PROCESOS ESTOCASTICOS.
Por Walter
Eduardo Bonilla
El programa
esta basado en responder a las necesidades de una materia llamada
“Métodos
Probabilisticos” , por ende da varios pasos intermedios que se piden
en sea materia y que no proveen otros programas .
Para instalar la librería , bájala a tu calculadora y luego guárdala en el puerto 2.
Para acceder
a la librería lo puedes hacer a través de
de la forma habitual y veras un directorio llamado Prob
ahí observaras el comando menu5 que te lleva al menú
principal , y también veras 10 comandos :
Estos comandos
se pueden acceder desde las ventanas internas del programa , lo que permite
recordar fácilmente que argumentos entrar y en que orden , en lo personal a veces tengo problemas en recordar de memoria que
argumentos entrar y en que orden , especialmente como en el caso de las
distribuciones que se manejan varios programas.
Pero si tu
prefieres comandos que se corren desde las teclas de función , acá listo los
argumentos que se deben entrar y en que orden :
INVZ -------- 1
: a
INVT -------- 2 :
Grados de Libertad
1 : a
INVF -------- 3:
Grados de Libertad 1
2: Grados de Libertad 2
1: a
INVC -------- 2:
Grados de Libertad
1: a
DBINO ----- 3:
n 2: p 1: x
DPOIS ------ 2: l 1: x
åBINO ----- 3: n
2: p 1: x
åPOIS
------- 2: l 1: x
DGAMA ---- 3: a 2: b 1: x
DBETA ----- 3: a 2: b 1: x
Estos comandos obtienen
respectivamente :
las inversas de las
distribuciones : normal , t , F , Chi^2
, La distribución binomial y Poisson valores
puntuales y
, La distribución binomial y Poisson valores
acumulados.
Estos comandos se
pueden acceder también desde CAT
También se puede llamar el programa
desde el menú de Estadística que viene de Fabrica en la calculadora :
Al hacerlo
de esta forma observaras lo siguiente :
MENU
PRINCIPAL.
El menú principal
consta de las siguientes opciones :
Distribuciones
Regresiones
Anva – Anova
Cuadrados
Latinos
Lmts Confn
LR-Vlrs In
Pruebas CHI^2
Matriz
Estocastica
DISTRIBUCIONES.
El menú que
observaras en esta parte es :
Las
distribuciones Normal , t , Chi^2 , F .
Se encuentran afuera de la categoría Variable Aleatoria Continua por ser estas
de frecuente uso .
Dentro de la
opción de :
Distribuciones de Variables Aleatorias Continuas
Es necesario recordar :
FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (
f(x) )
Es aquella que
rige la distribución de probabilidad sobre el eje de las abscisas.
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ( F(x) )
Es aquella que
permite evaluar la probabilidad acumulada entre el origen de la función y un
punto x cualquiera dentro del recorrido.
NOTA : Función de densidad da valor puntual , función de
distribución da valor acumulado.
Se procede a
mostrar un ejemplo , solo se dará uno puesto que las demás distribuciones
tienen similar procedimiento , se selecciona la distribución de Poisson por ser
esta de uso común :
Se omiten
las formulas del desarrollo
Se sabe que el numero promedio de llamadas
telefónicas a una central es de 150 llamadas entre las 10 y 11 horas
A ) Determinar la probabilidad que entre las 10:55 y las
10:56
Haya una sola llamada
B) Se den menos de 8 llamadas
Distribución de Poisson : no es Binomial por que es menor de
100 y no dan probabilidad
Primero encuentro lambda , entonces tengo que encontrar el
promedio de llamadas por minuto
Lambda = 150 / 60 = 2.5
Sea x = numero de
llamadas por minuto
A)
P(x=1) con el
programa se encuentra = 0.2052
(20.52%)
B)
P(x<8) = P(x\< 7) = con el programa se
encuentra
= 0.99575
= 99.58 %
REGRESIONES.
En esta parte
encontraras muchas formas de representar una masa de datos con una formula
matemática.
Recuerda los
criterios para discernir cual es la mejor regresión :
La menor
desviación típica de la estima y el mayor valor de coeficiente de correlación.
