Otto Praxl

Zahlensysteme

Eine verständliche Einführung in die Darstellung von Zahlen in verschiedenen Zahlensystemen
mit Merkregeln für die Konvertierung

Inhaltsverzeichnis

Einleitung
Das Dezimalsystem
Die Stellenschreibweise
Das Horner-Schema
Andere Zahlensysteme
Besondere Schreibweisen
Das Dualsystem
Dezimalwert einer Dualzahl
Umständliche Methode
Einfache Methode
Arbeiten mit dem Horner-Schema
Anwendung des Horner-Schemas für "gebrochene" Dualzahlen
Dezimalzahl in Dualzahl umrechnen
Oktal- und Sedezimalzahlen (Hexa)
Umwandlung Dual - Oktal - Hexa und umgekehrt
Umrechnung von Oktal- und Sedezimalzahlen in Dezimalzahlen
Umrechnung von Zahlen beliebiger Systeme
Negative Dualzahlen

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Einleitung

Zahlen dienen dazu, Mengen oder andere Größen durch Ziffern darzustellen. Schon die alten Kulturen hatten Ziffernzeichen und Zahlensysteme, die zur Aufschreibung, aber auch zum Rechnen geeignet waren. Die Umrechnung einer Zahl in ein anderes Zahlensystem ändert nichts am Wert der Größe, sondern gibt der Darstellung der Zahl nur eine andere Form. Was bei der Umrechnung der Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes beachtet werden muß und welche Vereinfachungen möglich sind, behandelt dieser Beitrag.

Eine Menge von zehn Gegenständen kann durch Anordnen (Aufreihen) oder durch Verwendung von Zahlensymbolen dargestellt werden. Nachfolgendes Beispiel zeigt denselben Zahlenwert in drei verschiedenen Zahlensystemen. Die Nennung des Wertes "zehn" als geschriebenes Wort ist eine weitere Darstellungsart.

| | | | | | | | | | = 10 = X (die römische Zehn) = zehn

Im nachfolgenden Text sollen jedoch nur Zahlensysteme in Stellenschreibweise betrachtet werden.

Das Dezimalsystem

Grundlage der Rechnungen des täglichen Lebens ist das Dezimalsystem (Zehnersystem), bei dem 10 verschiedene Ziffern erforderlich sind: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Die Stellenschreibweise

Eine Zahl wird durch Nebeneinanderschreiben von Ziffern dargestellt. Bei dieser Stellenschreibweise ist es von Bedeutung, wo die Ziffer innerhalb der Zahl steht. Der Stellenwert jeder Ziffer kann in Potenzschreibweise mit Basiszahl (10) und Exponent angegeben werden.

Dazu folgendes Beispiel:

Dezimalzahl 123,45 in Stellenschreibweise:

Stellenwert	102	101	100	10-1	10-2
Ziffernwert	1	2	3	4	5

Der Wert Z dieser dargestellten Zahl wird durch Summierung der Produkte aus Ziffernwert mal Stellenwert jeder Dezimalstelle berechnet:

Z = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10-1 + 5 · 10-2 = 123,45

Dieser Sachverhalt ist allgemein darstellbar als Polynom:

Z = zn · Bn + zn-1 · Bn-1 + . . . + z1 · B1 + z0 · B0 + z-1 · B-1 + . . . + z-m · B-m

wobei die Koeffizienten z die Ziffern und B die Zahlenbasis bedeuten. Der untere Index bei z ist die Position in der Zahl, der obere Index bei B ist der Exponent für den Stellenwert.

Dieses Polynom kann in mathematischer Kurzschreibweise auch als "Summe" angeschrieben werden:

Eine Zahl Z wird in Stellenschreibweise dargestellt, indem die Ziffern z_i in absteigender Reihenfolge des Index i von links nach rechts nebeneinandergeschrieben werden, wobei zwischen den Ziffern z₀ und z_-1 ein Trennzeichen (ein Komma; im englischsprachigen Bereich ein Punkt) zu setzen ist, um den Übergang auf negative Exponenten zu kennzeichnen. Dieses Prinzip der Zahlendarstellung durch Stellenschreibweise gilt für jedes beliebige Zahlensystem, nicht nur für das Dezimalsystem.

