Satellitenpeilung

zu geostationären Satelliten
von der Nordhalbkugel aus

Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.

Inhalt

Einführung

Berechnung der Satellitenbahn

Wo befindet sich der Satellit?

Umlaufszeit T

Bahnradius R

Position des Satelliten (Längengrad)

Ausrichtung der Satellitenantenne (Peilung)

Berechnung von Azimut und Elevation

Sphärisches Dreieck

Ebenes Dreieck

Variablen

Formeln

Berechnungsbeispiel

Sichtbarkeit der Satelliten

Längengrad (Grenzwinkel)

Breitengrad (Grenzwinkel)

Gesamtsichtbarkeit (Strahlungskegel)

Raumwinkel

Programm SAT zum Herunterladen

Schlußbemerkung

Zur Beitragsübersicht

Einführung

Die meisten Fernsehprogramme werden auch über geostationäre Satelliten (Synchronsatelliten) ausgestrahlt. "Geostationär" heißt, daß der Satellit mit der Erdrotation synchron umläuft, so als ob er an der Spitze einer langen starren Stange über dem Äquator befestigt wäre.

Um den Parabolspiegel (auch "Satellitenschüssel" genannt) einer Empfangsantenne genau auf den Satelliten ausrichten zu können, braucht man die genauen Richtungsdaten (Koordinaten) zur Anpeilung. Zur Berechnung dieser Daten ist die Kenntnis des Ortes erforderlich, an dem sich der Satellit befindet. Die geografischen Koordinaten (Längengrad , Breitengrad ) des Antennenstandorts müssen selbstverständlich auch bekannt sein.

Der Autor setzt beim Leser die Kenntnis der ebenen und sphärischen Trigonometrie voraus. Falls nötig, kann der Leser in den mathematischen Handbüchern (z. B. Bronstein/Semendjajew, "Taschenbuch der Mathematik", ISBN 3-87144-492-8) nachschlagen.

Berechnung der Satellitenbahn

Wo befindet sich der Satellit?

Der geostationäre Satellit befindet sich genau über dem Äquator (in Äquatorebene). Es genügt die Angabe des Längengrades. So befinden sich zum Beispiel die Fernsehsatelliten der ASTRA-Gruppe auf 19.2 ° Ost.

Die Frage ist nur, wie hoch über dem Äquator der Satellit "befestigt" ist. Der Radius der kreisförmigen Umlaufbahn muß bekannt sein. Diese läßt sich mit einfachen Mitteln berechnen.

Umlaufszeit T

Eine volle Erdumdrehung um 360° und damit die Umlaufszeit T eines geostationären Satelliten beträgt genau einen Sterntag. Das ist die Zeit, die nach Anpeilen eines Fixsterns vergeht, bis dieser wieder an derselben Stelle erscheint.

Die Länge eines Sterntages beruht auf der Tatsache, daß die Erde sich in einem (tropischen) Jahr von 365.242198781 Tagen genau 366.242198781-mal um die eigene Achse dreht:

1 Sterntag = 24 · 365.242198781 / 366.242198781= 23.9344695939 Stunden = 86164.090538 Sekunden= 23h56m4.1s. 365.242198781 Sonnentage zu 24 Stunden entsprechen 366.242198781 Sterntagen zu 23h56m4.1s

Bahnradius R

Die Satellitenbahn muß eine exakte Kreisbahn in der Äquatorebene der Erde sein. Die Bahn des Satelliten um die Erde wird durch Zentrifugalkraft F_Z des Satelliten bestimmt, die durch die entgegenwirkende Gravitationskraft F_G gehalten werden muß. Für eine bestimmte Umlaufgeschwindigkeit ergibt sich ein ganz bestimmter Bahnradius.

