Berechnung eines Flüssigkeitsstrahls

Ein Verfahren ganz ohne Hydraulikformeln,
nicht nur für Bauingenieure.

Auf der Baustelle (Wasserversorgung, Entwässerung, Wasserhaltung bei Baugruben, Ölbohrung usw.), müssen Ingenieure oft folgendes Problem lösen:

Problem

Durch ein Rohr (oder Gerinne) fließt pro Zeiteinheit eine bestimmte Menge einer Flüssigkeit. Das Rohr endet frei, wo die Flüssigkeit austritt und in einem bogenförmigen Strahl (Ausflußstrahl) auf den Boden (oder in eine Auffangvorrichtung) fließt.

Die hydraulischen Kennwerte des Rohres (Fließgeschwindigkeit, Druck, Rauhigkeitswert der benetzten Wandungen, Viskosität der Flüssigkeit) sind nicht bekannt.

Der Ingenieur auf der Baustelle soll (annähernd!) genau angeben können, welche Durchflußmenge
(= Flüssigkeitsvolumen pro Zeiteinheit = Volumenstrom) durch das Rohr fließt, um z. B. die tatsächliche Leistung einer Pumpe oder die Schüttung einer neuen Quelle zu ermitteln.

Lösungsansatz

Da die Flüssigkeit am Rohrende zu 100 % das Rohr verläßt und in den Strahl übergeht, sind alle Flüssigkeitsteilchen ab diesem Zeitpunkt nur mehr dem freien Fall (Erdanziehung, Schwerebeschleunigung) unterworfen. Es ist unerheblich, welche Verhältnisse vorher im Rohr herrschten, welche Kennwerte und welchen Querschnitt das Rohr hat, es kommt nur auf die Austrittsgeschwindigkeit und auf den Flüssigkeitsquerschnitt am Rohrende (Austrittsquerschnitt) an.

Wenn die Austrittsgeschwindigkeit v in m/s und den Flüssigkeitsquerschnitt A in m² (Vollquerschnitt oder Teilfüllung des Rohres) am Rohrende gemessen oder berechnet werden kann, dann ist das Problem gelöst.

Randbedingungen

1. Der frei fallende Strahl soll einigermaßen geschlossen sein (nicht sprühen oder spritzen), so daß sein Auftreffpunkt am Boden (Zentrum der Auftreff-Fläche) bestimmt werden kann.
2. Die Fließgeschwindigkeit im Rohr soll sich im Meßzeitraum nicht ändern.
3. Der Flüssigkeitsquerschnitt am Rohrende (Austrittsquerschnitt) soll durch Messung bestimmt werden können (Zugänglichkeit bzw. Meßbarkeit).
4. Der Luftwiderstand des Strahls soll vernachlässigt werden.
5. Wir messen bei Windstille.

Lösung

Das Bild zeigt den Sachverhalt für Auslaufrichtung schräg nach unten und schräg nach oben.

Messung und Berechnung des Strahls

1. Man läßt einen Senkel (Senkblei, Senklot) auf das Zentrum der Auftreffstelle des Strahls hinunter. Die senkrechte Senkelschnur (rote Linie in der Skizze) wird am Schnittpunkt mit der Verlängerung der Rohrachse geknickt und straff bis zur Austrittsöffnung des Rohres (Rohrende) geführt. Beide Maße H und L werden an der Senkelschnur markiert und später gemessen (Maße in Meter).
   Beim Meßvorgang wird das Senkelgewicht unten durch geeignete Maßnahmen gegen "Wegspülen" aus der Senkrechten gesichert oder man mißt parallel zur Strahlebene dicht neben dem Strahl.
   Aus beiden Maßen H und L wird die Austrittsgeschwindigkeit v in m/s nach der unten angegebenen Formel 1 berechnet.
2. Der Austrittsquerschnitt muß möglichst genau bestimmt werden. Bei voll gefüllten (Druck-)Rohren berechnet man den gesamten lichten Rohrquerschnitt, bei teilgefüllten kreisrunden Rohren kann man die Höhe des mit Flüssigkeit gefüllten Kreissegments und den Innendurchmesser des Rohres messen, bei anderen Querschnitten (rechteckige oder trapezförmige Rinnen) mißt man die entsprechenden Maße des Flüssigkeitsquerschnitts. Daraus berechnet man den Flüssigkeitsquerschnitt A in m².
3. Die Durchflußmenge (Volumenstrom) Q in m³/s wird aus v und A nach Formel 2 berechnet.

Formeln für die Berechnung des Querschnitts teilgefüllter Rohre und anderer Profile findet man in jeder Hydraulik-Formelsammlung.

Die Formeln

Die Herleitung nachfolgender Formel 1 für v wird über die Fallgesetze (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) durchgeführt.

Hier wird die Formel für eine waagrechte Rohrachse abgeleitet (L wird hier waagrecht gemessen).
Es kann leicht gezeigt werden, daß sie auch für geneigte Rohrachsen gilt (siehe obige Skizzen und gesonderte Abhandlung).

Der Winkel der Rohrachse zur Waagrechten muß nicht gemessen werden. Der Winkel wird implizit durch die Maße H und L berücksichtigt, die jeweils vom Winkel der Rohrachse abhängig sind.

Herleitung:

Die Zeit t, die ein Flüssigkeitsteilchen vom Rohrende bis zum Auftreffpunkt braucht, wird aus der Formel H = g · t2/2 (Schwerebeschleunigung g = 9.80665 m/s2 ist eine ortsabhängige Konstante) isoliert. In dieser Zeit t fliegt das Flüssigkeitsteilchen mit der Geschwindigkeit v in waagrechter Richtung die Strecke L = v · t. Einsetzen des Ausdrucks für t und entsprechende Umstellung nach v ergibt dann die Formel 1. Formel 2 ist allgemein bekannt und wird hier nicht abgeleitet.

