Auf dem HP 49G ist eine Summenfunktion 
verfügbar, mit der man die Summe endlicher
Reihen berechnen kann. Die mathematische Darstellung
Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.
Auf dem HP 49G ist eine Summenfunktion
wird auch auf dem HP 49G in dieser Form angezeigt, wenn die Flags richtig gesetzt sind.
Diese Kurzschreibweise bedeutet:
Für jeden ganzzahligen Wert von 1 bis m der Variablen n wird der Funktionswert f(n) als Summand ausgerechnet und aufsummiert.
auf dem HP 49G Die Funktion
Die Summenfunktion ist in der Mitte der Tastatur auf eine feste Taste gelegt. Mit der rechts-umgeschalteten [SIN]-Taste (= [rightshift] [SIN]) wird sie aktiviert. Sie funktioniert sowohl im RPN-Modus wie auch im algebraischen Modus (ALG).
Im RPN-Modus müssen die Argumente auf dem Stack stehen, im algebraischen Modus steht der Stack nicht zur Verfügung, hier müssen die Argumente in runden Klammern mitgegeben werden. Hier wird beides gezeigt.
Als Beispiel soll die Summe der ersten 100 ungeraden ganzen positiven Zahlen ausrechnet werden. Ungerade Zahlen werden als (2n-1) für jedes n definiert.
Die erste ungerade Zahl ist 1,
die einhundertste ist 2 · 100 - 1 = 199.In mathematischer Summendarstellung sieht dies so aus:
Der sich mit n verändernde Summand (Funktion von n) wird hier der Deutlichkeit halber in runden Klammern angegeben Diese Klammern könnten auch entfallen, der HP 49G läßt sie ohnehin weg.
Zuerst sollten die Systemflags richtig gesetzt werden:
Flag-Name Nr. Bedeutung Bitwert Bemerkungen Konstanten -2 symb gelöscht = 0 Funktion -3 symb gelöscht = 0 Ausgabeform -79 als Gleichung gesetzt = 1 siehe Umschaltprogramm FORML/ZEILE Winkelmodus -17 RAD gesetzt = 1 Befehl RAD eingeben Genauigkeit -105 exakt gelöscht = 0 umzuschalten durch rightshift (festhalten) und [ENTER] Wenn die Flags anders gesetzt sind, sieht das Ergebnis nicht wie hier angegeben aus. Beim exakten Modus (Genauigkeit) wird immer der genaue Ausdruck (z.B.: Formel, rationale Zahl, Wurzelausdruck) angegeben, der Näherungsmodus liefert eine in der Stellenanzahl begrenzte reelle Zahl, falls sie sich berechnen läßt.
RPN-Modus
Im RPN-Modus sind die Argumente in der richtigen Reihenfolge in den Stack zu stellen (siehe Bild links):
- Stack-Ebene 4:
Name der Variablen, in unserem Beispiel: 'n'- Stack-Ebene 3:
unterer Index, in unserem Beispiel: 1- Stack-Ebene 2:
oberer Index, in unserem Beispiel: 100- Stack-Ebene 1:
Summand als Funktion von n, in unserem Beispiel '2·n-1'.Wenn dann die Summenfunktion
Im RPN-Modus kann die Aufgabe auch als algebraischer Ausdruck in folgender Form eingegeben werden:
' wie auch im nachstehenden linken Bild gezeigt. Nach Betätigen von [ENTER] erscheint das symbolische (exakte) Ergebnis (siehe nachstehendes rechtes Bild).
Wenn man das symbolische Ergebnis ausgerechnet (numerisch) haben möchte, ruft man die Funktion ->NUM (= [rightshift][ENTER]) auf.
Werden der untere oder obere Index oder beide Indizes als Variable eingegeben, dann stellt der Rechner (auch im RPN-Modus) das Ergebnis als algebraischen Ausdruck oder als Formel (je nach Zustand des Flags -79) dar. Dieser Ausdruck kann dann nur in Programmen mit den entsprechenden, zuvor definierten Variablen weiterverwendet werden.
ALG-Modus
Im algebraischen Modus wird der Ausdruck ohne Apostrophe eingegeben (nachstehendes Bild links). Man ruft die Funktion mit [rightshift] [SIN] auf, dann erscheint das Sigma-Zeichen mit Klammer, in die man die Werte für die Parameter einsetzen muß. Der Start der Berechnung erfolgt mit [ENTER]. Das Ergebnis ist im nachstehenden rechten Bild dargestellt. Der Indikator ALG rechts oben in der Anzeige zeigt den aktiven ALG-Modus an. Bei diesem wird beides, die gestellte Aufgabe und das Ergebnis (=10000) angezeigt.
Interessant ist im Beispiel die Tatsache, daß die Summe der ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ist, daß also gilt:
Beweis:
Für die Summe der Glieder einer arithmetischen (linearen) Reihe wird das arithmetische Mittel des ersten und letzten Gliedes gebildet und dieses wird mit der Anzahl der Glieder multipliziert.
