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Im folgenden werden die Algorithmen zur Berechnung der Sonnenauf- Durch- und Untergangszeiten beschrieben, so wie sie in dem Programm mit dem Namen SADU umgesetzt wurden.
Zunächst wird die Position der Sonne im äquatorialen Koordinatensystem geozentrisch (d.h. vom Mittelpunkt der Erdkugel) beschrieben. Die gesuchten Koordinaten für die Sonne heißen Rektaszension und Deklination. Gerade die Sonne läßt sich aber in ekliptischen Koordinaten viel einfacher beschreiben, daher beginnt die Berechnung mit den ekliptischen Koordinaten. Diese müssen dann in das äquatoriale Koordinatensystem transformiert werden. Mit Hilfe der Koordinate „Rektaszension“ (ein Winkel, der auch in Stunden, Minuten und Sekunden angegeben wird) und der Ortssternzeit wird dann der Zeitpunkt berechnet, an dem die Sonne ihren höchsten Stand über dem Horizont erreicht, das ist dann der Fall, wenn Rektaszension und Ortssternzeit identisch sind.
Ist date das Datum, für die Berechnung der Ortssternzeit, dann sind die seit dem 01. Januar 1993 vergangenen Tage
d = date – 01.01.1993
Achtung: date ist das für Greenwich gültige Datum!
Moderne Programme oder Taschenrechner haben eine Funktion zur Berechnung von d (DDAYS für den HP49G).
Das Julianisches Datum für den Nullten Längengrad (Greenwich) für 0:00 UT ist dann:
JD0 = d + 2448988.5
siehe auch Unterprogramm JD0. Der Julianische Tag 2448988.5 entspricht dem 1. Januar 1993 um 0:00 h UT.
Der Datumswechsel des Julianischen Datums findet um 12:00 (mittags) statt! Die Ortssternzeit in Greenwich (Local Sideral Time Q0) erhält man aus der Berechnung
Q0 = mod((0.06570982442 (JD0 –2451545) + 6.697374558), 24)
(Unterprogramm Q0)
wobei mod(...,24): "Modulo 24" bedeutet. "Modulo 24" ist der Rest, der sich nach Division durch 24 ergibt. Mit der Zonenzeit Z kann die „Universal Time“
UT = Z - DZ
mit
DZ = TZ + F
berechnet werden, wobei TZ die Nummer der Zeitzone bedeutet. Die Zeitzone TZ ist positiv für Längengrade L östlich von Greenwich.
Zur Berücksichtigung der Sommerzeit ist der Wert F einzugeben. Ist Z eine Sommerzeit dann ist
F = 1
sonst ist
F = 0
Mit UT im Dezimal-Format berechnet sich die Ortssternzeit zu:
Q = mod(1.00273790935 UT + Q0 + / 15 , 24)
Die östlichen Längengrade sind ebenfalls positiv und in der o.g. Formel dezimal einzugeben.
(s. Unterprogramm Q. Achtung, Q rechnet mit L im HMS-Format anstatt mit im Dezimal-Format)
Nutation und Aberration werden in diesen Formeln nicht berücksichtigt.
Die verstrichene Zeit T in Julianischen Jahrhunderten, seit dem 1. Januar 2000 um 12:00 Uhr mittags beträgt
T = (JD - 2451545.0) / 36525
mit dem Julianischen Tag:
JD = JD0 + (H - DZ) / 24
wobei die Zonenzeit H in der o.g. Formel in Stunden, dezimal eingegeben wird.
Für die Berechnung der „wahre Länge“ der Sonne (in ekliptischen Koordinaten)
= L0 + C(M)
werden Terme für die „geometrische mittlere Länge“ L0 und die „Mittelpunktsgleichung“ M benötigt. C ist eine Funktion, welche die mittlere Anomalie als Argument verwendet (s. gleichnamige Unterprogramme L0, M und C).