Formeln für Austrittsgeschwindigkeit v und Durchflußmenge Q:

Formelzeichen	Maßeinheit	Erläuterung
L	m	Länge in Richtung der Rohrachse bis zum Schnittpunkt mit dem Lot zum Auftreffpunkt
H	m	Länge des Lotes vom Schnittpunkt mit der Rohrachse bis zum Auftreffpunkt
A	m2	von der Flüssigkeit am Rohrende durchflossene Fläche (Austrittsquerschnitt)
g	m/s2	Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche g = 9.80665 m/s2 (ortsabhängige Konstante)
v	m/s	Austrittsgeschwindigkeit am Rohrende
Q	m3/s	Durchflußmenge = Volumenstrom
Als Dezimalzeichen verwenden wir hier bei allen Werten den Dezimalpunkt.

 

Programm für den HP 49G

Die Formeln sind so einfach, daß eine Programmierung nicht nötig ist. Um sich die Formel nicht merken zu müssen, wird sie dennoch auf dem HP 49G (im RPN-Modus) in einer Variablen mit dem Namen STRAHL abgespeichert (im Menü des nachfolgenden linken Bildes wird der letzte Buchstabe nicht gezeigt).

Die Werte für L, H und A werden vor der Berechnung in die globalen Variablen L, H und A gespeichert. Das Programm ist im linken Bild zu sehen. Es berechnet die Austrittsgeschwindigkeit v, speichert sie in der Variablen v ab, berechnet dann Q und speichert den Wert in der Variablen Q ab. Das Bild rechts zeigt das Menü nach der Berechnung (Q und v wurden vom Programm angelegt).

Beispiel:

Rechner auf 4 Kommastellen mit 4 FIX einstellen.
Gemessen wurden: L = 1.20 m, H = 1.00 m und A = 0.0025 m² = 25 cm².
Ergebnis ist Q = 0.0066 m³/s = 6.6 l/s (= Liter pro Sekunde) und v = 2.6572 m/s.

Das rechte Bild zeigt im Stack die Werte der Variablen L, H, A, Q und v (von oben nach unten).

Hinweis zur Konstanten g Anstelle des Zahlenwerts 9.80665 für g kann auch die Befehlsfolge 'g' CONST UVAL ins Programm gesetzt werden. Dann wird die Konstante g als Einheitenobjekt mit der Einheit m/s^2 (= Typ SI bei gelöschtem Flag 60) aus der Konstantenbibliothek geholt. Mit UVAL wird die Einheit abgetrennt und nur der Zahlenwert verwendet. Siehe auch Beschreibung von CONST im Advanced Users Guide.

Anwendbarkeit des Verfahrens

Grenzen des Verfahrens

Der Winkel der Rohrachse zur Waagrechten soll nicht zu groß sein (höchstens ±45°), denn die Maße H und L müssen noch eindeutig meßbar sein. Wenn das Rohr senkrecht nach oben oder unten ausmündet, muß man durch geeignete Rohrbögen den Flüssigkeitsstrom so umlenken, daß ein bogenförmiger Ausflußstrahl entsteht, der gemessen werden kann.

Wer nicht mit den angegebenen Maßeinheiten m, m/s, m² und m³/s rechnen will, muß die Werte g, H, L und A einheitlich in der gewünschten Dimension (dm- oder cm-Basis) in die Formeln eingeben.

Vorteile

Unabhängig davon, ob die Flüssigkeit unter Druck austritt oder aus einem Freispiegelgerinne kommt, wird die Austrittsgeschwindigkeit über die gemessenen Maße H und L ermittelt. Außerdem braucht der Winkel des ankommenden Rohres zur Waagrechten nicht gemessen zu werden, die Formel für die Austrittsgeschwindigkeit ist unabhängig von der Neigung des Rohres. Die beiden Formeln 1 und 2 sind so einfach, daß die Ergebnisse mit dem einfachsten Taschenrechner, der Wurzelrechnung beherrscht, berechnet werden können.

Das Verfahren kann bei allen Flüssigkeiten verwendet werden, die nicht zähe fließen. Auch bei Schüttgütern, (Getreide, trockener Sand), die sich wie eine Flüssigkeit verhalten, kann man das Verfahren anwenden.

Nachteile

Durch den Luftwiderstand (Reibung) des Strahls wird die waagrechte Weite und damit das Maß L kürzer als es ohne Reibung wäre. Man ermittelt also eine gegenüber der Wirklichkeit zu kleine Durchflußmenge. Falls die Durchflußmenge mehr als 5 Liter pro Sekunde (> 0,005 m³/s) beträgt und der Strahlquerschnitt kompakt ist (annähernd Kreisform), dann ist die Masse des Strahls so groß, daß der (normale) Luftwiderstand das Ergebnis nicht mehr merklich beeinflußt. Bei Wind sollte diese Methode nicht angewandt werden.

Brauchbarkeit

Für Baustellenverhältnisse ergibt sich eine gute Näherung, die für die vorgesehenen Zwecke (Abrechnung von Pumpmengen, Ermittlung der tatsächlichen Pumpenleistung, Quellschüttung, o. ä.) ausreichend genau ist.

Zur Beitragsübersicht
Copyright © 2002 Otto Praxl
Alle Rechte vorbehalten!