Zeitrechnung

Umrechnung Kalenderdatum in Julianisches Datum und umgekehrt
mit dem HP 49G

Die hier verwendete Notation ist in einem gesonderten Beitrag zusammengestellt.

Inhalt:

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Einleitung

Im Beitrag "Zeitfunktionen im HP 49G" wird auf die historisch bedingten Grenzen der Zeitfunktionen des HP 49G hingewiesen. Der gültige Datumsbereich des HP 49G läuft vom 15.10.1582 bis 31.12.9999 (9999 ist das letzte Jahr mit vierstelliger Schreibweise!). Innerhalb dieser Grenzen können alle Datumsberechnungen mit den Zeitfunktionen des HP 49G durchgeführt werden.

Für astronomische Zeitberechnungen sind die Zeitfunktionen des HP 49G nicht geeignet. Der Bereich vom Jahr 1582 bis zum Jahr 9999 ist dafür viel zu klein. Hier muß man die von den Astronomen verwendete Julianische Tageszählung ("Julianisches Datum" = JD) heranziehen.

Die Formeln zur Umrechnung in Datum und Uhrzeit und umgekehrt sind seit Jahrhunderten bekannt. Auf sie wird im genannten Beitrag lediglich verwiesen, aber nicht darauf eingegangen.

Hier sollen nun die Formeln für die Berechnung des JD aus einem Kalenderdatum (und umgekehrt) gezeigt werden. Außerdem werden die entsprechenden Programme für den HP 49G zur Verfügung gestellt.

Geschichtliches

Das Kalenderjahr

Das astronomische (tropische) Jahr bestimmt die Jahreslänge für unseren Kalender. Es ist die Zeitdauer von einem Frühlingsbeginn bis zum nächsten, die genau 365,24219879 Tage beträgt.

Astronomisches (tropisches) Jahr = 365,24219879 Tage

Der Frühlingsbeginn wird durch die Bahnebene der Erdumlaufbahn bestimmt. Die Bahnebene der Erde kreuzt die Ebene des Himmelsäquators in zwei Punkten, von denen der eine "Herbstknoten" und der andere "Frühlingsknoten" genannt wird. Frühlingsbeginn ist genau der Zeitpunkt, wenn sich die Sonne (von der Erde aus gesehen) im Frühlingsknoten befindet und auf die Nordseite des Äquators wechselt.

Der bis 1582 gültige Julianische Kalender rechnete mit einer Jahreslänge von im Mittel 365,25 Tagen.

Julianisches Jahr = 365,25 Tage

Das Kalenderjahr war im Mittel also länger als das astronomische Jahr.

Die Gregorianische Kalenderreform

Das echte Kalenderjahr kann nur eine Anzahl von ganzen Tagen haben. Die Länge eines Jahres in ganzen Tagen läßt sich nur durch Schalttage variieren, die in sogenannten Schaltjahren eingefügt werden. Der Julianische Kalender fügte alle vier Jahre einen Schalttag ein, jedes vierte Jahr wurde also zum Schaltjahr. So erreichte man die mittlere Länge eines Kalenderjahres von 365,25 Tagen. Zur genauen astronomischen Jahreslänge blieb eine positive Differenz, die immer größer wurde.

Der echte (astronomische) Frühlingsanfang (Tag-und-Nacht-Gleiche) bewegte sich deshalb im Laufe der Jahrhunderte immer weiter vom kalendermäßigen Frühlingsanfang weg. Im Jahre 1582 machte dieser Kalenderfehler bereits 10 Tage aus. Der astronomische Frühlingsanfang war 1582 schon am 11. März und nicht (wie es sein sollte) am 21. März. Deshalb wurden auf Anordnung des Papstes Gregor XIII. diese 10 Tage einfach herausgeschnitten. Auf Donnerstag, den 4.10.1582, ließ man Freitag, den 15.10.1582, folgen. Der 15.10.1582 ist der erste Tag des neuen Gregorianischen Kalenders, der noch heute weltweit verwendet wird.

Mit einem Maßband kann man sich diese Korrektur bildlich vorstellen: Man schneidet die Maßzahlen 5 bis 14 heraus, dann die folgt auf die Maßzahl 4 gleich die Maßzahl 15.