L0 = 280°.466 45 + 36 000°.76983 T + 0°.000 3032 T2
M = 357°.52910 +35 999.050 30 T – 0°.000 1559 T2 – 0.000 000 48 T3
und
C = (1°.914 600 – 0°.004817 T – 0°.000 014 T2) sin M
+ (0°.019 993 – 0° 004 817 T) sin 2M
+ 0°.000 290 sin 3M
Weitere Korrekturen sind erforderlich für die Berechnung der „scheinbaren Länge“ 1, bezogen auf das wahre Äquinoktium des Datums. Für das hier vorliegende Problem reicht eine Näherung:
1 = – 0°.00569 – 0°.00478 sin
= 125°.04 – 1934°.136 T
Damit wird die Nutation und Aberration berücksichtigt.
Für die Berechnung der scheinbaren Position der Sonne wird die korrigierte Schiefe der Ekliptik
= 0 + 0°.00256 cos
benötigt mit
0 = 23°26’21’’.448 – 46’’.8150 T – 0’’.00059 T2 + 0’’.001813 T3
(s. auch gleichnamiges Unterprogramm).
Die Rektaszension ergibt sich dann durch Koordinatentransformation zu
Die Koordinaten Rektaszension und Deklination (n. Abschnitt) werden in dem Programm KOOR berechnet. Dazu wird das Unterprogramm ATAN2 verwendet, um für die Rektaszension einen Wertebereich zwischen 0 und 360 Grad zu erhalten.
Die „Deklination der Sonne“ ist der Winkel der Sonne zur Äquatorebene (Himmelsäquator- und Erdäquatorebene sind identisch). Zur Berechnung der scheinbaren Position der Sonne sind die korrigierte „wahre ekliptische Länge“ 0 und die korrigierte schiefe der Ekliptik s.o. erforderlich.
Die Deklination der Sonne ist dann
= arcsin (sin e sin 0)
Eine Näherung für den Zeitpunkt des Sonnendurchganges durch den Meridian (Kulminationszeit oder auch höchster Stand der Sonne) wird mit Hilfe der Rektaszension der Sonne um 12:00 Zonenzeit und der Differenz zur Ortssternzeit berechnet.
m0 = – Q + 12
Wird die Rektaszension und die Sternzeit in Stunden (dezimal) eingegeben, so bedeutet ein positives Ergebnis, daß die Kulmination m0 Stunden nach 0:00 Uhr Zonenzeit stattfinden wird. m0 kann auch als Stundenwinkel für den Durchgang bezeichnet werden.
Zur Berechnung des Sonnenauf- und Unterganges wird der „halbe Tagbogen“ der Sonne benötigt. Der „halbe Tagbogen“ ist der Stundenwinkel der Sonne, zur Zeit des Sonnenauf- oder Unterganges. Durch Koordinatentransformation vom äquatorialen in das horizontale Koordinatensystem erhält man näherungsweise mit der Rektaszension und der Deklination der Sonne um 12:00 Uhr Ortszeit den „halben Tagbogen“
.
Der Halbe Tagbogen wird in dieser Gleichung in Stunden (dezimal) ausgegeben.
Damit werden die ersten Näherungen für die Auf-
m1 = m0 – H0
und Untergangszeit
m2 = m0 + H0
berechnet.
Zur Berechnung des Sonnendurchgangs wird die Rektaszension für 12:00 Uhr berechnet. Da der Durchgang, je nach Zeitzone und Längengrad, nicht genau um 12:00 Uhr stattfindet kann die Durchgangszeit mit dem Stundenwinkel
H = Q -
korrigiert werden. Dazu wird die Rektaszension für die genäherte Durchgangszeit m0 berechnet und der Stundenwinkel H von m0 abgezogen.
Für die Korrekturen der Auf- und Untergangszeiten wird
zu m1 und m2 addiert. Dazu werden die Elevationen
h = arcsin (sin sin + cos cos cos H)
für die genäherten Auf- und Untergangszeiten benötigt. Die hiermit berechneten Korrekturen betragen für 10° Länge und 50° Breite etwa 30 s (Zeitsekunden).
Die Korrekturen werden von SADU durchgeführt, wenn Flag –103 gesetzt ist (Complex mode on).