Vereinfachungen

Für die nachfolgende Berechnung werden nur die beiden Körper Erde und Satellit berücksichtigt und alle sonstigen Einflüsse (Mond, Sonne) auf die Satellitenbahn vernachlässigt. Außerdem wird vorausgesetzt, daß die in die Berechnung eingehenden Größen zeitlich und örtlich nicht veränderlich sind. Da die Masse des Satelliten verschwindend klein gegenüber der Masse der Erde ist, wird vernachlässigt, daß die beiden Massen um einen gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Es wird vereinfachend angenommen, daß der Satellit um den Mittelpunkt der Erde kreist (Einkörperproblem). Die Erde wird als Kugel ohne Abplattung angenommen.

Da die Vereinfachungen nur unbedeutende Fehler gegenüber der genauen Berechung eines Zweikörperproblems darstellen, können einfache Formeln verwendet werden.

Formelvariablen
Satellit:	m	Masse des Satelliten (wird nicht gebraucht)
	T = 86164.090538 s	Umlaufszeit des Satelliten
	R	Radius der Umlaufbahn (wird berechnet)
	v	Umlaufgeschwindigkeit (ergibt sich indirekt)
Erde:	M = 5.973 ·1027 g	Masse der Erde
	r = 6378.137 km	Radius am Äquator
	r = 6371.009 km	mittlerer Radius am Antennenstandort
Gravitation:	G = 6.67259 ·10-8 cm3g-1s-2	Gravitationskonstante

Formel für die Fliehkraft (Zentrifugalkraft):

Formel für die Anziehungskraft (Gravitation):

Aus dem Gleichsetzen der beiden Kräfte F_Z = F_G und nach Umstellen der Gleichung ergibt sich der Radius R der Umlaufbahn:

Wie man sieht, fällt die Masse m des Satelliten durch Kürzen heraus, sie muß also nicht bekannt sein.

Ganz nebenbei wurde hier das 3. Keplersche Gesetz abgeleitet, wonach die zweite Potenz der Umlaufszeit zur dritten Potenz des Bahnradius in einem konstanten Verhältnis steht.

Nun sind alle Werte bekannt, die in die oben abgeleitete Formel für den Radius R der Satellitenbahn eingesetzt werden müssen.

Der Bahnradius R beträgt aufgerundet 42162.525 km.

Der Radius der wirklichen Satellitenbahn kann von diesem theoretischen Wert abweichen, weil die Masse der Erde M und auch die Gravitationskonstante G für die Berechnung nicht genau genug sind. Die vielen Kommastellen im Ergebnis täuschen eine Genauigkeit vor, die nicht vorhanden ist. Kleine Abweichungen in den Werten können den Radius um einige Kilometer verändern. Auch die Störungen von Sonne und Mond machen sich bemerkbar. In der Wirklichkeit wird die genaue Position solange vermessen und nachjustiert, bis sie stimmt. Sie muß im Laufe der Zeit immer wieder korrigiert werden.

Das Verhältnis r/R = 6371.009 / 42162.525 = 0.151105964361 des (mittleren) Erdradius r am Antennenstandort zum Bahnradius R des Satelliten ist für die weitere Berechnung von Bedeutung.

Der Abstand eines geostationären Satelliten von der Erdoberfläche am Äquator (r = 6378.137 km) beträgt:
R - r = 42162.525 - 6378.137 = 35784.388 km.

Position des Satelliten (Längengrad)

Da alle Synchronsatelliten auf der gleichen Kreislinie (geostationäre Satellitenbahn) mit R = 42162.525 km "befestigt" sind, genügt es, den Längengrad anzugeben, über dem sich der anzupeilende Satellit befindet.

Außer Fernsehsatelliten tummeln sich auf der geostationären Bahn noch viele andere Satelliten (Fernmeldesatelliten, Militärsatelliten, Wettersatelliten, Relaissatelliten, Forschungssatelliten, usw.), so daß es ein ziemliches Gedränge dort gibt. Der Vorteil dieser Bahn liegt darin, daß Antennenanlagen auf der Erde fest montiert und justiert werden können, während für Antennen zu umlaufenden Satelliten ein Nachführsystem installiert werden muß.

Die Positionen und Frequenzen der Satelliten sind in Listen zusammengestellt, die ansatzweise im Videotext der Fernsehsender und im Internet veröffentlicht sind. Siehe Auszug aus der Liste der Synchronsatelliten (Angaben ohne Gewähr).