Menú Principal de esta sección :
Un Problema Típico seria :
La Resistencia a la tensión ( X4) ,en gramos de una fibra
sintética se ve afectada por el tiempo de secado (X1) en minutos ; la
temperatura de secado (X2), en grados Fahrenheit y el porcentaje de algodón
(X3) en la fibra
X4 : 213 220 216
234 230 235 238 230 236
231 243 242
X1 : 2 2.3 2.4
2.5 3 3.4 3.5 3.4
4 4.1 4.2
4.3
X2 : 145 140 141
146 138 135
136 137 141
142 144 147
X3 : 13 15 14
17 18 20
19 21 20
16 17 18
Con base a la información anterior realice el siguiente
trabajo
a)
Determine una función de ajuste por el método de
mínimos cuadrados
b)
Calcule la desviación típica sesgada
c)
Calcule el coeficiente de correlación total
d)
Calcule los coeficientes de correlación parcial
e)
Proyecte la resistencia de la fibra cuando el tiempo
de secado asume los valores indicados en la tabla
f)
A su criterio ,cuales son las variables mas
influyentes en el proceso?
g)
Interprete los resultados obtenidos anteriormente
A)Calcule todos los elementos del problema anterior ,
utilizando la función de ajuste mediante los coeficientes de correlación de
orden cero
B)Calcule la función aplicando el cambio de variables al
punto que pasa por las medias aritméticas
C)Calcule la función utilizando el calculo de los valores de
aij
ANVA -
ANOVA.
Recuerde que
ANVA nos sirve para comparar medias aritméticas (poblacionales) a través de las
varianzas.
Ejemplo de ANVA
(ANOVA) :
1) n IGUALES :
2) n DESIGUALES :
En
el programa de ANVA – una via n desiguales , se introduce en el campo de
“Matriz” los datos
anteriores y en los que no aparecen datos se introduce un cero y en
el campo de “Lista de n” se introduce el numero de datos por
fila , para el ejemplo anterior
se introduce : { 6 9
7 }
ANÁLISIS DE VARIANZA (ANVA)
CLASIFICACION EN DOS
VIAS.
Estos son
algunos ejemplos que se pueden hacer fácilmente con los programas de la
librería
CUADRADOS LATINOS.
Ejemplo :
Se realiza muestreo
en placas de Estaño las cuales se distribuyen en 4 laboratorios.
Nos interesa las diferencias sistemáticas en
los pesos de los recubrimientos de estaño en la dirección del laminado así como
en la dirección transversal a esta .
Para eliminar
esas dos fuentes de variabilidad , cada una de dos hojas de placa de estaño se
divide en 16 partes representando 4 posiciones transversales y 4 posiciones a
lo largo de la dirección del laminado . Luego 4 muestras de cada hoja se envían
a cada uno de los laboratorios : A , B , C , D
Como se muestra a continuación y se determinan los pesos
resultantes de los recubrimientos de estaño
Replica I
Replica II
Determine a partir
de esos datos si los laboratorios obtuvieron resultados consistentes.
También
determine si hay diferencias de los pesos del recubrimiento de las direcciones
transversales y longitudinales del laminado y si los métodos utilizados dan
resultados iguales
Use un
nivel de significación del 5%
Este problema
se resuelve con el programa : Matriz 4
n = 4 ; r = 2
; los datos de la matriz se introducen : las dos replicas a la par , es
decir introduzca una matriz de 4 por 8
; se introduce las listas de valores de cada letra
Nótese que :
Tratamientos --------à Laboratorios.
Filas
--------------------à Dirección
Transversal.
Columnas -------------àDirección Longitudinal.
Replicas ---------------à Método.
CALCULO DE LOS
LIMITES DE CONFIANZA PARA LA
LINEA RECTA DE
REGRESIÓN Y LAS
ESTIMACIONES INDIVIDUALES.
ANÁLISIS MUESTRAL.