 

Das Horner-Schema

Bei der Berechnung des Zahlenwertes Z eines Polynoms ist die Berechnung der Summanden durch Multiplikation von Ziffernwert mal Stellenwert erforderlich, bevor man addieren kann. Die Zwischenspeicherung der vorher berechneten Summanden war bei den mechanischen Rechenmaschinen des 19. Jahrhunderts nicht möglich. Deshalb hat der Engländer William George Horner (1786-1837) das Polynom umgeformt, um mit dem jeweils vorher ermittelten Ergebnis ohne Zwischenspeicherung weiterrechnen zu können:

Z = zn · Bn + zn-1 · Bn-1 + . . . + z1 · B1 + z0 · B0 + z-1 · B-1 + . . . + z-m · B-m = ( ( ( ( zn · B + zn-1) · B + zn-2) · B + . . . ) · B + z-m ) · B-m

Diese umgestellte Formel enthält nur Multiplikationen und Additionen, die nacheinander mit einer Rechenmaschine oder einem Taschenrechner ohne Speicherung von Zwischenergebnissen ausgeführt werden können. Die Berechnung beginnt in der innersten Klammer. Mit dem in der Maschine aufgelaufenen Ergebnis kann im nächsten Schritt weitergerechnet werden. Zuletzt wird mit dem vorkommenden kleinsten Stellenwert multipliziert.

Zahlenbeispiel:

Z = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100 + 4 · 10-1 + 5 · 10-2 = ( ( ( ( 1 · 10 + 2 ) · 10 + 3 ) · 10 + 4 ) · 10 + 5 ) · 10-2 = 12345 · 10-2 = 123,45

Das von Horner für diese umgestellte Formel angegebene und nach ihm benannte Rechenschema (Horner-Schema) ist auch heute noch bei der Umrechnung von Zahlensystemen (und bei anderen mathematischen Rechnungen) eine große Hilfe. Es wird weiter unten ausführlich erläutert.

Andere Zahlensysteme

Für die Basiszahl B kann in der Polynomdarstellung von Zahlen jeder beliebige positive ganzzahlige Wert genommen werden.

Für B = 1 ergibt sich der einfachste Fall (Trivialfall), bei dem nur eine einzige Ziffer verwendet wird, die ein beliebiges Zeichen sein kann. Das anfangs gezeigte Beispiel mit den 10 Einzelzeichen ist von dieser Art. Die Anzahl der nebeneinanderstehenden Zeichen ist der dargestellte Zahlenwert. Man verwendet diese Darstellungsweise bei Strichlisten.

Das Zahlensystem mit B = 2 (Zweier- oder Dualsystem) ist in der Computertechnik sehr wichtig.

Das Achtersystem (B = 8, Oktalsystem) und das Sechzehnersystem (B = 16, Sedezimalsystem, auch als Hexadezimal-System bekannt, kurz Hexa-System genannt) werden für die Darstellung von Zahlen im Zusammenhang mit dem Dualsystem gerne angewandt, weil sich die Zahlen dieser Systeme besonders leicht ineinander umrechnen lassen.

Dualsystem, Oktalsystem und Hexasystem werden weiter unten behandelt.

Besondere Schreibweisen

Bei der Umrechnung von Zahlen kommen sehr leicht Verwechslungen vor, weil die verschiedenen Zahlensysteme gleiche Ziffern verwenden. Deshalb sollten in Zweifelsfällen, oder wo es nicht eindeutig aus dem Zusammenhang erkennbar ist, alle Zahlen, die nicht als Dezimalzahl gelten, die Basiszahl B als dezimalen Index erhalten, damit sie eindeutig einem Zahlensystem zugeordnet werden können.