Ausrichtung der Satellitenantenne (Peilung)

Wenn Bahnradius und Position des Satelliten bekannt sind, können die Winkel für die Peilung berechnet werden. Die zu berechnenden Richtungsdaten bestehen aus dem

Höhenwinkel = Elevation und dem
waagrechten Richtungswinkel = Azimut ,

beide bezogen auf die Horizontebene des Standorts. Die Neigung der Horizontebene hängt von der geografischen Breite des Standorts ab.

Bild 1 zeigt einen Schnitt durch den Mittelpunkt M der Erde in der Meridianebene des Antennenstandorts A. Dargestellt ist die Peilung genau nach Süden zur Satellitenbahn. Dies ist der maximale Wert der Elevation für diesen Breitengrad, weil sich dort der Scheitelpunkt S' der Umlaufbahn befindet.

Gezeigt ist auch der Schnittpunkt der Horizontebene mit der Bahnebene des Satelliten (Äquatorebene). Beide Ebenen bilden eine Schnittlinie senkrecht zur Bildebene der Zeichnung.

Berechnung von Azimut und Elevation

Sphärisches Dreieck

Für die Berechnung von Azimut und Elevation wird ein sphärisches Dreieck ABC auf der Oberfläche der Erdkugel gebildet.. In Bild 2 ist die zu diesem Dreieck gehörende Kugeloberfläche grün gekennzeichnet.

Die Eckpunkte dieses sphärischen Dreiecks sind:

• A Standort der Antenne
• B Nordpol
• C Lotpunkt des Satelliten auf dem Äquator.

Die Dreiecksseiten sind:

• Bogen a in der Meridianebene des Satelliten vom Nordpol bis zum Äquator.
• Bogen b vom Lotpunkt C des Satelliten bis zum Antennenstandort A.
• Bogen c in der Meridianebene des Antennenstandorts vom Nordpol bis zum Antennenstandort A.

Die Zentriwinkel der Dreiecksseiten sind:

• Zentriwinkel a für Bogen a (90°),
• Zentriwinkel b für Bogen b (wird berechnet),
• Zentriwinkel c für Bogen c (90° - ).

Nimmt man für die Zentriwinkel a, b und c das Bogenmaß und für den Radius r = 1, dann sind die Maßzahlen für Bogenlänge und Zentriwinkel gleich.

Die Innenwinkel an den Eckpunkten des sphärischen Dreiecks (tangential zur Kugeloberfläche) sind:

• Innenwinkel am Punkt B (Nordpol). Dieser Winkel ist durch die Längengraddifferenz von Antennenstandort und Satellitenposition gegeben.
• Innenwinkel ' und Außenwinkel (Azimut) bei Punkt A,
  dabei gilt + ' = 180°. Diese Winkel werden berechnet.
• Innenwinkel am Punkt C (wird nicht benötigt).

Ebenes Dreieck

Um die Elevation zu erhalten, muß man noch das ebene Dreieck MAS berechnen. Dieses ebene Dreieck liegt in der Großkreisebene des Bogens b, der sich von A nach C spannt. Diese Großkreisebene und die Äquatorebene haben die gemeinsame Schnittlinie MS.

Für das Dreieck AMS gelten:

• Radius R der Satellitenbahn als Strecke MS,
• Radius r der Erde als Strecke MA,
• Bogen b (Zentriwinkel b) erhält man aus der Berechnung des sphärischen Dreiecks.

Daraus können die restlichen Winkel einschließlich der Elevation berechnet werden.