Aber nicht nur die überschüssigen Tage wurden aus dem Kalender herausgenommen, sondern auch die mittlere Länge des Kalenderjahres wurde durch eine neue Schaltjahrregel an das tropische Jahr angepaßt.

Schaltjahr ist nun jedes Jahr, dessen Jahreszahl
  • durch 4, aber nicht durch 100,
  • oder durch 400

teilbar ist

Das Kalenderjahr hat jetzt im Mittel die Länge: 365 + 1/4 - 1/100 + 1/400 = 365,2425 Tage.

Gregorianisches Jahr = 365,2425 Tage

Der Unterschied zum tropischen Jahr beträgt jetzt nur mehr 0,00030121 Tage, also noch 26 Sekunden pro Jahr. Erst in 3320 Jahren beträgt die Differenz wieder einen Tag.

Zur Korrektur dieser verbliebenen Differenz schlug der deutsche Astronom N. Heis vor, alle 3200 Jahre einen Schalttag wegzulassen. Das Kalenderjahr wäre dann 365,2421875 Tage lang und würde sich in der Länge kaum mehr vom tropischen Jahr unterscheiden.

Kalenderumrechnungen

Da die Kalenderreform nicht auf den Stichtag genau überall auf der Welt durchgeführt wurde, sondern der Julianische Kalender vielerorts noch bis ins 19. Jahrhundert verwendet wurde, muß man für die Jahre nach 1582 zwischen dem Julianischen und Gregorianischen Kalender hin- und herrechnen, wenn man die geschichtlichen Daten und Zeitangaben vergleichen und zuordnen will.

Die Umrechnung soll hier nicht behandelt werden, sondern hier soll die bei Astronomen übliche Julianische Tageszählung (Julianisches Datum = JD) näher betrachtet werden.

 

Das Julianische Datum

Tageszählung

Das Wort "julianisch" für die Tageszählung der Astronomen ist etwas unglücklich gewählt, weil man meinen könnte, es sei damit der nach Julius Caesar benannte Julianische Kalender gemeint. Die Bezeichnung "julianisch" geht aber auf Joseph Justus Scaliger (1540 - 1609) zurück, der das "Julianische Datum (JD)" (als Numerierung) 1582 einführte.

Um möglichst große Zeiträume rechnerisch ohne negative Zeitargumente bewältigen zu können, legte er den Nullpunkt dieser Zählung weit in die Vergangenheit zurück. Scaliger führte eine durchgehende Zeitachse ein, deren Skala am Montag, dem 1. Januar 4713 vor Chr., um 12.00 Uhr ihren Nullpunkt hat (JD = 0). Warum er für seine Skala gerade diesen Nullpunkt wählte, hängt von vielen Einzelheiten ab (z.B. Wochentage, Sonnenzirkel, Mondzirkel, Epakten, Osterzyklus, Scaligerzyklus), auf die hier nicht eingegangen wird.

Auf dieser Skala kann man für jedes beliebige Kalenderdatum eine Tagesnummer, das JD, ausrechnen. Das JD beginnt mittags um 12.00 Uhr. Die Uhrzeiten werden als Bruchteile des Tages angegeben, die ab 12.00 Uhr gerechnet werden. Abends 18.00 Uhr bekommt z.B. die Nummer JD + (18-12)/24 = JD + 0,25. Umgekehrt kann man auch aus dem JD auf das Kalenderdatum zurückrechnen.

Die Kalenderjahre vor dem 4.10.1582 haben eine Länge von 365,25 Tagen (Julianische Jahre) und die Kalenderjahre nach dem 15.10.1582 haben im Mittel 365,2425 Tage (Gregorianische Jahre).

Das Kalenderdatum ist aufgrund der unterschiedlich langen Kalenderjahre für genaue Berechnungen nicht zu gebrauchen. Die Skala mit dem JD dagegen ist gleichförmig und genau. Auf dieser Skala werden Tage (genauer: mittlere Sonnentage zu 24 Stunden) als genaue Maßeinheit verwendet. Auf diese Weise lassen sich astronomische und geschichtliche Ereignisse zeitlich genau zuordnen. Die Wochentagszählung läuft auf dieser Skala ungestört durch.

