls weiterbearbeitet werden. Mit der [ON] verläßt man die Bildanzeige und kehrt zur normalen Stackanzeige zurück. Das Bild rechts zeigt die Form des Beispiels aus Skizze 7.
Das Verfahren zur Flächenberechnung kann auch in der Geodäsie und vielen anderen Bereichen Anwendung finden, deshalb wurde AREA als separater Menüpunkt eingebaut.
Das beschriebene Verfahren zur Berechnung der Trägheitsmomente gilt nur für Querschnitte, die aus einem einheitlichen Material aufgebaut sind.
Bestehen Querschnitte aus mehreren verschiedenen Materialien (z. B. Beton mit Betonstahl oder Spannstahl, Verbundträger aus Beton und Stahlprofilen, Holz mit Stahl), ist das angegebene Verfahren zu modifizieren. Die Berechnungsformeln müssen dann entsprechend ergänzt bzw. geändert werden. Sind die verschiedenen Materialien unverschieblich miteinander verbunden und werden sie nur im elastischen Bereich beansprucht, dann können ideelle Querschnittswerte ermittelt und der Berechnung zugrunde gelegt werden. Dabei wird der Unterschied im elastischen Verhalten der verschiedenen Materialien durch ihre Elastizitätsmoduln (E1, E2, ...) oder ihre Verhältnisse zueinander berücksichtigt.
Berechnungen für teilweise gerissene Querschnitte (Zugzone bei Stahlbeton) oder für plastische Materialien können nicht mit den Programmen QSW durchgeführt werden. Hier muß der Statiker die Anwendbarkeit selber prüfen.
Für den HP 49G gibt es ein Programm SECCION für die Ermittlung von Querschnittswerten unter http://www.hpcalc.org/hp49/science/civil/seccion.zip von Edwin Córdoba in spanischer Sprache.
Es wird als 11 445 Byte große Library (LIB ID 1198) und mit spanischer Dokumentation angeboten.
Nach Aufruf der LIB startet man mit [SECC], im nächsten Menü nimmt man Menüpunkt 1 und im weiteren Menü dann Menüpunkt 2. Nach der Aufforderung "Entre Lista de Puntos:" kann man beliebig viele Koordinatenpaare {(X1,Y1)(X2,Y2 )(X3,Y3)......}eingeben.
Zum Test wurde wieder der Querschnitt nach Skizze 7 verwendet. Nach der Eingabe der Werte kamen nach einigen grafischen Raffinessen und nach mehreren [ENTER] die Ergebnisse (Querschnittswerte). Diese sind jedem Fachmann (Statiker) auch ohne Spanischkenntnisse verständlich (der Autor kann auch nicht spanisch und hat's trotzdem verstanden!) .
Für den HP 48 gibt es unter http://www.hpcalc.org/hp48/science/civil/area.zip ein Programm in spanischer Sprache, das den Flächeninhalt berechnet und den Flächenumriß plottet. Es läuft auch auf dem HP 49G.
Dieses Programm Area von Gregorio Muñoz Carreño fragt die Anzahl n der Eckpunkte im laufenden Programm ab, d. h. es fordert über INPUT n-mal die "Ost"- und "Nord"-Werte der Koordinaten an, und berechnet dann die Fläche, die über eine MSGBOX und auf dem Stack ausgegeben wird. Auf die Frage ob geplottet werden soll, kann man mit "SI" den Plottvorgang starten.
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