Variablen

Für die Berechnung werden folgende Variablen verwendet:

Gegeben:
	nördlicher Breitengrad des Antennenstandorts
0	Längengrad des Antennenstandorts
S	Längengrad der Satellitenposition
R	Radius der Satellitenbahn = 42162.525 km (wie oben berechnet)
r	(mittlerer) Erdradius am Antennenstandort = 6371.009 km
	Längengraddifferenz: = S - 0
Gesucht:
	Azimut (Horizontaler Peilwinkel)
	Elevation (Höhen-Peilwinkel)
b	Zentriwinkel (Antennenstandort - Erdmittelpunkt - Lotpunkt Satellit)

Formeln

Wenn man nicht den ersten Kosinussatz der sphärischen Trigonometrie benutzt, dann ergibt sich die Herleitung der Formeln aus Bild 1 (für Azimut) und Bild 3 (für Elevation). Zeichnet man zum gezeigten Schnitt von Bild 1 auch die Ansicht der Satellitenbahn und den Schnittpunkt der Radiuslinie des Satelliten mit der Schnittlinie Bahnebene-Horizontebene, so kann man die Formel für den Azimut daraus herleiten. Der interessierte Leser möge dies tun, oder die nachfolgende Formel einfach übernehmen.

Hilfswinkel b

Zuerst muß mit der Längengraddifferenz und der geografischen Breite ein Hilfswinkel ausgerechnet werden. Dies ist der Zentriwinkel des Bogens b (= Dreiecksseite b) , er wird mit b bezeichnet.

Der Zentriwinkel b ergibt sich aus

Das Azimut

Der außenliegende Winkel der Dreiecksseite b zur Südrichtung beim Punkt A ist das Azimut (siehe Bild 2). Das Azimut hängt nur von der geographischen Breite des Standorts und der Position des Satelliten ab.

Ist der Satellit östlich der Antennenposition, so wird das Azimut von der Südrichtung nach Osten gemessen, ist er westlich, so wird von der Südrichtung nach Westen gemessen. Verwendet man für die Längengrade Vorzeichen (z.B. nach Osten positiv, nach Westen negativ), so ergibt sich für das Azimut das richtige Vorzeichen aus der Formel.

Bild 3 zeigt einen Schnitt in der Ebene des Großkreises b, der durch Punkt A und C auf der Erdoberfläche läuft (siehe dazu auch Dreieck MAS in Bild 2).

Die Elevation

Die Formel für den Höhenwinkel (Elevation) ergibt sich aus Bild 3:

Berechnungsbeispiel

für den Standort München (11°34´ Ost; 48°08´ Nord) und
für die Satellitenposition 19,2° Ost (ASTRA)

Zusammenstellung der gegebenen Werte (die Minutenangaben der Winkel werden dabei in Dezimalbruchteile umgerechnet):

_S = 19.2° Ost = + 19.2°

₀ = 11°34' Ost = 11 + 34/60 = +11.57°

= 48°08' Nord = 48 + 8/60 = 48.13°

= _S - ₀ = 19.20° - 11.57° = 7.63° = Längengraddifferenz

R = 42162.525 km = Bahnradius des Satelliten

r = 6371.009 km

r / R = 0.151105964361

Berechnung des Azimuts:

Berechnung des Großkreisbogens b:

b = arccos (cos · cos ) = arccos (cos 48.13° · cos 7.63°) = 48.5830832676°

Berechnung der Elevation:

Ergebnis:

Der Satellit ASTRA auf der Position 19.2° Ost ist von München aus mit Elevation = 34.24° und Azimut = 10.20° (von Süd nach Ost) anzupeilen. Siehe auch Ergebnis des Taschenrechnerprogramms weiter unten.

Sichtbarkeit der Satelliten

Längengrad (Grenzwinkel)

Der Satellit wird unsichtbar, wenn die Elevation negativ wird. Der Grenzwinkel (= größte Längengraddifferenz) ergibt sich aus

Die Längengrade _S = ₀ ± _G des Schnittpunkts der Satellitenbahn mit der Horizontebene ergeben sich vom Längengrad des Standorts aus mit dem Grenzwinkel nach Osten und nach Westen gerechnet. Diese beiden Satellitenpositionen liegen genau auf der Horizontebene des Antennenstandorts, wo die Satellitenbahn diese Horizontebene durchstößt.

Beispiel:

Berechnung des Grenzwinkels für den Standort München:

das heißt: Alle Satellitenpositionen zwischen den Längengraden
11.57° + 76.91° = 88.48° (Ost) und 11.57° - 76.91° = -65.34° (West) sind von München aus sichtbar.