Jahreszahlen

Unsere Zeitrechnung zählt die Jahre "ab Christi Geburt = n.Chr.". Die Jahre davor zählen ab diesen Zeitpunkt rückwärts und bezeichnen die Jahre "vor Christi Geburt = v.Chr.". Die Skalen stoßen mit ihren Anfängen direkt aneinander. Auf das Jahr 1 v. Chr. folgt sofort das Jahr 1. n.Chr. Das Jahr "Null" kommt dort nicht vor (siehe nachfolgende Tabelle, 1. Zeile).

Die Mathematiker helfen sich, indem sie die Zählung "n.Chr." identisch übernehmen. Um mit einer Zeitgeraden im Bereich "v.Chr." rechnen zu können, fügen sie das Jahr Null ein und erstellen mit negativen Jahreszahlen eine mathematische Zahlengerade, die beliebig in die Vergangenheit reicht (siehe nachfolgende Tabelle, 2. Zeile).

chr. Jahreszählung 4 v.Chr. 3 v.Chr. 2 v.Chr. 1 v.Chr. 1 n.Chr. 2 n.Chr. 3 n.Chr.
math. Jahreszahl -3 -2 -1 0 1 2 3

Merkregel:

1 - (Jahreszahl v.Chr.) = negative Berechnungsjahreszahl Y
Jahreszahl n.Chr. = positive Berechnungsjahreszahl Y

Beispiele:

Überprüfung geschichtlicher Ereignisse

Aufgrund von astronomischen Ereigissen, die geschichtlich belegt sind und die unsere moderne Astronomie nachrechnen kann, werden geschichtliche Zeitangaben überprüfbar. Der "Stern von Bethlehem", der die Magier aus dem Morgenland nach Bethlehem führte, war eine besonders lange Konjunktion von Jupiter und Saturn im Sternbild der Fische, eine außerordentliche Himmelserscheinung, die nur alle 854 Jahre auftreten kann. Als die Magier im November 7 v.Chr. von Jerusalem aus nach Bethlehem aufbrachen, sahen sie in ihrer Reiserichtung Jupiter und Saturn ganz nahe zusammen als hellen Stern. Am 12. November 7 v.Chr. war der Höhepunkt dieser Erscheinung, sie erreichten gerade Bethlehem. Aufgrund der Tatsache, daß zu diesem Zeitpunkt Christus schon geboren sein mußte, berechnete man den Zeitpunkt der Geburt Christi, der nach dieser Rechnung auf 12. August 7 v.Chr. datiert wird.

Den Beginn der Sintflut hat man aufgrund verschiedener geschichtlicher und biblischer Übereinstimmungen auf den 18. Februar 3102 v.Chr. datiert.

 

Die Formeln für das Julianische Datum

Es gibt viele Bücher, in denen Tabellen und Formeln für die Berechnung des JD zu finden sind. Die einfachste Form der Berechnung von JD und Rückrechnung auf das Kalenderdatum fand ich im Buch "Grundlagen der Ephemeridenrechnung" von Oliver Montenbruck aus dem Jahre 2001 (ISBN 3-87973-941-2). Die dort angegebenen Formeln lassen sich sehr einfach für den HP 49G programmieren.

Berechnung des JD aus dem Kalenderdatum

Das Julianische Datum (JD) ist definiert als die Anzahl der Tage,
die seit dem 1. Januar 4713 v.Chr. (= 01.01.-4712) 12 Uhr mittags Weltzeit vergangen sind.

Bezeichnungen

Bezeichnung Bedeutung
JD Julianisches Datum
D.M.Y Kalenderdatum, wobei bedeuten:
D Tag im Monat: 1 ...28, 29, 30, oder 31
M Monat im Jahr: 1 ... 12
Y Jahreszahl auf der mathematischen Zeitgeraden
(siehe Merkregel)
UT Weltzeit

 

Hilfsgrößen

y = Y - 1.0 und
m = M + 12.0		 falls M kleiner oder gleich 2
y = Y und
m = M		 falls M > 2
B = -2.0 bis einschließlich 04.10.1582
B = floor(y/400.0) - floor(y/100.0) ab einschließlich 15.10.1582

Die Funktion floor(x) berechnet die größte ganze Zahl, die kleiner (oder gleich) x ist:

Beispiele: (Hier wird der Dezimalpunkt verwendet)

floor(3.2) = 3.0
floor(-3.2) = -4.0.