Beispiele:

Dezimalzahl	11	Dezimalwert elf	kein Index
Dualzahl	112	Dezimalwert drei	2 als Index
Hexa-Zahl	1116	Dezimalwert siebzehn	16 als dezimaler Index
Dezimalzahl	1111	Dezimalwert elfhundertelf	kein Index
Dualzahl	11112	Dezimalwert fünfzehn	2 als Index
Hexa-Zahl	111116	Dezimalwert 4369	16 als dezimaler Index

Das Dualsystem

Das Dualsystem arbeitet nur mit zwei Ziffern, 0 und 1. Für die daraus gebildeten Dualzahlen verwendet man ebenfalls die Stellenschreibweise. Der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) hat dieses System als Erster veröffentlicht. Damals konnte sich jedoch niemand eine praktische Verwendung vorstellen.

Erst Konrad Zuse erkannte die Bedeutung des Dualsystems und entwickelte1934 einen Computer, bei dem Zahlen intern binär, also durch zwei eindeutig voneinander unterscheidbare Zustände (Spannung vorhanden/nicht vorhanden, ja/nein) dargestellt werden.

Zur Unterscheidung von der rein mathematischen Betrachtungsweise der Zahlendarstellung im Dualsystem spricht man bei der Darstellung von Zahlen im Computer von Binärdarstellung.

Eine Stelle einer im Rechner binär dargestellten Dualzahl nennt man Binärziffer. Dafür hat sich die Abkürzung Bit (aus dem Englischen: Binary digit) durchgesetzt. Ein Bit kann gesetzt sein (Bitwert = 1) oder nicht gesetzt sein (Bitwert = 0).

Binärdarstellung und Darstellung im Dualsystem können als gleichbedeutend angesehen werden mit dem Unterschied, daß bei der dualen Darstellung nur die Ziffern 1 und 0 als Werte verwendet werden, während bei der binären Darstellung zwei eindeutig voneinander unterscheidbare Zustände (ja/nein, Schalter ein/aus, Strom fließt/fließt nicht)) wesentlich sind, unter anderen also auch 1 und 0. Unterschiede ergeben sich bei negativen Zahlen, die durch ein eigenes Bit dargestellt werden müssen. Eine kurze Erläuterung erfolgt am Ende des Beitrages.

Berechnung des Dezimalwertes einer Dualzahl

Umständliche Methode (tabellarisch):

Die Berechnung des dezimalen Zahlenwertes einer Dualzahl als Polynom ist sehr aufwendig, weil Potenzen von 2 ausgerechnet und addiert werden müssen.

Beispiel: Dualzahl 1011011₂ => Dezimalzahl

Stellenwerte	64 = 26	32 = 25	16 = 24	8 = 23	4 = 22	2 = 21	1 = 20
Ziffernwerte	1	0	1	1	0	1	1
Dezimalwerte	1 · 64	0 · 32	1 · 16	1 · 8	0 · 4	1 · 2	1 · 1
Summanden	64	0	16	8	0	2	1

Ergebnis: 1011011₂ = 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 91

Diese klassische Berechnung des Polynoms ist heute noch bei der Umrechnung von Dualzahlen in Schulen und Lehrbüchern üblich. Dazu braucht man Papier und Bleistift. Warum so kompliziert?

Einfache Methode:

Mit dem Horner-Schema ist die Berechnung wesentlich einfacher. Der Dezimalwert wird ohne Tabelle der Stellenwerte und ohne Bildung von Summanden berechnet. Diese Berechnung ist gegenüber der klassischen Berechnung des Polynoms wesentlich einfacher, sie läßt sich sogar durch "Kopfrechnen" bewältigen.

Beispiel: Dualzahl 1011011₂ => Dezimalzahl

[ ( ( ( ( ( 1 · 2 + 0 ) · 2 + 1 ) · 2 + 1 ) · 2 + 0 ) · 2 + 1 ) · 2 + 1 ] · 1 = [91] · 1 = 91

Der ausgerechnete Klammerausdruck [...] muß mit dem Stellenwert der letzten Ziffer multipliziert werden:

Bei Benutzung eines Taschenrechners mit arithmetischer Notation (zu erkennen an der Taste mit dem Gleichheitszeichen) werden die Klammern weggelassen und die Tasten in folgender Reihenfolge gedrückt, wobei man mit der am weitesten links stehenden 1 anfängt.