Also: ½ · (1 + (2m -1)) · m = m2Damit kann das Ergebnis der Summenfunktion sofort über die Quadratfunktion überprüft werden.
Berechnung von Potenzreihen
Die ungeraden Zahlen können auch bei der Berechnung des Funktionswertes sin x verwendet werden, wenn x im Bogenmaß in die Formel eingesetzt wird.
Achtung: Daß die Summenfunktion unter der SIN-Taste liegt, hat mit der Sinusfunktion und auch mit dem nachfolgenden Beispiel nichts zu tun. Es ist reiner Zufall. Beispiel: Berechnung des Wertes von sin x im ALG-Modus
Obwohl die Sinusfunktion auf dem Rechner als Taste vorhanden ist, soll hier der Sinus für den Winkel x = 30° (Altgrad) über diese Summenfunktion als Summe berechnet werden. Dieser Winkel muß zuerst ins Bogenmaß (Radiant) umgerechnet werden: x =
· 30°/180° = 0,523598775598. Dieser Wert wird in die Variable 'x' eingespeichert. Die Formel für die Berechnung von sin x ist eine Potenzreihe
Zur Eingabe der Formel (siehe nachstehendes Bild) kann man den "Equation-Writer" (siehe Beschreibung im mitgelieferten Handbuch, Kapitel 3) benutzen oder die Formel als algebraischen Ausdruck wie folgt eingeben:
' Flag -79 entscheidet darüber, wie dieser Ausdruck nach der Eingabe angezeigt wird (als Formel oder als algebraischer Ausdruck, siehe auch Umschaltprogramm ZEILE/FORML).
Bei der Eingabe der Formel ist jede Klammer wichtig. Das Ausrufungszeichen ("!") im Nenner des Bruches ist ein Formelzeichen und bewirkt die Berechnung der "Fakultät einer Zahl" (englisch: Factorial (Gamma) Function). Man sollte auch darauf achten, daß man Ganzzahlen (ohne Dezimalzeichen) eingibt, denn sonst bewirkt "!" die Berechnung der Gamma-Funktion. Die Potenzen der Zahl (-1) bewirken eine "alternierende" Summierung, bei der abwechselnd addiert und subtrahiert wird.
Diese Formel ist in der Variablen SI gespeichert. Durch EVAL(SI) wird im ALG-Modus die Summation durchgeführt. Im RPN-Modus wird die Formel in den Stack gestellt und EVAL aufgerufen. Das Ergebnis wird angezeigt: 0,5.
also ist: sin 0,523598775598 = sin 30° = 0.5 .Die Berechnung wurde auf 50 Summanden beschränkt, der Abbruch dieser unendlichen Reihe an dieser Stelle beeinflußt die Genauigkeit des Ergebnisses nicht. Selbst ab dem 10. Summanden ändert sich das darstellbare Ergebnis nicht mehr, dieser 10. Summand ist hat den Wert x19/19! = 3,766·10-23 und ändert nur die 23. Stelle hinter dem Komma, die der Rechner ohnehin nicht anzeigen kann. Bei einer größeren Anzahl von Summanden erfolgt ein "Underflow" des Zahlenbereichs, so daß man die Flags -20 und -21 vorsichtshalber löschen (= zurücksetzen) sollte, damit man keine Fehlermeldung erhält und die Berechnung nicht dadurch automatisch abgebrochen wird.
Vielen Dank an Herrn Dr. Ralf Fritzsch aus Hamburg (Fritzsch@Hamburg.BAW.DE) für folgende Ergänzung:
Die eingebaute Computeralgebra-Software (wie unmerklich bei vielen anderen Gelegenheiten auch) versucht zunächst, die Summe "symbolisch" zu berechnen und dabei auf SIGMA respektive SIGMAVX zurückzugreifen. Im "Benutzerhandbuch für Fortgeschrittene" wird das "diskrete Stammfunktion" genannt, im englischen Original "discrete antiderivative". So, wie man bei Kenntnis der Stammfunktion F(x) des Integranden f(x) das Integral INT(x von a bis b über f(x)*dx) einfach durch F(b)-F(a) erhält, geht das auch mit der "diskreten Stammfunktion" S(x) des Summanden s(x):
Summe(x von a bis b mit Schrittweite 1 über s(x)) = S(b)-S(a).SUMME(X=1 bis
, 1/X2) = -PSI(
= 0 - (-Kennt der HP49G im exakten Modus einmal nicht die diskrete Stammfunktion, versucht er nach meiner Erfahrung die näherungsweise Berechnung der Summe (wobei allerdings der Rechner nicht extra in den Näherungsmodus umschaltet).
Zum Beginn dieser Seite
Zur Beitragsübersicht
Copyright © 2002 Otto Praxl
Alle Rechte vorbehalten!