Mit obigen Hilfsgrößen gilt:

JD = floor(365.25 · y) + floor(30.6001 · (m+1)) + B + 1720996.5 + D + UT/24

Da hier beim HP49-Programm das JD immer für die Uhrzeit 12.00 Uhr (Tagesbeginn des JD, siehe obige Definition des JD) berechnet werden soll, vereinfacht sich die Formel:
1720996.5 + D + 12/24 = 1720997.0 + D.

JD = floor(365.25 · y) + floor(30.6001 · (m+1)) + B + 1720997.0 + D

 

Berechnung des Kalenderdatums aus dem JD

Hilfsgrößen

a = floor(JD + 0.5)  
c = a + 1524.0 falls a < 2299161
b = floor((a - 1867216.25)/36524.25) und
c = a + b - floor(b/4) + 1525.0		 falls a größer oder gleich 2299161
d = floor((c - 122.1)/365.25)  
e = floor(365.25 · d)  
f = floor((c - e)/30.6001) 30.6001 darf nicht durch 30.6 ersetzt werden

Damit gilt:

D = c - e - floor(30.6001 · f ) + frac( JD + 0.5 )

M = f - 1.0 - 12.0 · floor( f / 14.0 )

Y = d - 4715.0 - floor( ( 7.0 + M ) / 10.0 )

Der letzte Term frac( JD + 0.5 ) der Gleichung für D berechnet den Nachkommateil einer reellen Zahl, also den Tagesbruchteil (Uhrzeit) des Kalendertags, der um Mitternacht beginnt.

Beispiel:

D = 23.5 bezeichnet den 23. eines Monats, wobei 0.5 = ½ Tag = mittags 12.00 Uhr bedeutet.

Im Programm wird dieser (rot markierte) Term weggelassen, weil hier als Uhrzeit des JD immer 12.00 Uhr gilt. Bruchteile von Tagen würden nur stören, weil man beim Kalenderdatum nur ganze Tage erwartet. Für astronomische Berechnungen, wenn es auf die Uhrzeit ankommt, kann man diesen Term in das Programm einfügen.

Ein bestimmter Kalendertag hat das Julianische Datum: (JD - 0.5) bis (< JD + 0.5).

Beispiel:

JD: 2452070.5 bis < 2452071.50 ist der 10.06.2001 von 0.00 Uhr bis < 24 Uhr .
Die Formeln für D, M, Y berechnen für diesen Zeitraum das richtige Kalenderdatum, den 10.06.2001, lediglich die Uhrzeit wird nicht angegeben.

Berechnung des Wochentags aus dem JD

Da die Tageszählung beim JD ab Montag, dem 1. Januar 4713 v.Chr. (= 1.1.-4712) ungestört durchläuft, ist die Berechnung des Wochentags aus dem JD sehr einfach.

Man rechnet die seitdem vergangenen Tage modulo 7. Für den 1.1.-4712 ist JD = 0 und (JD modulo 7) = 0.

In der in Europa üblichen Liste der Wochentage {"Mo" "Di" "Mi" "Do" "Fr" "Sa" "So"}hat der Montag die Nummer 1. Um den richtigen Wochentag zuzuordnen, muß man 1 addieren um für JD = 0 den Montag auszuwählen. Der "So" hat in der Liste die Nr. 7 und bekommt dann modulo 7 die Nummer 0.

Wochentagsnummer = Position in der Liste {"Mo" "Di" "Mi" "Do" "Fr" "Sa" "So"} =

Wochentagsnummer aus JD = ( floor(JD + 0.5) mod 7) + 1

Auch die Wochentagsberechnung berücksichtigt die Tagesbruchteile des JD und ordnet sie dem richtigen Wochentag zu.