Breitengrad (Grenzwinkel)

Die Sichtbarkeit wird nicht nur durch die Position des Satelliten, sondern auch von der geographischen Breite des Antennenstandorts bestimmt. Das feste Verhältnis r/R = 0.151105964361 des Erdradius r am Antennenstandort zum Bahnradius R bestimmt den Cosinus der geographischen Breite, ab der ein Satellit auf dem Meridian seines Standorts (Scheitelpunkt der Satellitenbahn) nicht mehr sichtbar ist.

In Bild 1 ist die Meridianebene gezeichnet, dort hat die Satellitenbahn ihren Scheitelpunkt. Wird vergrößert bis = 0° ist, dann gilt:

cos = r/R = 0.151105964361, daraus folgt = 81,31°.

Alle Standorte mit größerer geographischer Breite haben keine Sichtverbindung zu geostationären Satelliten. Dies trifft insbesondere für die Polregionen (Arktis und Antarktis) zu.

Gesamtsichtbarkeit (Strahlungskegel)

Von allen Orten des Teiles der Erdoberfläche, den der Satellit "sieht", kann man auch den Satelliten "sehen".

Für den maximal möglichen Strahlungskegel des Satelliten ergibt sich bei r/R = 0.151105964361 ein Öffnungswinkel
von 2 · (90° - 81.31°) = 17.38°.
Der Kegel berührt die beiden Breitengrade = ±81,31° und "sieht" von seiner Position aus gerade noch die Längengrade
_S = ₀ ± _G (die wir oben im Beispiel berechnet haben).

Mit cos = r/R = 0.151105964361 können wir den Raumwinkel des Strahlungskegels berechnen.

Raumwinkel

Definition des Raumwinkels: Der Raumwinkel ist ein Verhältnismaß: Teilfläche OK der Kugeloberfläche O dividiert durch das Quadrat des Kugelradius (r2). Die Maßeinheit ist die SI-Einheit Steradiant (sr). Sie ist eine reine Maßzahl ("dimensionslos"). Steradiant ist ein räumliches Bogenmaß.

Für die gesamte Oberfläche einer Kugel gilt definitionsgemäß also
der Raumwinkel = 4r²/r² [sr] = 4 [sr]. Daraus folgt:

Bei einer Kugel mit r = 1 m schneidet 1 sr genau 1 m² von der Oberfläche heraus. Die Form dieser herausgeschnittenen Fläche (Kugelkappe, andere sphärische Flächenform) kann beliebig sein. Hier wollen wir die Kugelkappe näher betrachten.

Kugelkappe

Wir berechnen die Kugelkappe (Bild 4).
Die Oberfläche O_K = 2rh (siehe Formelsammlung), wobei gelten:

r	Radius der Kugel
h	Höhe der Kugelkappe (siehe Bild 4): h = r · (1 - cos )
	Winkel zwischen der Achse der Kugelkappe und ihrem Rand, vom Kugelmittelpunkt M aus gesehen

Daraus folgt: O_K = 2rh = 2r · r · (1 - cos ).

Setzen wir die Oberfläche O_K der Kugelkappe ins Verhältnis zur gesamten
Kugeloberfläche O = 4r², dann ergibt sich O_K / O = (1 - cos ) / 2

Der Raumwinkel der Kugelkappe ist also:

= 4 sr · O_K / O = 4 [sr] · (1 - cos ) / 2 = 2 (1 - cos ) [sr]

Raumwinkel der Kugelkappe: = 2 (1 - cos ) [sr] = 2h/r [sr] Für = 1 sr folgt daraus: = arccos[(2 - 1)/2] = 32.7705365851°

Für den Strahlungskegel eines Synchronsatelliten ergibt sich:
O_K / O = (1 - cos ) / 2 = (1 - cos 81.3°)/2 = 0.42445 = 42.445 % (der Erdoberfläche).
Als Raumwinkel ausgedrückt ist dies: = 4 · O_K / O = 4 · 0.42445 = 5.33375 sr.