Hinweis: Hier gilt nicht der bei Gleichungen übliche Vorrang der Multiplikation vor der Addition, weil die Reihenfolge der Berechnung (abwechselnd Multiplikation und Addition) wesentlich ist. Die Zifferntasten [0], [1] und [2] und die Funktionstasten ([+], [×]) sind auf dem Taschenrechner abwechselnd nacheinander zu betätigen.

Für den Wert des obigen Klammerausdrucks [...] ergibt sich die Tastenfolge

[1] [×] [2] [+] [0] [×] [2] [+] [1] [×] [2] [+] [1] [×] [2] [+] [0] [×] [2] [+] [1] [×] [2] [+] [1] [=]

Nach dem Drücken der Taste [=] erscheint auf dem Taschenrechner das Ergebnis: 91.

Bei einem Taschenrechner mit "Umgekehrter Polnischer Notation (UPN)" (auch als "RPN" bekannt) sieht die Tastenfolge so aus:

[1] [ENTER] [2][×] [0][+] [2][×] [1][+] [2][×] [1][+] [2][×] [0][+] [2][×] [1][+] [2][×] [1][+]

Nach dem Drücken der [×]- bzw. [+]-Taste erscheint das jeweilige Zwischenergebnis. Dieses steht für die weitere Rechnung zur Verfügung.

Arbeiten mit dem Horner-Schema

Die nachstehende Merkregel für die Anwendung des Horner-Schemas erlaubt eine übersichtliche Aufschreibung mit Zwischenergebnissen:

Merkregel:

1.	Zuerst wird die Dualzahl auseinandergezogen hingeschrieben (siehe nachfolgende Darstellung mit Zahlenbeispiel).
2.	Die Berechnung beginnt links mit der ersten Dualziffer, diese wird mit der Basiszahl des Dualsystems B = 2 multipliziert (der Zeigefinger markiert diese Stelle).
3.	Dann erfolgt die Addition der zweiten Dualziffer.
4.	Die Zwischensumme wird wieder mit 2 multipliziert.
5.	Dann wird die nächste Dualziffer addiert.
6.	Ab jetzt wiederholt sich der Vorgang ab 4., bis aus der Addition der letzten Dualziffer das Endergebnis entsteht.

Zahlenbeispiel: Dualzahl 1011011₂=> Dezimalzahl

Die Dezimalzahl 91 ist das Ergebnis der letzten Addition. Dieses Ergebnis muß noch mit dem Stellenwert der letzten Ziffer multipliziert werden. Hier ist der Stellenwert 1, also entfällt dieser Abschlußschritt ausnahmsweise.

Diese ausführlich gezeigte Darstellung des Horner-Schemas ist in der Praxis sehr einfach auszuführen:

Beispiel: Dualzahl wie vor 1011011₂:

Jede Multiplikation mit 2 bzw. jede Addition verwendet das vorher errechnete Zwischenergebnis zur Weiterrechnung, mit den gezeigten (überflüssigen) Klammern sieht man dies sehr deutlich:

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1 · 2 ) + 0 ) · 2 ) + 1 ) · 2 ) + 1 ) · 2 ) + 0 ) · 2 ) + 1 ) · 2 ) + 1 = 91

oder ohne Klammern von links nach rechts berechnet (ohne Vorrang der Multiplikation nacheinander eingetippt):

1 (×2) + 0 (×2) + 1 (×2) + 1 (×2) + 0 (×2) + 1 (×2) + 1 = 91.

Anwendung des Horner-Schemas für "gebrochene" Dualzahlen

Das Horner-Schema ist auch für die Umrechnung "gebrochener" Dualzahlen (mit Kommastellen) geeignet. Hier muß darauf geachtet werden, daß zum Schluß noch mit dem kleinsten Stellenwert multipliziert wird.

Beispiel: Dualziffern wie vor, jedoch mit Komma 10110,11₂:

Der Wert der Dualzahl, der sich ohne Berücksichtigung des Kommas ergibt (= 91), muß noch dem Stellenwert der letzten Stelle, also mit 2^-2 = 0,25 multipliziert werden:
Ergebnis: 91 · 0,25 = 22,75

Auf eine ausführliche Darstellung wird hier aus Platzgründen verzichtet.

Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl

Um aus einer Dezimalzahl eine Dualzahl zu erhalten, wird das Horner-Schema in der umgekehrten Reihenfolge verwendet. Dabei wird die Dezimalzahl wiederholt durch 2 geteilt und der Rest abgespalten.

Merkregel:

1.	Ganzzahlige Dezimalzahl rechts hinschreiben;
2.	Diese Zahl durch 2 teilen, vom Ergebnis Kommastellen wegstreichen und immer auf eine ganze Zahl abrunden;
3.	Diese ganze Zahl links mit etwas Abstand neben die vorherige Zahl schreiben;
4.	Vorgang ab 2. mit der in 3. erhaltenen Zahl wiederholen, bis links die Zahl 1 erreicht ist;
5.	dann unter die geraden Zahlen eine 0 und unter die ungeraden Zahlen eine 1 schreiben.
6.	Die Reihe der Einsen und Nullen ist die gesuchte Dualzahl.

Ausführliches Schema:

Zahlenbeispiel: Dezimalzahl 91 => Dualzahl

Vereinfachtes Schema:

Beim vereinfachten Schema schreibt man unter die evtl. abgerundeten Halbierungsergebnisse der ersten Zeile eine 1, wenn es sich um eine ungerade (u) und eine 0, wenn es sich um eine gerade (g) Zahl handelt.

Beispiel: Dezimalzahl 91

Die umzurechnende Dezimalzahl 91 steht rechts in der ersten Reihe. Jede Zahl links vom Pfeil ist die abgerundete Hälfte der rechts vom Pfeil stehenden Zahl. Ist die Zahl gerade, wird ein g, ist sie ungerade, wird ein u daruntergeschrieben. Bei u ergibt sich ein Rest (= 1), bei g ergibt sich kein Rest (= 0). Die nebeneinanderstehenden Reste bilden die gesuchte Dualzahl.

1	<=	2	<=	5	<=	11	<=	22	<=	45	<=	91	<= Beginn
u		g		u		u		g		u		u	gerade/ungerade
1		0		1		1		0		1		1	Dualzahl

Fertig ist die Dualzahl: 1011011₂

Oktalzahlen und Sedezimalzahlen

Eine längere Dualzahl kann man sich schlecht merken. Die Binärdarstellungen von Dualzahlen im Computer, die sogenannten Bitmuster, werden deshalb auf dem Bildschirm für den menschlichen Leser meist in Oktal- oder Sedezimal-Darstellung gezeigt, weil sie so vom Auge leichter aufgenommen werden können:

• Oktalsystem (lat.: octo = 8) mit der Basiszahl B = 8 oder
• Sedezimalsystem (lat.: Sedecim = 16) mit der Basiszahl B = 16 dargestellt.

Diese Zahlendarstellungen haben wesentlich weniger Stellen als die Dualdarstellung.

Man sagt zu den Sedezimalzahlen auch Hexadezimalzahlen oder kurz Hexazahlen. Das ist sprachlich nicht richtig, weil griechische und lateinische Bezeichnungen gemischt werden:
Griechisch: hex = 6, lat.: decim = 10, also auch 6 + 10 = 16) .

Merkregel:

1.	Um eine Dualzahl in oktaler oder sedezimaler Form darzustellen, wird sie von rechts her in Dreier- (23 = oktal) bzw. Vierergruppen (24 = sedezimal) aufgeteilt.
2.	Diese Gruppen zu drei bzw. vier Dualziffern werden in Dezimalzahlen umgerechnet (nach Horner), die die Ziffernwerte des Oktal- bzw. Sedezimalsystems ergeben.
3.	Die folgenden zwei nebeneinanderstehenden Tabellen zeigen diesen Zusammenhang.