 

HP49-Programme für die Zeitrechnung

Für den HP 49G wird das HP49-Verzeichnis JULDAT angeboten:

Downloadgröße: 2669 Bytes
Größe auf dem HP 49G: 2455.5 Bytes
Checksum: #19963d

Es sind folgende Programme enthalten:

Programmname Beschreibung Eingabe in Stack Ausgabe
DMYJD Berechnung des JD
aus Kalenderdatum
(für 12.00 Uhr)		 D als Zahl
M als Zahl
Y als Zahl (gemäß
obiger Merkregel)		 JD (als Ganzzahl)
JDDMY Berechnung des
Kalenderdatums
aus dem JD		 JD D als Zahl
M als Zahl
Y als Zahl (gemäß
obiger Merkregel)
JDWOT Berechnung des
Wochentags aus JD		 JD Wochentag als String
"Mo", "Di", usw.

Die Programme laufen im RPN-Modus. Die Einstellung bestimmter Flags ist nicht erforderlich.

Die Programme enthalten Plausibitätsprüfungen zur Überprüfung der Eingaben. Bei fehlerhaften Eingaben wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Sind die Eingaben in Ordnung, erscheint das Ergebnis, die Eingaben im Stack bleiben erhalten, damit eine Nachprüfung möglich ist.

Hinweis: Die Plausibilitätsprüfungen fangen nicht alle Falscheingaben ab. Für die Monatslängen werden grundsätzlich bis zu 31 Tage akzeptiert, weil dadurch keine Falschberechnungen entstehen können.

Beispiel:

Eingabe 31 2 2000 (für das nicht existierende Kalenderdatum 31.02.2000).
Dafür ergibt sich mit DMYJD das JD = 2451606.
Eine Rückrechnung mit JDDMY ergibt den 02.03.2000.

Das Ergebnis ist logisch, denn der Monatsletzte im Februar ist der 29., der 2. März.wäre somit der 31. Februar.

Beispiel mit DMYJD

Zu berechnen ist das JD für das Kalenderdatum 10.06.2001.
Die Eingaben von

zeigt Bild 1. Die Zahlen können sowohl als Integer (ohne Dezimalpunkt) wie auch als Dezimalzahl eingegeben werden.

Das Programm DMYJD (Funktion: DMY => JD) berechnet das JD,
Bild 2 zeigt die Ausgabe: JD:2452071.
Dieses Ergebnis ist mit dem TAG "JD:" (engl.: tag = Etikett, Schild) versehen, das aber bei der weiteren Verwendung der Zahl nicht stört.

Bild 1:
 Bild 2:

Beispiel mit JDWOT

Das JD von Bild 2 wird als Eingabe für die Berechnung des Wochentags mit dem Programm JDWOT verwendet (Funktion: JD => WOT). Das Ergebnis zeigt Bild 3.

Bild 3

Beispiel mit JDDMY

Für das oben berechnete JD soll das zugeordnete Kalenderdatum berechnet werden. Die Zahl 2452071 wird in den Stack gestellt (dieses Mal ohne Dezimalpunkt, siehe Bild 4) und das Programm JDDMY (Funktion: JD => DMY) aufgerufen. Das Ergebnis zeigt Bild 5

Bild 4:
 Bild 5:

 

Schlußwort

Das Thema Zeitrechnung enthält noch wesentlich mehr Probleme als nur die Umrechnung vom Kalenderdatum in Julianisches Datum und umgekehrt.

Interessant für viele Leute ist die Berechnung des Osterdatums und der Mondphasen. Daraus ergeben sich nach dem christlichen Kalender die beweglichen Feiertage des Jahres.

Zur Zeitrechnung gehören auch die anderen Kalender mit den entsprechenden Jahresanfängen:

Die Zeitrechnung bietet Stoff für ein intensives Studium der Kalenderwissenschaft (Chronologie).

Hier in diesem Beitrag sollten nur die Zusammenhänge des Julianischen Datums mit dem Kalenderdatum näher erläutert und die Formeln für die Umrechnung gezeigt werden.

Ausführlichere Angaben findet man in der erwähnten Dokumentation für Amateurastronomen des Autors .

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