Praktische Anwendung des Raumwinkels

Der Raumwinkel wird hauptsächlich dazu verwendet, Strahlungsleistungen von Parabolantennen anzugeben, wenn die Sendeleistung in einem Strahlungskegel konzentriert wird. In diesem ist dann die ganze Sendeleistung konzentriert, die sonst in alle Richtungen abgegeben würde.

Aufgabe zum Raumwinkel

Die Sonne (Radius = 696000 km, Entfernung = 149597870 km) bescheint mehr als 50 % der Erdoberfläche, nämlich 50.23 % = 6.312 sr (Refraktion nicht berücksichtigt!). Mit Berücksichtigung der mittleren Refraktion von 36' sind es sogar 50.75 % = 6.378 sr.

Programm SAT

Zur Berechnung von Azimut und Elevation stellt der Autor ein Programm sat-prg für den HP 49G zur Verfügung.

Im Programm wurde anstelle des griechischen Buchstabens für die geographische Breite der griechische Buchstabe verwendet, weil es auf dem HP 49G nicht gibt.

Das Ergebnis der Berechnung wird am Taschenrechner (siehe Bild rechts) angezeigt. Alle berechneten Variablen sind auch im Menü verfügbar. Mit [LOE] werden alle vom Programm hergestellten Variablen gelöscht.

Die Inhalte der Variablen und ₀ haben bei einer neuen Berechnung Vorrang vor den im Programm fest eingespeicherten Werten. Hier kann man (geografische Breite des Standorts), ₀ (geografische Länge des Standorts) und _S (Längengrad als Orbitposition des Satelliten) für beliebige andere Orte direkt in die Variablen einspeichern und dann eine neue Berechnung starten.

Achtung: In diesem Programm sind die Standortkoordinaten von München fest einprogrammiert (siehe Beispiel): Länge: 11°34' Ost 0 = 11.57° Breite: 48°08' Nord = 48.13° Falls der Leser die Koordinaten seines Wohnortes fest einspeichern will, kann er im Programm die Gradangaben ändern. Diese sind mit dezimalen Gradbruchteilen einzuspeichern: Beispiel: Für 10°30' schreibt man dann 10.50°.

 

Schlußbemerkung

Die Fernseh-Synchronsatelliten strahlen ihre Sendungen per Richtkegel (wie ein Scheinwerfer) nur auf bestimmte Teile der Erdoberfläche (Versorgungsgebiet) ab. Der maximal mögliche Strahlungskegel (Bild 4) wird dabei nicht ausgenutzt. Das zu versorgende Gebiet auf der Erdoberfläche ist ellipsenförmig "ausgeleuchtet" (Ausleuchtzonen), aber nicht scharf abgegrenzt. Die Leistung (Empfangsfeldstärke) nimmt von der Kernzone zum Rand hin ab. Außerhalb der Ausleuchtzone (Randzonen) kann auch eine korrekt auf einen Satelliten ausgerichtete Antenne die Sendungen nur mit wesentlich geringerer Feldstärke empfangen.

Zwischen der Antenne und dem Satelliten muß freie Sicht möglich sein. Dazwischen liegende Hindernisse (Gebäude, Berge) schatten die Übertragung ab. Nahe über dem Horizont positionierte Satelliten können deshalb nur im freien Gelände oder in Ortschaften von hochgelegenen Punkten aus angepeilt werden.

Die berechneten Werte zum Anpeilen sind nur Richtwerte zur Ausrichtung der Empfangsantenne. Die Feinjustierung erfolgt über das Maximum des Empfangs der empfangenen Frequenz (Feldstärke-Maximum).

Wettersatelliten

Für Wettersatelliten gilt die Einschränkung auf ein elliptisches Versorgungsgebiet nicht. Meteosat auf Position 0° nutzt den maximal möglichen Strahlungskegel und "bestrahlt" die gesamte für ihn sichtbare Oberfläche der Erde von 81.31° Ost bis 81.31° West, von 81.31° Nord bis 81.31° Süd.

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