Tabellen:

Tabelle für das Oktalsystem			Tabelle für das Sedezimalsystem (Hexadezimalsystem)
Ziffer	Wert	Dreier- gruppe	Ziffer	Wert	Vierer- gruppe	Ziffer	Wert	Vierer- gruppe
0	0	000	0	0	0000	8	8	1000
1	1	001	1	1	0001	9	9	1001
2	2	010	2	2	0010	A	10	1010
3	3	011	3	3	0011	B	11	1011
4	4	100	4	4	0100	C	12	1100
5	5	101	5	5	0101	D	13	1101
6	6	110	6	6	0110	E	14	1110
7	7	111	7	7	0111	F	15	1111

Beim Oktalsystem sind Ziffer und Ziffernwert der 8 Ziffern 0 bis 7 identisch. Beim Sedezimalsystem sind 16 Ziffernzeichen mit den Ziffernwerten 0 bis 15 erforderlich. Die beim Dezimalsystem vorhandenen Ziffernzeichen 0 bis 9 reichen dafür nicht aus, deshalb werden noch die ersten sechs Buchstaben des Alphabets dazugenommen (Groß- oder Kleinbuchstaben). Die entsprechenden Ziffernwerte 10 bis 15 sind den Buchstaben A bis F (oder a bis f) zugeordnet. Sie sind im rechten Teil der Sedezimaltabelle zu sehen.

Umwandlung Dual - Oktal - Hexa

Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Umwandlung der Zahlendarstellung von Dualzahlen in Oktal- und Sedezimalzahlen. Von einer "Umrechnung" kann man nicht mehr sprechen, weil kaum etwas gerechnet wird. Man verwendet die oben gezeigte Gruppierung.

Umwandlung Dualzahl <==> Oktalzahl

Beispiel: gegeben: Dualzahl mit 16 Stellen: 1101011100011111₂

Die Dualzahl wird in 3-er-Gruppen geteilt: (00)1 101 011 100 011 111₂, die Gruppen sind die Oktalziffern nach obiger Tabelle, daraus ergeben sich die Ziffern der Oktalzahl 153437₈ .

Die Dualzahl wurde links durch zwei Nullen ergänzt, damit die linke Dreiergruppe komplett ist. Das Ergebnis der Umwandlung ist eine Oktalzahl 153437₈, die nur 6 Stellen hat (Dezimalwert = 55071).

Umwandlung Dualzahl <==> Sedezimalzahl

Wird obige Dualzahl in eine Sedezimalzahl umgewandelt, so hat diese nur mehr 4 Stellen.

Beispiel: gegeben: Dualzahl (wie oben) mit 16 Stellen: 1101011100011111₂

Die Dualzahl wird in 4-er-Gruppen geteilt: 1101 0111 0001 1111₂, für diese Gruppen sind die Sedezimalziffern nach obiger Tabelle zu schreiben, daraus ergibt sich die Sedezimalzahl D71F₁₆.

Umrechnung von Oktal- und Sedezimalzahlen in Dezimalzahlen

Nicht nur bei der Umrechnung von Dualzahlen, sondern auch von Oktal- und Sedezimalzahlen ins Dezimalsystem ist das Horner-Schema sehr hilfreich. Anstelle der Multiplikation mit 2 (Basis des Dualsystems) wird beim Oktalsystem mit 8 (Basis des Oktalsystems) und beim Sedezimalsystem mit 16 multipliziert. Das Schema der abwechselnden Multiplikationen und Additionen bleibt gleich.

Beispiel: Oktalzahl 153437₈=> Dezimalzahl

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 1 · 8 ) + 5 ) · 8 ) + 3 ) · 8 ) + 4 ) · 8 ) + 3 ) · 8 ) + 7 ) · 1 = 55071

Per Kopfrechnen oder mit dem Taschenrechner (arithmetische Notation, ohne Vorrang der Multiplikation):

1 × 8 + 5 × 8 + 3 × 8 + 4 × 8 + 3 × 8 + 7 × 1 = 55071

Die letzte Multiplikation mit dem kleinsten Stellenwert (hier 8⁰ = 1) darf nicht vergessen werden. In diesem Fall ist es die Zahl 1, trotzdem sollte man sich angewöhnen, den letzten Schritt nicht wegzulassen.

Beispiel: Sedezimalzahl D71F₁₆ => Dezimalzahl

Da man nicht mit Buchstaben rechnen kann, müssen vor der Verwendung des Horner-Schemas die entsprechenden Ziffernwerte der Sedezimalziffern angeschrieben werden.