Ejemplos de Calculo de los limites de confianza
para la línea
recta de regresión
y las estimaciones individuales
PRUEBAS CHI^2
Ejemplos de problemas que se pueden resolver con el programa
:
-) Las muestras
de tres clases de materiales sujetos a cambios extremos de temperatura ,
produjeron los resultados que se muestran en el cuadro siguiente
a) ¿A un nivel
de significación del 10% puede aceptarse que los materiales tienen el mismo
comportamiento ?
b) Interprete
los resultados obtenidos y proporcione sus conclusiones.
CLASE DE
MATERIAL.
CLASE DE DAÑO A B C D
FRACTURA COMPLETA
9 15 8 12
LIGEROS
DEFECTOS 18 31 27 26
SIN FALLAS 62 48 51 64
( TABLA DE CONTINGENCIA )
-) En una
encuesta sobre el uso de textos de Matemática para los estudiantes de la
Universidad El Manguito , se obtuvo la siguiente información :
TEXTO MUY USO
POCO NO
USADO REGULAR USO USADO
A 48 29 15 7
B 27 15 8 5
C 54 35 28 10
¿Puede
aceptarse que los tres textos son igualmente utilizados ? Usar un nivel de significación del 1%
( TABLA DE CONTINGENCIA )
MATRIZ ESTOCASTICA.
Cuando unimos 2
o mas vectores probabilísticos obtenemos un proceso estocástico llamado CADENA DE MARKOV
donde el vector fila representa el estado en que permanece el sistema y cada
termino del vector representa la probabilidad de que el sistema cambie de un
estado determinado a otro o se conserve en el mismo en un solo paso.
Convención :
el vector unitario se trabajara en filas , la sumatoria será igual a la unidad.
MATRIZ
ESTOCASTICA : Es aquella cuyos vectores
(filas o columnas , en el caso del programa filas) están constituidas por
probabilidades . Va a representar
las probabilidades de que el sistema cambie de un estado E1 a un estado E2 en
un solo paso.
MATRIZ
ESTOCASTICA REGULAR : Aquella matriz estocastica que al elevarla a una potencia ‘n’ la matriz resultante contiene únicamente términos
mayores que cero.
VECTOR FIJO
UNICO DE PROBABILIDAD.
Es aquel que
al premultiplicarlo por su matriz se reproduce a si mismo . Toda matriz regular
tiene uno y solamente un vector fijo único de probabilidad.
Es a los
valores que tienden los estados de la matriz de transición después de
muchísimos pasos.
DETERMINACIÓN
DEL VECTOR FIJO UNICO DE PROBABILIDAD :
-
METODO ARITMÉTICO.
-
METODO ALGEBRAICO.
El programa fue elaborado para desarrollar
el método
Algebraico.
La razón de
ser es por la insistencia de un profesor de mostrar paso intermedio , de hecho en la calculadora existe una manera
mas fácil de encontrar el vector fijo único de probabilidad pero de esa forma
se le obtiene sin dato de proceso intermedio.
Ejemplo :
Determine el VFU de Pr usando el método algebraico.
T =
[ [ 6/17 7/17 2/17 2/17 ]
[ 9/23 2/23 5/23
7/23 ]
[
1/4 1/4 1/4 1/4 ]
[ 3/24 5/24 7/24
9/24 ] ]
[ X Y Z W ]
* T = [ X
Y Z W ]
Por razones de
espacio se deja al lector que desarrolle el sistema anterior , y luego que
ordene la resultante en términos de las variables para llegar a un sistema
indeterminado.
Como un
sistema indeterminado tiene un infinito numero de soluciones , se asigna X =
1 y se llega a la solución que provee
como dato intermedio el programa.
En este caso
se llegara al siguiente vector :
[ 1 4025/4624
443/578 531/578 ]
En decimales
[ 1 0.870 0.766 0.919 ]
La sumatoria del vector anterior es 16441/4624
Al realizar la división entre el vector dado y la sumatoria
se llega al vector fijo único de probabilidad
[ 4624/16441 4025/16441
3544/16441 4248/16441]
AGRADECIMIENTOS :
CARLOS E.
BONILLA.
SALUDOS DESDE EL
SALVADOR.
¿ TIENES DUDAS , SUGERENCIAS O
COMENTARIOS ?
ESCRÍBE A :
WALTER EDUARDO
WGUAYO@YAHOO.COM