Ziffer	D	7	1	F
Ziffernwert	13	7	1	15

Berechnung: ( ( ( ( 13 ·16 ) + 7 ) ·16 +1 ) · 16 + 15 ) · 1 = 55071

Mit dem Taschenrechner oder im Kopf (ohne Vorrang der Multiplikation):

13 ×16 + 7 ×16 + 1 × 16 + 15 × 1 = 55071

Die Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Zahl eines beliebigen Zahlensystems

Jede Dezimalzahl kann nach dem umgekehrten Horner-Schema direkt in eine Zahl eines beliebigen Zahlensystems umgerechnet werden. Leider ist es nicht so einfach, daß nur die Reste 0 oder 1 abgespalten werden müssen, wie es beim Dualsystem gezeigt worden ist. Hier müssen die Reste berechnet werden, was zwar einen Rechenvorgang mehr erfordert, aber auch schematisch durchgeführt werden kann. Dies führt zu einer Merkregel, die für alle Zahlensysteme gilt:

Merkregel

zur Umrechnung einer Dezimalzahl in eine Zahl des Zahlensystems mit der Basis B:

1.	Dezimalzahl rechts hinschreiben;
2.	Zahl durch die Basiszahl B des Zahlensystems teilen;
3.	Ganzzahligen Anteil des Quotienten links neben die vorherige Zahl schreiben;
4.	Dezimalteil (Kommastellen) des Quotienten mit B multiplizieren, dieses Produkt ist der gesuchte Rest, dieser wird unter die Zahl geschrieben;
5.	Vorgang ab 2. mit der in 3. ermittelten Zahl wiederholen, bis links die Zahl kleiner als B ist;
6.	Die nach 4. berechneten Reste sind die Ziffernwerte des Zahlensystems B, für die nötigenfalls (bei B > 10) die Ziffernzeichen hinzuschreiben sind.

Beispiel: Dezimalzahl 55071 => Sedezimalzahl

Berechnungsrichtung von rechts nach links:

Zahlenreihe	(0)	13	215	3441	55071
Divisor B =		16	16	16	16
Reste		13	7	1	15
Ziffernzeichen		D	7	1	F

Ergebnis: Sedezimalzahl D71F₁₆

Die Berechnung noch einmal ausführlich:

55071 : 16 = 3441,9375; Rest = 0,9375 · 16 = 15 (F)

3441 : 16 = 215,0625; Rest = 0,0625 · 16 = 1 (1)

215 : 16 = 13,4375; Rest = 0,4375 · 16 = 7 (7)

keine Berechnung, weil 13 < B. Der linke Ziffernwert wird übernommen = 13 (D)

Ergebnis: D71F₁₆

Negative Dualzahlen

Dualzahlen können wie jede andere in Stellenschreibweise dargestellte Zahl, rein mathematisch, durch Vorsetzen eines negativen Vorzeichens (Minuszeichen) als negative Zahlen dargestellt werden.

Beispiel:

Aus 1111111₂ = 127₁₀ wird durch Vorsetzen eines Minuszeichens -1111111₂= -127₁₀

Aber Vorsicht, das gilt nur rein mathematisch!

Im Computer gibt es keine Vorzeichen. Das Rechenwerk in der Zentraleinheit des Computers kennt nur logische Zustände der einzelnen Bits.

Wenn es sich um eine negative Zahl in Binärdarstellung handelt, wird das linke Bit einer Zahl gesetzt (Bitwert = 1). Der Zahlenwert einer negativen Zahl wird im Computer nicht in der bisher beschriebenen Stellenschreibweise der Dualzahlen dargestellt, sondern als Zweier-Komplement.

Ersetzt man im obigen Beispiel das Vorzeichen der 7-stelligen Zahl -1111111₂ durch den Bitwert 1, so ergibt sich das achtstellige Bitmuster 11111111. Dieses Bitmuster stellt jedoch nicht die Zahl -127, auch nicht die Zahl +255, die sich aus der Berechnung als einer achtstelligen Dualzahl ergeben würde, sondern die Zahl (-1) im Zweier-Komplement des achtstelligen Bitmusterbereichs (8-Bit-Maschine) dar.

Aus Platzgründen wird hier nicht näher darauf eingegangen.

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